1 xn xn2 xnn Vandermonde行列式
即方程组（2）有唯一解 (a0, a1, , an)
所以插值多项式
P (x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n
存在且唯一
第二章：插值
§2.2 Lagrange插值
y
数值分析
1、线性插值
P 即(x)ykx yk k 1 1 x yk k(xxk)
l k ( x k 1 ) 0 ,l k ( x k ) 1 ,l k ( x k 1 ) 0 l k 1 ( x k 1 ) 0 ,l k 1 ( x k ) 0 ,l k 1 ( x k 1 ) 1
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) lk(x)((xx k x xk k 1 1))((x xkxx k k1)1)
第二章：插值
数值分析
3、Lagrange插值多项式
令 L n ( x ) y 0 l 0 ( x ) y 1 l 1 ( x ) y n l n ( x )
其中，基函数
lk (x ) (x ( k x x x 0 ) 0 ) (( x x k x x k k 1 1 ) )x x k ( ( x x k k 1 ) 1 ) (( x x k x n x )n )
因此 P (x ) lk (x )y k lk 1 (x )y k 1
且
P (x k ) y k P (x k 1 ) y k 1
lk(x), lk1(x) 称为一次插值基函数
数值分析
第二章：插值
2、抛物线插值 令
y (xk , yk )
f (x)
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) p( x) (xk1,yk1)
l k 1 ( x k 1 ) 1 ,l k 1 ( x k ) 0 ,l k 1 ( x k 1 ) 0 l k ( x k 1 ) 0 ,l k ( x k ) 1 ,l k ( x k 1 ) 0
l k 1 ( x k 1 ) 0 ,l k 1 ( x k ) 0 ,l k 1 ( x k 1 ) 1
的插值函数；
x0 , x1, ... , xn称为插值节点；
(xi, yi), i=1,2,… , n称为插值点；
[a，b]称为插值
区间
第二章：插值
§2.1 引言 1、插值的目的
数值分析
（1）通过插值找规律：
通过实验、观测等方式得到的数据寻求事物的发展规律。
y
yf(x)
y0 y1 yi
x
x 0 x 1
a0
a1x1 an
x1n
y1
(1)
a0 a1xn anxnn yn
既有 1 x0 x02 x0na0 y0
1 1
x1
xn
x12
xn2
xx1nnnaan1
y1 yn
数值分析
(2)
第二章：插值
数值分析
因为
1 x0 x02 x0n
1
x1
x12
x1n 0ij(nxj xi ) 0
xi
x n
第二章：插值
（2）通过插值求函数值
如 ysinx y
3
o
2
2
数值分析
p( x)
sinx x
2
第二章：插值
数值分析
1、插值的基本概念
设函数 yf在(x区)间 有定a,义b，且在已知点：
a x 0 x 1 上 的x 函n 数 值b 为： 如果存在一个简单函数 yp使(x)
y0, y1,, yn yi p(xi)
f (x) p( x) (xk1, yk1)
(xk , yk )
P(x)ykx yk k 1 1 x yk k(xxk)o
x
ykx xk k 1 1 x xk kx yk k 1 1 x yk k(xxk)
x k 1y k x ky k y k 1 x y k 1 x k y kx y kx k x k 1 x k
lk1(x)(x(k x 1 x xk k 1 1))x x ((k 1x kx )k)
第二章：插值
数值分析
令 P ( x ) l k 1 ( x ) y k 1 l k ( x ) y k l k 1 ( x ) y k 1
则 P ( x k 1 ) y k 1 ,P ( x k ) y k ,P ( x k 1 ) y k 1
i0,1,2, ,n
则称 p( x为) f的(插x)值函数；点
ax0 xnb
称为插值节点；包含插值称为插值法。
p( x) 可以是多项式、分段函数、三角函数等等.
第二章：插值
数值分析
2、插值多项式的存在唯一性
已知数表
x0 y0
x1 y1
xn yn
第二章：插值
xk1ykyk1xyk1xkykx xk1xk
xxk xxkk 11ykxx k1 xx kk yk1
其中记
lk(x)xxk xxkk 11 01,,
xxk xxk1
lk1(x)xx k1 xx kk 10 ,,
xxk xxk1
数值分析
第二章：插值
即
1, st ls(xt )0, st
第二章：插值
《数值分析》第二讲
数值分析
插值函数P(x)
插值与拟合 设f(x)为[a，b]上的函数，在互异点x0 , x1, ... , xn 处的函数值分
别为 y0 , y1 , … , yn , 构造的简单函数 P(x)，满足 P(xi)＝f(xi) ,
i＝0, 1, 2, …,n .
P(x)称为关于节点x0 , x1, ... , xn
令多项式 P (x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n 满足 P (x i)yi i 0 ,1 ,2 , ,n
即方程组 a0 a1 x0 an x0n y0
a0
a1
x1
an
x1n
y1
a0 a1xn an xnn yn
有唯一解
第二章：插值
a0 a1x0 anx0n y0
lk(x)((xx k x xk k 1 1))((x xkxx k k1)1)
o
lk1(x)(x(k x 1 x xk k 1 1))x x ((k 1x kx )k)
数值分析
(xk1, yk1) x
第二章：插值
数值分析
则 l k 1 ( x k 1 ) 1 ,l k 1 ( x k ) 0 ,l k 1 ( x k 1 ) 0