yx
H
xy
x
x
D’
(y ,yx)
H ( a , a )
2 D (x ,xy)
c
x y
2
转向对应——半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致； 二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。
x
B
A
x'45ºx E
y
D y'
x
b
d
2×45º
o
c
a
2×45º
e
D
1＝
B
3＝
E
a (0, )
1＝ B
(50)2
80.7(MPa) 60.7(MPa)
1 80.7 (MPa), 2 0, 3 60.7 (MPa)
主平面位置： y
1
tg 2 0
2 xy x y
40 50
0
x x x
3
60
2(50) 1 40 60
0 67.50
§8 -3 平面应力的应力状态分析 — 图解法
哪一个面上？ 哪一点？
指明
哪一点？ 哪个方向面？
过一点不同方位截面上应力情况，称为这一点的应力 状态（State of the Stresses of a Given Point）。
研究应力状态的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最 大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当 的强度条件。
2）主应力、主平面（单位：MPa）。
40
解：1、按比例画此单元体对应的应力圆
0 20
τ
80 60
D’
A2
2、量出所求的物理量
300 OF ; 300 EF.
1 OA1; 2 0; 3 OA2.
0
DCA1 2
.
60 OC
E ( 30 , 30 )
A1 σ 2 0 F
D
§8 -4
空间应力的应力状态分析
y
F 80 MPa, A
x
?,
z 0.
x 0, y ?, z ? .
第八章 应力状态分析 强度理论
§8-1 应力状态的概念 §8-2 平面应力状态分析——解析法 §8-3 平面应力状态分析——图解法（应力圆） §8-4 空间应力的应力状态分析——一点的最大应力 §8-5 广义胡克定律 §8-6 强度理论概念
§8-1 应力状态的概念
1、问题的提出
问题1：同一点处不同方位截面上的应力不相同；
50
y
2)求y—z面内的最大、最小正应力。
max m in
y
z
2
(
y
2
z
)2
2 yz
0 30 (0 30)2 (40)2 57.7
z
2
2
27.7
3)主应力
1 57.7; 2 50; 3 27.7
4)最大切应力
max
1
2
3
57.7 (27.7) 2
42.7 MPa
B A 40 C 50 30
一、应力圆：
y
x x
y
2
y
2
x
2
sin 2
y cos 2 xy cos 2
xy
sin
2
y x
对上述方程消参数（2），得：
o x
y
x x
y
(
x
y )2
2
2
(
x
y
2
)2
2xy
这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆
圆心：
(
x
y
,0)
2
半径：
R
(
x
2
y
)2
2 xy
应力圆：
3、一点的应力状态的描述
研究一点的应力状态， 可对一个包围该点的微小正 六面体——单元体进行分析
各边边长 dx , dy , dz
在单元体各面上标上应力—— 应力单元体
z
zx zy
xz yz
x
xy
yx
y
取单元体示例一
FP
S 截面
l/2
l/2
5 FP
S截面
5
42
3
Mz
FPl 4
4 3
2
2
1
3
1 E
3
( 1
2)
2 +
——（广义虎克定律）
1
1 3 3
2 3
1 2
三、、广义胡克定律的一般形式:
z
x
1 E
[ x
(
y
z )]
x
zx zy
xz yz
xy
yx
y
y
1 E
[
y
(
z
x
)]
z
1 E
[ z
( x
y )]
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
主应力与主应变方向是否一致?
2
xy2
——xy 面内的最大切应力
tan 20 tan 21 1
(1 0 450 )
将 max与 max, min画在原单元体上。
tan 20
2 xy x y
——主平面的位置
tan
21
x 2 xy
y
——最大切应力 所在的位置
1 0 450
y
min
(0 ; (1 ;
0 0 90 0 ) 1 1 900 )
x
x
y
2
sin
2
xy
cos 2
a y
c
y t
x
符号规定：1)“”正负号同“”；
2) 正负号同“ ；
3) “a为斜面的外法线与 x 轴正向的夹角，逆时针为正，顺时针
为负。注意：用公式计算时代入相应的正负号。
讨论：
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy sin 2
(1)
x
y
2
sin 2
xy cos2
x
o
x x x
-- 逆时针转为正。
y
y
y
x b
a
c x x
y
b x
x
a y
c
y t
n 单元体各面面积
x bc : dA
ab: dAcos ac : dAsin
设：斜截面面积为ｄA，由分离体平衡得：
Fn 0 ;
dA ( xdAcos ) cos ( xdAcos )sin
( ydAsin )sin ( ydAsin ) cos 0
—
一点的最大应力
o 3
y
y
xz
1
与σ3平行的斜截面上的应力可在σ1、σ2 应力圆的圆周上找到对应的点。
与σ2平行的斜截面上的应力可在σ1、σ3 应力圆的圆周上找到对应的点。 与σ1平行的斜截面上的应力可在σ2、σ3 应力圆的圆周上找到对应的点。
max
o 3
1
图a
结论 ——
图b
1).弹性理论证明，图a单元体内任意截面上的应力都对
(0 ; 0 0 900 )
max
m in
x
y
2
(
x
2
y
)2
2 xy
——主应力的大小
3)、 切应力 的极值及所在截面
由
x
y
2
sin 2
xy cos 2 ,
令 d
0
d 1
tan
21
x 2 xy
y
(1 ; 1 1 900 )
——最大切应力 所在的位置
max
m in
(
x
y )2
单位：MPa
10
1 10;
30 2 0;
3 30;
（2)、应力状态的分类
a、单向应力状态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力 都等于零的应力状态。
b、二向应力状态：有两个主应力不等于零 ，另一个主应力 等于零的应力状态。
c、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。 平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。 空间应力状态：三向应力状态 简单应力状态：单向应力状态。 复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。 纯剪切应力状态：单元体上只存在剪应力无正应力。
应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。
2).整个单元体内的最大切应力为： 13
1
3
2
max
3)：整个单元体内的最大切应力所在的平面：
y
2
z
3
x
2
1 1
2
13
13
1 3
2
max
(1, 3, 13 ) 2
3
2
23
23
2
3
2
,
12
1
2
2
1
1 2 3,
3
max
1
2
3
例：求图示单元体的主应力和最大切应力。（M P a）
0.6
p 15.48
(10,0)
f
o c 2o
60
b(60,30)
d (9.02,58.3)
R (60 (40))2 ( 30 30)2 58.31MPa
2
2
主应力单元体：
3
o
1
1 68.3MPa, 2 0,3 48.3MPa
例：求 1）图示单元体α=300 斜截面上的应力
max x
min
max min