四边简支矩形层合板屈曲问题分析
一、问题的描述
四边简支的正交对称矩形层合板，单层厚度为0.2mm ，a=800mm ，b=100mm 。

已知各单层特性：受单向压缩121221181,10.3,7.17,0.28E GPa E GPa G GPa ν====
求：临界载荷[0/90/90/0]
二、解析解
1、理论分析
正交对称层合板单向受压的屈曲方程：
()4442111266224224222+0w w w w D D D D N x x y y x
∂∂∂∂+++=∂∂∂∂∂ 由Navier 法设屈曲形状为双正弦函数：
11sin
sin mn m n m x n y w a a b
ππ∞∞===∑∑ 将w 代入屈曲方程求得临界屈曲荷载为：
()()()2211126622221
22cr N D mb a D D D b mb a π⎛⎫ ⎪=+++ ⎪⎝⎭// 由上式可知N 取最小值的x 方向半波数m 与边长比b a /及刚度有关。

2、matlab 编程求解
E1=181;
E2=10.3;
v21=0.28;
v12=E2*v21/E1;
G12=7.17;
%材料常数
Q11=E1/(1-v12*v21);
Q22=E2/(1-v12*v21);
Q12=E2*v21/(1-v12*v21);
Q66=G12;
%正轴刚度
U1_Q=(1/8)*(3*Q11+3*Q22+2*Q12+4*Q66);
U2_Q=(1/2)*(Q11-Q22);
U3_Q=(1/8)*(Q11+Q22-2*Q12-4*Q66);
U4_Q=(1/8)*(Q11+Q22+6*Q12-4*Q66);
U5_Q=(1/8)*(Q11+Q22-2*Q12+4*Q66);
%单向板正轴刚度的线性组合
z0=-0.4;
z1=-0.2;
z2=0;
z3=0.2;
z4=0.4;
%层合板厚度方向的坐标
theta1=0;
theta2=pi/2;
theta3=pi/2;
theta4=0;
%每层的铺设角
h=0.8;
%层合板的总厚度
V1_D=(1/3)*(((z1)^3-(z0)^3)*cos(2*theta1)+((z2)^3-(z1)^3)*cos(2*t heta2)+((z3)^3-(z2)^3)*cos(2*theta3)+((z4)^3-(z3)^3)*cos(2*theta4));
V2_D=(1/3)*(((z1)^3-(z0)^3)*cos(4*theta1)+((z2)^3-(z1)^3)*cos(4*t heta2)+((z3)^3-(z2)^3)*cos(4*theta3)+((z4)^3-(z3)^3)*cos(4*theta4));
V3_D=0;
V4_D=0;
%层合板的几何因子
D11=U1_Q*h^3/12+V1_D*U2_Q+V2_D*U3_Q;
D22=U1_Q*h^3/12-V1_D*U2_Q+V2_D*U3_Q;
D12=U4_Q*h^3/12-V2_D*U3_Q;
D66=U5_Q*h^3/12-V2_D*U3_Q;
%弯曲刚度
a=0.8;b=0.1;
%层合板的边长
m=1;N1=pi^2/b^2*(D11*(m*b/a)^2+2*(D12+2*D66)+D22/(m*b/a)^2);
m=2;N2=pi^2/b^2*(D11*(m*b/a)^2+2*(D12+2*D66)+D22/(m*b/a)^2);
m=3;N3=pi^2/b^2*(D11*(m*b/a)^2+2*(D12+2*D66)+D22/(m*b/a)^2);
m=4;N4=pi^2/b^2*(D11*(m*b/a)^2+2*(D12+2*D66)+D22/(m*b/a)^2);
m=5;N5=pi^2/b^2*(D11*(m*b/a)^2+2*(D12+2*D66)+D22/(m*b/a)^2);
m=6;N6=pi^2/b^2*(D11*(m*b/a)^2+2*(D12+2*D66)+D22/(m*b/a)^2);
m=7;N7=pi^2/b^2*(D11*(m*b/a)^2+2*(D12+2*D66)+D22/(m*b/a)^2);
M=[1:7]
N=[N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7]
%m为半波数，N为临界荷载
结果：
M =
1 2 3 4 5 6 7
N =
1.0e+004 *
由N可知，当半波数m=5时，最小临界载荷为N。