7
7
而级数 ( 6 )n 为等比级数收敛， n1 7
故由比较审敛法的极限形式，原级数收敛。
解法2：由比值审敛法
6n1
lim an1 a n
n
lim
n
7n1 5n1 6n
6(7n 5n )
lim
n
7n1
5n1
7n 5n
lim
n
6(1 ( 5)n ) 7
1 ( 5)n1
6 7
1
7
故由比值审敛法知原级数收敛。
a n n
Q
un1 un
e (1 1 )n
1
n
un1
un
lim
n
un
0
所以，原级数发散。
1
【例6】判断级数
n1
[ln( n
1)]n
的敛散性.
解：此级数为正项级数， un
n1
1 [ln( n
1)]n
1
1
Q
lim
n
n
un
lim n n
[ln(n 1)]n
lim n ln(n 1)
找正项收敛
级数 bn n1
找正项发散
级数 cn n1
an (1)n un No
Yes
an为交错级数
n1
用其它方 法证明
1
Yes 1
an发散
n1
an收敛
n1
an bn
an收敛
n1
an cn
an发散
n1
莱布尼兹判别法
且 un un1 ,
lim
n
un
0
an 条件收敛
n1
an绝对收敛
的收敛性。
解：令
un
ann! nn
an1(n 1)!
Q lim un1 lim
u n n
n
(n 1)n1 ann! nn
lim
n
a
n
n
n 1
a lim n (1 1 )n
a e
n
由比值审敛法，当 a e 时，原级数收敛；
当 a e 时，原级数发散。
当 a e 时，lim an1 1比值审敛法失效，注意到
n1
三、典型例题
【例1】判别级数 n1
2n 3n
1
的收敛性，并求级数的和。
解：
由于
an
2n 3n
1
3n 3n
n1 3n
n 3n1
n1 3n
，由定义
Sn
(1
2)(2 33
33 32 ) ( 32
4 33 ) L
n ( 3n1
n1 3n )
1
n1 3n
n1
S
lim
n
Sn
lim(1
n
3n
【例4】判别级数
n1
n
cos2 2n
n
3
的收敛性。
解：此级数为正项级数，
ncos2 n
an
3 2n
n 2n
令
vn
n 2n
Q
lim
n
vn1 vn
lim
n
n 1 2n 2n1 n
lim
n
n1 2n
1 2
1
n1
n 2n
收敛，故由比较审敛法，原级数收敛。
ann!
【例5】判别级数 n1
nn
第十一章 无穷级数习题课 (一)
常数项级数
解题方法流程图
判断 an 的敛散性 n1
a为n 正项级数
n1
No Yes
lim
n
an
0
Yes
an 0
No
an为任意项级数
n1
比值法
根值法
比较法
| an |
n1
No
Yes
| an 收| 敛
n1
lim an1 a n
n
lim
n
n
an
No
1
No
(1)n n ln n
为交错级数,
由莱布尼玆定理
1
Q
lim
n
n
1 ln
Hale Waihona Puke nlimn
1
n ln
n
0
n
令 f ( x) x ln x ( x 0)
ln n
ln x
1
lim lim lim 0
n n
x x
x x
f ( x) 1 1 0 ( x 1) x
1
所以 f ( x)在 (1, )上单增，即
)1
所以原级数收敛，且和为1。
【例2】判别级数
n1
n 1
nn (n 1 )n
的收敛性。
n
1
1
解： 因为
an
nn (n
nn 1 )n
n
nn
(1
1 n2
)n
而
lim(1
n
1 n2
)n
lim[(1
n
1 n2
1
)n2 ]n
e0 1
1
lim nn
1
lim x x
1 ln x
lim e x
01
故由根值审敛法，原级数收敛。
【例7】判断级数 n1
(1)n n ln n
收敛？如果收敛，是条件收敛
还是绝对收敛？
解：此级数为交错级数，因为 1 1
n ln n n
,而
1 发散,
n1 n
由比较审敛法知
(1)n
1 发散
n1 n ln n n1 n ln n
原级数非绝对收敛.
因为 n1
lim 1 ln x
lim 1
e e x x
x x
e0
1
n
x
x
lim
n
an
1
0
由级数收敛的必要条件，原级数发散。
【例3】判别级数
n1
6n 7n 5n
的收敛性。
解法1：此级数为正项级数，
an
6n 7n 5n
6n
Q lim 7n 5n lim 1 1
n ( 6 )n
n 1 ( 5)n
单减 ，
x ln x
1
故当 n 1 时，n ln n 单减，
un
1 n ln n
(n
1 1) ln(n
1)
un1
(n 1)
所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛。