6

0
f x3

2 x3

2 x2

2 x1

0
解得： x1 1, x2 1, x3 2 x* 1,1,2T
海赛矩阵：
2 f (x) x 2

4 0
0 10
2 2
2 2 2
正定，x*为极小值点
6.3.3 具有等式约束条件的极值
目标函数 min J (x) f (x)
2.控制作用域
控制集 U u(t) | j ( x, u) 0
容许控制 u(t) U 3.初始条件
初始集 0 x(t0 ) | j[x(t0 )] 0
可变始端 x(t0 ) 0 4.终端条件
目标集 f x(t f ) | j[ x(t f )] 0
不等式约束条件 hj ( x) 0 j 1,2,,l
最优化问题的数学描述
动态最优化问题
目标函数
min J (x) tf L[x(t),u(t),t]dt t0
约束条件－－受控对象的状态方程 x(t) f [x(t),u(t),t]
6.2 最优控制的前提条件
1.状态方程 x(t) f [x(t),u(t),t]
第六章 最优控制
2019年9月27日
本章内容
6.1 概述 6.2 研究最优控制的前提条件 6.3 静态最优化问题的解 6.4 泛函及其极值――变分法 6.5 用变分法求解连续系统的最优控制问题 6.6 极小值原理 6.7 线性二次型最优控制问题
6.1 概述
1元 工地A 900包
f
(u)
|uu*

0,
f
(u)
|
u
u*

0
6.3.2 多元函数的极值
设n元函数 f = f(u), u=[u1, u2,…, un] ，存在极值点 的必要条件是：
f (u) 0 u
或者函数的梯度为零矢量
T
fu


f u1
f u2

f un

0
2 f
4元
甲仓
1500包
4元
2元
工地B 600包
工地C 1200包
5元
乙仓
9元
1800包
如何发送水泥最省运费?
假设从甲仓运往A,B,C三个工地的水泥包数分别为x1,x2,x3; 从乙仓运往A,B,C三个工地的水泥包数分别为x4,x5,x6
总运费为: f ( x) x1 2x2 4x3 4x4 5x5 9x6
取极小值点的充要条件是

u12
2 f (u) u2

0
海赛矩阵
2 f (u) u2

2 f

u2u1
2 f
unu1
2 f
u1u2 2 f u22
2 f
unu2

2 f
u1un


2 f
u2un
目标函数
x的约束条件
x1 x2 x3 1500
x4 x5 x6 1800
x1 x4 900 x2 x5 600 x3 x6 1200
约束条件 最优化问题
最优化问题的数学描述
静态最优化问题
目标函数 min J (x) f (x)
等式约束条件 gi ( x) 0 i 1,2,, m
其中，Q1，Q2均为正定矩阵，F为任意矩阵。
解：构造拉格朗日函数：
H f ( x, u) λT g( x, u)

1 2
xTQ1x

1 2
uTQ2u

λT
等式约束条件 gi (x) 0
解法
i 1,2,, m
（1）嵌入法
（2）拉个朗日乘子法
拉个朗日乘子法
目标函数
min J f (x, u) 等式约束条件
gi ( x, u) 0 核心思想：
i 1,2,, m
构造与原目标函数具有相同最优解的拉个朗日函数， 作为新得目标函数，同时消去等式约束。
2 f

un2
例6-1 求函数 f(x) 的极值点及极小值。
f ( x) 2x12 5x22 x32 2x2 x3 2x3x1 6x2 3
解：根据极值必要条件 fx 0 ，得：
f x1

4 x1

2 x3

0
f x2
10 x2
2x3
满足 min J ( x)的控制，称为最优控制； 在最优控制 u*(t)下，状态方程的解，称为最优轨线 x*(t) 使性能指标能够达到的最优值，称为最优指标 J *
线性二次型性能指标
J
(x)

1 2
xT (t f
)Q0 x(t f
)

1 2
tf t0
[
xT
(t)Q1
x(t
)

uT
(t)Q2u(t
拉格朗日函数构造： H f ( x, u) λT g( x, u)
将拉格朗日函数最为优化目标函数：min H
则目标函数存在最优解的条件是：
H 0, H 0, H 0
x
u
λ
H f ( x, u) λT g( x, u) 则目标函数存在最优解的条件是：
H

f


g
T

λ

0
x x x
H

f


g
T

λ

0
u u u
g(x, u) 0
H f ( x, u) λT 0 f ( x, u)
例6-2 求使
J

f
( x,
u)ຫໍສະໝຸດ 1 2xTQ1x
1 2
uTQ2u
取极值的x*和u*，并满足约束条件 g(x, u) x Fu d 0
可变终端 x(t f ) f
5.目标泛函－－性能指标
J (x) [x(t f )]
tf t0
L[ x(t ), u(t ), t ]dt
J (x) tf L[x(t),u(t),t]dt t0
J ( x) [ x(t f )]
综合型、鲍尔扎型 积分型、拉格朗日型 终端型、梅耶型
)]dt
6.3 静态最优化问题的解
静态最优化问题 动态最优化问题
目标函数 多元普通函数 泛函数
解法
古典微分法
古典变分法
6.3.1 一元函数的极值
设J=f(x)为定义在闭区间[a,b]上的实数连续可微函 数，则存在极值u*点的必要条件是：
f (u) |uu* 0 u*极小值点的充要条件是
f (u) |uu* 0, f (u) |uu* 0 u*极大值点的充要条件是