专题提升五以特殊三角形为背景的探究性问题热点解读特殊三角形的探究问题，主要会把复杂图形分解出等腰三角形、直角三角形，找相互之间的共性，从而揭示数量关系，同时又要用运动变换的思想分析问题，抓住一些不变的图形和不变的量、等量关系．以特殊三角形为背景的探究性问题是中考热点题型．母题呈现(2017·绍兴模拟)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC 上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数；(2)若CD＝2，求DF的长．对点训练1．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(0，2)，B(0，6)，动点C在直线y ＝x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是()第1题图A．2 B．3 C．4 D．5 2．(2017·营口)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC 上，BD＝3，DC＝1，点P是AB上的动点，则PC＋PD的最小值为()第2题图A．4 B．5 C．6 D．7 3．(2016·长春)感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD<90°，求证：DB＝DC.应用：如图3，四边形ABCD中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a，则AB－AC＝________(用含a的代数式表示)．第3题图4．(2016·孝感)感知：如图1，点E在正方形ABCD的边BC上，BF⊥AE 于点F，DG⊥AE于点G，可知△ADG≌△BAF.(不要求证明)拓展：如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN 内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC，求证：△ABE≌△CAF.应用：如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AB＞BC.点D在边BC 上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC.若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为.第4题图5．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒(0＜t＜6)，过点D作DF⊥BC于点F.(1)试用含t的式子表示AE、AD的长；(2)如图1，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由；(3)如图2，连结DE，当t为何值时，△DEF为直角三角形？(4)如图3，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，试问当t为何值时，四边形AEA′D为菱形？第5题图6．(2017·大连)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D，E 分别在AC，BC上(点D与点A，C不重合)，且∠DEC＝∠A，将△DCE绕点D逆时针旋转90°得到△DC′E′.当△DC′E′的斜边、直角边与AB分别相交于点P，Q(点P与点Q不重合)时，设CD＝x，PQ＝y.(1)求证：∠ADP＝∠DEC；(2)求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．第6题图参考答案专题提升五 以特殊三角形为背景的探究性问题【母题呈现】(1)∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝60°.∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B ＝60°.∵EF ⊥DE ，∴∠DEF ＝90°.∴∠F ＝90°－∠EDC ＝30°.(2)∵∠ACB ＝60°，∠EDC ＝60°，∴△EDC 是等边三角形．∴ED ＝DC ＝2.∵∠DEF ＝90°，∠F ＝30°，∴DF ＝2DE ＝4.【对点训练】1.B 2.B3．探究：如图2中，作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∵DA 平分∠BAC ，∴DE ＝DF ，∵∠B ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠FCD ＝180°，∴∠B ＝∠FCD ，在△DFC 和△DEB 中，∵∠F ＝∠DEB ，∠FCD ＝∠B ，DF ＝DE ，∴△DFC ≌△DEB ，∴DC ＝DB. 应用：如图3，连结AD ，作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∵∠B ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠FCD ＝180°，∴∠B ＝∠FCD ，在△DFC 和△DEB 中，∵∠F ＝∠DEB ，∠FCD ＝∠B ，DC ＝DB ，∴△DFC ≌△DEB ，∴DF ＝DE ，CF ＝BE ，在Rt △ADF 和Rt △ADE 中，∵AD ＝AD ，DE ＝DF ，∴△ADF ≌△ADE ，∴AF ＝AE ，∴AB －AC ＝(AE ＋BE )－(AF －CF )＝2BE ，在Rt △DEB 中，∵∠DEB ＝90°，∠B ＝∠EDB ＝45°，BD ＝a ，∴BE ＝22a ，∴AB －AC ＝2a.故答案为：2a.第3题图4．拓展：∵∠1＝∠2，∴∠BEA ＝∠AFC ，∵∠1＝∠ABE ＋∠BAE ，∠BAE ＋∠DAC ＝∠BAC ，∠1＝∠BAC ，∴∠BAC ＝∠ABE ＋∠BAE ，∴∠DAC＝∠ABE ，∴⎩⎨⎧∠AEB ＝∠AFC ，∠ABE ＝∠DAC ，AB ＝AC ，∴△ABE ≌△CAF (AAS )． 应用：∵在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，CD ＝2BD ，∴△ABD 与△ADC 等高，底边比值为1∶2，∴△ABD 与△ADC 的面积比为1∶2，∵△ABC 的面积为9，∴△ABD与△ADC 面积分别为3，6；∵∠1＝∠2，∴∠BEA ＝∠AFC ，∵∠1＝∠ABE ＋∠BAE ，∠BAE ＋∠DAC ＝∠BAC ，∠1＝∠BAC ，∴∠BAC ＝∠ABE ＋∠BAE ，∴∠DAC ＝∠ABE ，∴⎩⎨⎧∠AEB ＝∠AFC ，∠ABE ＝∠DAC ，AB ＝AC ，∴△ABE ≌△CAF (AAS )，∴△ABE 与△CAF 面积相等，∴△ABE 与△CDF 的面积之和为△ADC 的面积，∴△ABE 与△CDF 的面积之和为6，故答案为：6.5．(1)AE ＝tcm ，AD ＝(12－2t )cm. (2)∵DF ⊥BC ，∠C ＝30°，∴DF ＝12CD ＝12×2t ＝t.∵AE ＝t ，∴DF ＝AE.∵∠ABC ＝90°，DF ⊥BC ，∴DF ∥AE.∴四边形AEFD 是平行四边形． (3)①显然∠DFE ＜90°.②如图1，当∠EDF＝90°时，四边形EBFD 为矩形，此时AE ＝12AD ，∴t ＝12(12－2t )．∴t ＝3.③如图2，当∠DEF ＝90°时，此时∠ADE ＝90°，∴∠AED ＝90°－∠A ＝30°.∴AD ＝12AE.∴12－2t ＝12t.∴t ＝245.综上：当t ＝3秒或t ＝245秒时，△DEF 为直角三角形． (4)如图3，若四边形AEA′D 为菱形，则AE ＝AD.∴t ＝12－2t.∴t ＝4.∴当t ＝4时，四边形AEA′D 为菱形．第5题图6．(1)如图1，∵∠EDE ′＝∠C ＝90°，∴∠ADP ＋∠CDE ＝90°，∠CDE ＋∠DEC ＝90°，∴∠ADP ＝∠DEC. (2)如图1，当C′E′与AB 相交于Q 时，即65＜x ≤127时，过P 作MN ∥DC′，设∠B ＝α，∴MN ⊥AC ，四边形DC′MN 是矩形，∴PM ＝PQ·cos α＝45y ，PN ＝43×12(3－x )，∴23(3－x )＋45y ＝x ，∴y ＝2512x －52，当DC′交AB 于Q 时，即127＜x ＜3时，如图2，作PM ⊥AC 于M ，PN ⊥DQ 于N ，则四边形PMDN 是矩形，∴PN ＝DM ，∵DM ＝12(3－x )，PN ＝PQ·sinα＝35y，∴12(3－x)＝35y，∴y＝－56x＋52.综上所述，y＝⎩⎪⎨⎪⎧－56x＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫127<x<3，2512x－52⎝⎛⎭⎪⎫65<x≤127.第6题图赠送励志修身名言警句可怕的敌人，就是没有坚强的信念。

——罗曼罗兰不要询问世界需要什么。

问问什么事情可以使你活跃，然后付诸实践。

因为世界需要活跃的人。

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——李白不为外撼，不以物移，而后可以任天下之大事。

吕坤《呻吟语应务》书，能保持我们的童心；书能保持我们的青春。

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车尔尼雪夫斯基燕雀安知鸿鹄之志哉！——陈涉伟大的事业，需要决心，能力，组织和责任感。

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——曹操古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。

苏轼燕雀戏藩柴，安识鸿鹄游。

——曹植生当作人杰，死亦为鬼雄，至今思项羽，不肯过江东。

——李清照穷且益坚，不坠青云之志。

——王勃勿以恶小而为之，勿以善小而不为。

惟贤惟德，能服于人。

刘备大鹏一日同风起，扶摇直上九万里。

——李白古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。

——苏轼壮心未与年俱老，死去犹能作鬼雄。

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车尔尼雪夫斯基志不强者智不达。

——墨翟生当作人杰，死亦为鬼雄，至今思项羽，不肯过江东。

——李清照燕雀安知鸿鹄之志哉！——陈涉未来是光明而美丽的，爱它吧，向它突进，为它工作，迎接它，尽可能地使它成为现实吧！车尔尼雪夫斯基志当存高远。

——诸葛亮读书如饭，善吃饭者长精神，不善吃者生疾病。

——章学诚人，只要有一种信念，有所追求，什么艰苦都能忍受，什么环境也都能适应。