专题18 圆的对称性阅读与思考圆是一个对称图形．首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这是圆特有的旋转不变性．由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理及推论．这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面有广泛的应有．一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用． 熟悉以下基本图形和以上基本结论．我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道：“圆，一中间长也．”古代的美索不达米亚人最先开始制造圆轮．日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了深深的烙印．例题与求解【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB ，AC 的长分别为3和2，则∠BAC 度数为_______． （黑龙江省中考试题）解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注AB 与AC 有不同位置关系．由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问题的解决．【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧»AB ，»D C ，»EF ．如果»AB +»D C =»EF ，那么AB +CD 与EF 的大小关系是（）A ．AB +CD =EFB ．AB +CD >EFC ．AB +CD <EF D ．AB +CD 与EF 的大小关系不能确定（江苏省竞赛试题）ABCDEF解题思路：将弧与弦的关系及三角形的性质结合起来思考．【例3】⑴ 如图1，已知多边形ABDEC 是由边长为2的等边三角形ABC 和正方形BDEC 组成， ⊙O 过A ，D ，E 三点，求⊙O 的半径．⑵ 如图2，若多边形ABDEC 是由等腰△ABC 和矩形BDEC 组成，AB =AC =BD =2，⊙O 过A ，D ，E 三点，问⊙O 的半径是否改变？（《时代学习报》数学文化节试题）解题思路：对于⑴，给出不同解法；对于⑵，⊙的半径不改变，解法类似⑴．等边三角形、正方形、圆是平面几何图形中最完美的图形，本例表明这三个完美的图形能合成一个从形式到结果依然完美的图形．三个完美图形的不同组合可生成新的问题，同学们可参照刻意练习．【例4】如图，已知圆内接△ABC 中，AB >AC ，D 为¼BAC 的中点，DE ⊥AB 于E ．求证：BD 2-AD 2=AB g AC ．（天津市竞赛试题） 解题思路：从化简待证式入手，将非常规几何问题的证明转化为常规几何题的证明．圆是最简单的封闭曲线，但解决圆的问题还要用到直线形的有关知识和方法．同样，圆也为解决直线形A ABC O DED ECB O 图1图2A BCD E问题提供了新的途径和方法，善于促成同圆或等圆中的弦、弦心距、弧、圆周角、圆心角之间相等或不等关系的互相转化，是解圆相关问题的重要技巧．【例5】在△ABC 中，M 是AB 上一点，且AM 2+BM 2+CM 2=2AM +2BM +2CM －3．若P 是线段AC 上的一个动点，⊙O 是过P ，M ，C 三点的圆，过P 作PD ∥AB 交⊙O 于点D ． ⑴ 求证：M 是AB 的中点；⑵ 求PD 的长． （江苏省竞赛试题）解题思路：对于⑴，运用配方法求出AM ，BM ，CM 的长，由线段长确定直线位置关系；对于⑵，促成圆周角与弧、弦之间的转化．【例6】已知AD 是⊙O 的直径，AB ，AC 是弦，且AB =AC ．⑴ 如图1，求证：直径AD 平分∠BAC ；⑵ 如图2，若弦BC 经过半径OA 的中点E ，F 是»CD的中点，G 是»FB 的中点，⊙O 的半径为1，求弦FG 的长；⑶ 如图3，在⑵中若弦BC 经过半径OA 的中点E ，P 为劣弧上一动点，连结P A ，PB ，PD ，PF ，求证：PA PFPB PD++的定值．（武汉市调考试题）解题思路：对于⑶，先证明∠BP A =∠DPF =300，∠BPD =600，这是解题的基础，由此可导出下列解题突破口的不同思路：①由∠BP A ==∠DPF =300，构建直角三角形；②构造P A +PF ，PB +PD 相关线段；③取»BD的中点M ，连结PM ，联想常规命题；等等． 本例实质是借用了下列问题：⑴如图1，P A +PB =3PH ； ⑵如图2，P A +PB =PH ；⑶进一步，如图3，若∠APB =α，PH 平分∠APB ，则P A +PB =2PHc o s2α为定AP CDB MOABCO 图1DDAOE GFCB BA C O E P F图2图3值．能力训练A 级1．圆的半径为5cm ，其内接梯形的两底分别为6cm 和8cm ，则梯形的面积为_______cm 2．2．如图，残破的轮片上，弓形的弦AB 长是40cm ，高CD 是5cm ，原轮片的直径是________cm ．3．如图，已知CD 为半圆的直径，AB ⊥CD 于B ．设∠AOB =α，则BA BD g ta n 2=_________． （黑龙江省中考试题） 4．如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，AC =2，BC =1，若BC =1，若以C 为圆心，CB 的长为半径的圆交AB 于P ，则AP =___________. （江苏省宿迁市中考试题）5．如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA —»AB —BO 的路径运动一周.设OP 长为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间的关系是（ ）（太原市中考试题）6．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，AB =10cm ，CD =6cm ，那么AC 的长为（ ） A ．0.5c m B ．1c m C ．1.5c m D ．2c m第3题图第2题图C ABCDDO BA图1A600300300PHBPABH600图2 PABH 图3APBC（第4题图）tsOAt s OBt s OCtsO D7．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是弦．若AB =10cm ，CD =8cm ，那么A ，B 两点到直线CD 的距离之和为（ ） A ．12cm B ．10cm C ．8cm D ．6cm8．如图，半径为2的⊙O 中，弦AB 与弦CD 垂直相交于点P ，连结OP ．若OP =1，求AB 2+CD 2的值． （黑龙江省竞赛试题）9．如图，AM 是⊙O 的直径，过⊙O 上一点B 作BN ⊥AM 于N ，其延长线交⊙O 于点C ，弦CD 交AM 于点E ．⑴ 如果CD ⊥AB ，求证：EN =NM ；⑵ 如果弦CD 交AB 于点F ，且CD =AB ，求证：CE 2=EF •ED ；⑶ 如果弦CD ，AB 的延长线交于点F ，且CD =AB ，那么⑵的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（重庆市中考试题）10．如图，⊙O 的内接四边形ABMC 中，AB >AC ，M 是»BC的中点，MH ⊥AB 于点H ．求证：BH =12（AB -AC ）．（河南省竞赛试题）A BOCD AE CD FBABC DF EP （第6题图）ABC D O EFM（第9题图）（第7题图）（第8题图）11．⑴如图1，圆内接△ABC 中，AB =BC =CA ，OD ，OE 为⊙O 的半径，OD ⊥BC 于点F ，OE ⊥AC 于点G ．求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是△ABC 面积的13． ⑵如图2，若∠DOE 保持0120角度不变，求证：当∠DOE 绕着O 点旋转时，由两条半径和△ABC 的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC 的面积的13．12．如图，正方形ABCD 的顶点A ，D 和正方形JKLM 的顶点K ，L 在一个以5为半径的⊙O 上，点J ，M 在线段BC 上．若正方形ABCD 的边长为6，求正方形JKLM 的边长． （上海市竞赛试题）B 级1．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，过A ，B 两点作CD 的垂线，垂足分别为E ，F ．若AB =10，AE =3，BF =5，则EC =__________．图2图1EOAGF ED OABCC BD AH BMC （第10题图）ADCBNO JM K L （第12题图）2．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在»BC的中点A ′上，若BC =5，则折痕在△ABC 内的部分DE 长为________． （宁波市中考试题）3．如图，已知⊙O 的半径为R ，C ，D 是直径AB 同侧圆周上的两点，»AC 的度数为960，»BD 的度数为360．动点P 在AB 上，则CP +PD 的最小值为__________． （陕西省竞赛试题）4．如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径是（ ） A ．2 B ．52C ．54D ．517165．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆圆周上一点，M 是»AC 的中点，MN ⊥AB 于N ，则有（）A ．MN =12AC B ．MN =22AC C ．MN =35AC D ．MN =33AC （武汉市选拔赛试题）6．已知，AB 为⊙O 的直径，D 为»AC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，且DE =3．求AC 的长度．第4题图第5题图NM A BC O O A E CD FBABCD E A ′ABCDPO （第1题图）（第2题图）（第3题图）A D OB E GF NACB DO P （第7题图）（第6题图）C7．如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的⊙O ；对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点为P ，AB =BD ，且PC =0.6，求四边形ABCD 的周长． （全国初中数学联赛试题）8．如图，已知点A ，B ，C ，D 顺次在⊙O 上，»»AB BD =，BM ⊥AC 于M ．求证：AM =DC +CM ． （江苏省竞赛试题）9．如图，在直角坐体系中，点B ，C 在x 轴的负半轴上，点A 在y 轴的负半轴上，以AC 为直径的圆与AB 的延长线交于点D ，»»CD AO =，如果AB =10，AO >BO ，且AO ，BO 是x 的二次方程0482=++kx x 的两个根．⑴ 求点D 的坐标；⑵ 若点P 在直径AC 上，且AP =14A A C ，判断点(－2，10)是否在过D ，P 两点的直线上，并说明理由． （河南省中考试题）AB CDO M （第8题图）10．⑴如图1，已知P A ，PB 为⊙O 的弦，C 是劣弧»AB 的中点，直线CD ⊥P A 于点E ，求证：AE =PE +PB ． ⑵如图2，已知P A ，PB 为⊙O 的弦，C 是优弧»AB 的中点，直线CD ⊥P A 于点E ，问：AE ，PE 与PB 之间存在怎样的等量关系？写出并证明你的结论．11．如图，已知弦CD 垂直于⊙O 的直径AB 于L ，弦AE 平分半径OC 于H ．求证：弦DE 平分弦BC 于M ． (全俄奥林匹克竞赛试题)12．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，且AD =DC +CB ，过D 作AC 的垂线交△ABC 的外接圆于M ，过M 作AB 的垂线MN ，交圆于N ．求证：MN 为△ABC 外接圆的直径．Axy OD CBP （第9题图）A图1C P B DE O A 图2CPBD EOAC O LE BDMH（第11题图）AC MNODB（第12题图）。