几何探究专题一
1、已知，如图：正方形ABCD ，将Rt △EFG 斜边EG 的中点与点A 重合，直角顶点F 落在正方形的AB 边上，Rt △EFG 的两直角边分别交AB 、AD 边于P 、Q 两点，（点P 与点F 重合），如图1所示：
（1），求证：EP 2+GQ 2=PQ 2
（2）、若将Rt △EFG 绕着点A 逆时针旋转α（0°＜α≤90°），两直角边分别交AB 、AD
边于P 、Q 两点，如图2所示：判断四条线段EP 、PF 、FQ 、QG 之间是否存在什么确定的相等关系？若存在，证明你的结论。
若不存在，请说明理由。
（3）、若将Rt △EFG 绕着点A 逆时针旋转α（90°＜α＜180°），两直角边分别交AB 、AD 两边延长线于P 、Q 两点，并判断四条线段EP 、PF 、FQ 、QG 之间存在何种确定的相等关系？按题意完善图3，请直接写出你的结论（不用证明）。
2、)如图，R t △ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点E 在线段AB 上，CF ⊥CE ，CE ＝CF ，EF 交AC 于G ，连结AF ．
（1）填空：线段BE 、AF 的数量关系为_____________，位置关系为_____________；
（2）当
AE BE ＝21时，求证：FG EG
＝2． （3）若当AE BE ＝n 时，GF
EG
＝2，请直接写出n 的值．
G
F
C
E
A
D
C B
A
A B C D
E
F P Q G
3、在△ABC 中，AB=AC ，将△ABC 绕点C 逆时针旋转α角至△A'B'C ，连BB'，以AB 、BB'为邻作 ABB'P ，连AA'.
(1)如图①，当∠ABC=60°时，则线段AP 与AA'的数量关系为______ ;
(2)如图②，当∠ABC=45°时，则 (1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请给出你的结论并证明；
(3)如图③，当∠ABC =_________时，将△ABC 绕点C 逆时针旋转________时
, ABB'P 为正方形.
4、如图1， 已知正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，过O 点作OE ⊥OF 分别交DC 于E ，交BC 于F ，∠FEC 的角平分线EP 交直线AC 于P （1）①求证：OE=OF
②写出线段EF 、PC 、BC 之间的一个等量关系式 ，并证明你的结论；
（2）如图2，当∠EOF 绕O 点逆时针旋转一个角度，使E 、F 分别在CD 、BC 的延长线上，请完成图形并判断（1）中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）
P
O
F
E D
C
B
A
图1
O
D
C
B A
图2
E
A D
B C N
M
5、如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM.⑴ 求证：△AMB ≌△ENB ；
⑵ ①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；
②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13 时，求正方形的边长.
6、如图甲，⊙O 中AB 是直径，C 是⊙O 上一点，∠ABC=45°， 等腰直角△DCE 中，∠DCE 是直角，点D 在线段AC 上． (1)问B 、C 、E 三点在一条直线上吗？为什么？
(2)若M 是线段BE 的中点，N 是线段AD 的中点，试求OM
MN
的值；
(3)将△DCE 绕点C 逆时针旋转α(O°<α<90°)后，记为△D 1CE 1 （图乙），若M 1是线段BE 1的中点，N 1是线段AD 1的中点，则OM
MN
=____
7、如图，等腰Rt △ABD 中，AB=AD ，点M
为边AD 上一动点，点E 在DA 的延长线上，且AM=AE ，以BE 为直角边，向外作等腰Rt △BEG ，MG 交AB 于N ，连NE 、DN 。
（1）求证∠BEN=∠BGN 。
（2）求
AB
NG
的值。
（3）当M 在AD 上运动时，探究四边形BDNG 的形状，
并证明之。
B
E
C
D
O
M N
A
E 1
B
C
A
O
M 1
D 1 N 1
8、如图，四边形ABCD 为正方形，△BEF 为等腰直角三角形（∠BFE=90°，点B 、E 、F
按逆时针排列），点P 为DE 的中点，连PC ，PF
（1）如图①，点E 在BC 上，则线段PC 、PF 的数量关系为_______ ，位置关系为_______ （不证明）．
（2）如图②，将△BEF 绕点B 顺时针旋转a （O ＜a ＜45°），则线段PC ，PF 有何数量关系和位置关系？请写出你的结论，并证明．
（3）如图③，△AEF 为等腰直角三角形，且∠AEF=90°，△AEF 绕点A 逆时针旋转过程中，能使点F 落在BC 上，且AB 平分EF ，直接写出AE 的值是______ ．
9、在正方形ABCD 中，P 是BC 边上一动点，Q 是CD 延长线上一动点，且满足BP=DQ ，连接AP 、AQ 、PQ
（1）判断△APQ 的形状，并说明理由；
（2）作∠PQC 的角平分线交AC 于E 点，过E 点作E F ⊥CD ，垂足为F 。
求证：DF=
2
1PQ
10、如图，四边形ABCD 、BEFG 均为正方形
（1）如图1，连接AG 、CE ，试判断CE 和AG 的数量关系和位置关系并证明；
（2）将正方形BEFG 绕B 逆时针旋转β角，如图2，连接AG 、CE 交于点M ，过点A 作AN ⊥MB 交MB 的延长线于点N ，当角β发生变化时，CM 与BN 的是否存在确定的数量关系，若存在，求出它们的关系式，若不存在，说明理由。
（3）当正方形BEFG 绕点B 旋转到如图3的位置时，连接CE 并延长交AG 于点M ，若AB=4，BG=2,则CM=__________.
A B
C
D
A
B C
D
A
B
C
D
E
F
G
E
F
G
F G E
M
M N
A B C
D
P Q E
F
11、已知△ABC 和△ADE 分别是以AB 、AE 为底的等腰直角三角形，以CE 、CB 为边作平行四边形CEHB ，连接DC 、CH
（1）如图1，当D 点在AB 上时，CH 与CD 有何数量关系？请说明理由； （2）将图1中的△ADE 绕A 点逆时针旋转45°，如图2，请探究CH 与CD 之间的数量关系，并予以证明。
12、如图1，等腰R t △ABC 中，∠ABC=90°，且AB=BC ，P 为AC 上一点，以AP 为边向上作等腰R t △BPD ，∠BPD=90°，
（1） 求证：AD ⊥AB ；
（2） 连接DE ，C 为CD 的中点，连接PE ，如图2，求证：AD=2PE ；
（3） 若PE=1，PC=2,则AB=__________.（直接写出结果，不必证明）
13、（10分）已知△ABC 和△ADE 分别是以AB.AE 为底的等腰直角三角形，以CE,CB 为边作平行四边形CEHB ，连DC ，CH.
(1)如图(1)，当D 点在AB 上时，则∠DEH 的度数为_____；CH 与CD 的数量关系是_________，并说明理由， ’
(2)将图(1)中的△ADE 绕A 点逆时针旋转45°得图(2)：则∠DEH 的度数为______，CH 与CD 之间的数量关系为________．
(3)将图(1)中的△ADE 绕A 点顺时针旋转α（O °<α<45°）得图(3)，请探究CH 与 CD 之间的数量关系，并给予证明．
A B C D A C B
D E H E H
A B C D F
P A B C D
F
P E
A B C D E H A B C D
E
H
A B
C
D E
H。