y
O
x
x, y
u
三、二维连续型随机变量
当 时,当时, Nhomakorabea故
三、二维连续型随机变量
(3)
三、二维连续型随机变量
例5 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为
其中A , B , C 为常数. (1) 确定常数A , B , C ； (2)求P (X > 2); (3)求(X ,Y )的联合密度函数。
二维随机变量 (X,Y)作为一个整体, 具有分布函
而 和 布函数, 分别记为 数 都是随机变量 , 也有各自的分 依次称为二维随机
变量 (X,Y) 关于 X 和 Y的边缘分布函数.
四、边缘分布
二、离散型随机变量的边缘分布律
一般地，对离散型 r.v ( X,Y )， X和Y 的联合分布律为
则 (X,Y) 关于X 的边缘分布律为:
一、二维随机变量的分布函数
随机点 落在矩形域
概率为
一、二维随机变量的分布函数
分布函数 F x , y 的性质 :
y
x1 , y
x1
y
x2 , y
x2 x
X ,Y
O
X ,Y
一、二维随机变量的分布函数
y y
x, y
x
Y O
X ,Y
X
x
一、二维随机变量的分布函数
的分布律,
二、二维离散型随机变量
也可用表格来表示随机变量X和Y 的联合分布律.



二、二维离散型随机变量
二维离散型随机变量 的分布律具有性质
二维离散型随机变量
的联合分布函数为：
二、二维离散型随机变量
例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次 抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 . 解 ( X, Y ) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)
多维随机变量及其分布
第一节 联合分布与边缘分布
引言
从本讲起，我们开始第三章的学习. 它是第二章内容的推广.
一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的困难， 我们重点讨论二维随机变量 .
引言
到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而 需要用几个随机变量来描述.
f ( x)dx 1
三、二维连续型随机变量
（X,Y）的概率密度的性质 :
f x , y dxdy 1 ; 2. f x , y dxdy 1; 2 R 注： 几何上, z f ( x, y ) 表示空间的一个曲面 .
2
三、二维连续型随机变量
例4 设(X,Y)的概率密度是
(1) 求常数A; (2) 求分布函数 (3) 求概率 解 (1) 由 可得A=2. .
三、二维连续型随机变量
解 (2) 积分区域 区域
v
y
v
x, y
x, y
u
y
O
x
xO
u
三、二维连续型随机变量
v v
x
x, y
O
y
u
四、边缘分布
解
Y X
0

1
12 42 6 42
012 42 12 142 4 pi P{ X xi } 7
3 7
p j P{Y y j } 4 7 3 7 1
注意
联合分布 边缘分布
四、边缘分布
例7 一整数 N 等可能地在1, 2, 3,,10 十个值中取
一个值. 设 D D( N ) 是能整除 N 的正整数的个数, F F ( N ) 是能整除 N 的素数的个数.试写出 D 和 F 的联合分布律, 并求边缘分布律.
F x
x
f t d t
x X的概率密度函数
则称 是连续型的二维随 机变量 , 函数 f x , y 称为二维 随机变量 （X,Y )的概率密度 , 或 称为随机变量 X 和 Y 的联合概 率密度.
f x x R


f ( x) 0

P{X=0, Y=3} P{X=1, Y=1} P{X=2, Y=1} =3/8 =3/8
P{X=3, Y=3}
二、二维离散型随机变量
例2 设随机变量 X 在 1,2,3,4 四个整数中等可能地
取值, 另一个随机变量Y 在 1 ~ X 中等可能地取一 整数值.试求 ( X ,Y ) 的分布律.
解 { X i ,Y j } 的取值情况是: i 1,2,3,4,
FX ( x ) F ( x , ) [
x
f ( x , y ) d y ]d x ,
记
f X ( x)


f ( x, y ) d y,
称其为随机变量 ( X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度.
四、边缘分布
同理可得 Y 的边缘分布函数
FY ( y ) F (, y )
F ( x , y ) p11 0;
1
(1,1)
o
1
2
x
( 3)当1 x 2, y 2时, F ( x , y ) p11 p12 1 3 ;
二、二维离散型随机变量
y
2(1,2) 1 (1,1)
( 2, 2 )
( 2,1)
o
1
2
x
(4)当x 2,1 y 2时, F ( x , y ) p11 p21 1 3; (5)当x 2, y 2时, F ( x , y ) p11 p21 p12 p22 1.
0 0 0
1 12
1 12
3
4
0 0
0
1 16 1 16 1 16 1 16
二、二维离散型随机变量
例3 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2, 从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每 次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X, Y 分 别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 , 求 ( X, Y ) 的分布律与分布函数. 1 2 2 解 ( X, Y ) 的可能取值为 (1,2), ( 2,1), ( 2,2).
四、边缘分布
(X,Y) 关于 Y 的边缘分布律为:
离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函数分别为:
四、边缘分布
Y X
x1 x2 xi
y1 y2 yj
j 1
p11 p12 p1 j
p21 p22 p2 j


pi 1 pi 2 pij






i 1
三、二维连续型随机变量
解 (1)
三、二维连续型随机变量
(2)
(3)
三、二维连续型随机变量
四、课堂练习
设随机变量(X, Y)的概率密度是
(1) 确定常数
(2) 求概率
三、二维连续型随机变量
解 (1)
y
4 2
o
故
2
x
三、二维连续型随机变量
(2) .
y
4 3 2
o
12
x
四、边缘分布
一、边缘分布函数
j取不大于i的正整数. 且由乘法公式得
1 1 P{ X i ,Y j } P{Y j X i }P{ X i } , i 4 i 1,2,3,4, j i .
于是 ( X ,Y ) 的分布律为
二、二维离散型随机变量
Y X
1
2
3
1 12
4
1 2
1 4
1 8 1 8
P{ F j }
1 10 7 10 2 10 1
或将边缘分布律表示为
D 1
2
3
4
F
0
1
2
pk 1 10 4 10 2 10 3 10
pk 1 10 7 10 2 10
四、边缘分布
三、连续型随机变量的边缘分布
定义 对于连续型随机变量 ( X ,Y ), 设它的概率 密度为 f ( x , y ), 由于
二、二维离散型随机变量
所以( X ,Y ) 的分布函数为
0, x 1 或 y 1, 1 F ( x , y ) , 1 x 2, y 2, 或 x 2,1 y 2, 3 1, x 2, y 2.
三、二维连续型随机变量
定义3 对于二维随机变量 使对于 的分布函数 F x , y ,如果 存在非负的函数 任意 有 一维随机变量X 连续型
f ( x, y ) d x d y,

y

fY ( y )

f ( x, y) d x.
Y 的边缘概率密度.
四、边缘分布
例8
设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度
6, x 2 y x , f ( x, y) 0, 其他. 求边缘概率密度 f X ( x ), fY ( y ) . y 解 f X ( x ) f ( x , y ) d y
1 2 1 2 1 1 P{ X 1,Y 2} , P{ X 2,Y 1} , 3 2 3 3 2 3 2 1 1 P{ X 2,Y 2} . 3 2 3
二、二维离散型随机变量
p11 0, 1 p12 p21 p22 , 3
G
注： P{( X ,Y ) G }
f ( x, y ) d x d y, G