初中奥数培训讲义
第7 讲一元二次方程
徐老师
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1 2 1 2 1 2
( 知识点和常用方法补充
1. 一元二次方程
方程ax 2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) 称为一元二次方程．其基本解法有开平方法、配方法、公式法和因式分解法．
2. 一元二次方程的求根公式
2 x 1,2 = , b - 4ac ≥ 0 2a
对于方程ax 2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) ， ∆ = b 2 - 4ac 称为该方程的根的判别式。
当 ∆ > 0 时，方程有两个不相等的实数根，即 x 1,2 = ；当∆ > 0时，方 2a
程有两个相等的实数根，即 x = x = -b ；当∆ > 0时，方程无实数根。
1 2 2a 3. 一元二次方程的根与系数关系
若一元二次方程ax 2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) 的两个实根为 x 、x ，则 x + x = - b ，
x 1 ⋅ x 2 = c 。
a
1 2 1 2 a 上述结论即为一元二次方程根与系数的关系，又称韦达（Vieta ）定理。
事实上，若ax 2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) 有两根 x 、 x ，则 1 2
ax 2 + bx + c = a (x - x )(x - x )= ax 2 - a (x + x )x + ax x ，比较等式两边的系数，
⎧x + x = - b ⎪ 1 2 a
b c 得⎨ ⎪x x = c 。
反过来，若两数 x 1 、x 2 满足 x 1 + x 2 = - a 、x 1 ⋅ x 2 = a ，则 x 1 、x 2 ⎩
⎪ 1 2 a
必为方程ax 2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) 的两根。
典型例题
例 1. 解关于 x 的方程： x 2 - (p 2 + q 2 )x + pq ( p + q )( p - q ) = 0
-b
-b ±)
例2. 已知首项系数不相等的两个方程：(a-1)x2-(a2+2)x+(a2+2a)=0和(b-1)x2-(b2+2)x+(b2+2b)=0(其中a，b 为正整数)有一个公共根.求a，b 的值.
例 3. 已知方程(2000 x)2 - 2001⨯1999 x -1 = 0 的较大根为α ，方程x2 +1998x -1999 = 0 的较小根为β，求α-β的值．
例4. 解方程：x2 - 3 | x | -4 = 0 ．
例5. 已知a，b 为正整数，关于x 的方程x2 - 2ax +b = 0 的两个实数根为x ，x ，
1 2关于 y 的方程 y
2 + 2ay +b = 0 的两个实数根为 y ，y ，且满足 x y -x y = 2008 。
1 2 1 1 2 2
求b 的最小值．
例6 求方程x +y =x2 -xy +y 2 + 1的实数解。
例7 解关于x 的方程：(m -1)x2 + (2m -1)x +m - 3 = 0 ．
例8. 解关于x 的方程：a2(x2-x+1)-a(x2-1)=(a2-1)x．
例9. 求k 的值，使得两个一元二次方程x2 +kx -1 = 0 ，x2 +x + (k - 2) = 0 有相同的根，并求两个方程的根．
例10. 若k 为正整数，且关于x 的方程(k 2 -1)x2 - 6(3k -1)x + 72 = 0 有两个不相等的正整数根，求k 的值．
例11. 关于x 的一元二次方程x2 - 5x =m2 -1 有实根α和β，且|α| + | β|≤ 6 ，确定m 的取值范围．
例 12. 设实数a ， b 满足19a2 + 99a +1 = 0 ,
b2 + 99b +19 = 0 ，且ab ≠ 1 . 求
ab + 4a +1
的值.
b
例13. 设a，b，c 为△ABC 的三边，且二次三项式x2 + 2ax +b2 与x2 + 2cx -b2 有一次公因式，证明：△ABC 一定是直角三角形．
例14. 有若干个大小相同的球，可将它们摆成正方形或正三角形，摆成正三角形时比摆成正方形时每边多两个球，求球的个数．
例15. 若实数x，y 满足x3 +y3 +1 (x +y )=15 ，则x +y 的最大值为．
4 2
例16. 设a，b，c，d为四个不同的实数，若a，b为方程x2 - 10cx - 11d = 0 的根，c，d为方程x2 - 10ax - 11b = 0 的根，求a +b +c +d 的值．
例17. 已知三个不同的实数a, b, c 满足 a -b +c = 3 ，方程x 2 +ax + 1 = 0 和x 2 +bx +c = 0 有一个相同的实根，方程x2 +x +a = 0 和x 2 +cx +b = 0 也有一个相同的实根．求a, b, c 的值．
例18. 已知方程x2 - 6x - 4n2 - 32n = 0 的根都是整数，求整数n 的值.
例19. 已知a,b 为正整数，关于x 的方程x2 - 2ax +b = 0 的两个实数根为
x 1，x
2
，关于y 的方程y + 2ay +b = 0 的两个实数根为y ，y ，且满足
2
x 1 ⋅y
1
-x
2
⋅y
2
= 2008.求b的最小值.
1 2
⎩ ⎧x 2 + y 2 - xy - 3x + 3 = 0 例 20. 解方程组⎨x 2 + y 2 + z 2 - xy - yz - 2xz - 9 = 0 .
例 21. 已知α, β是方程 x 2 - 2x - 2 = 0 的两根，且α> β，利用根与系数的关系求 2 + 3β2 的值. α
例 22. 已知实数 a ，b ，c 满足a + b + c = 0 ， abc = 2，求| a | + | b | + | c | 的最小值.
⎨ ⎩
例 23. 已知 a ，b ，c ，d 是四个不同的有理数，且(a + c )(a + d ) = 1 ，(b + c )(b + d ) = 1 ，求(a + c )(b + c ) 的值.
⎧x 2 + 2 yz = x 例 24. 解方程组⎪ y 2 + 2zx = z . ⎪z 2 + 2xy = y
例 25. 是否存在质数 p ，q ，使得关于 x 的一元二次方程 px 2－qx ＋p ＝0 有有理数根？
习题
1．解方程：(1) (1+ 2) x2 - (3 + 2) x+= 0 (2) x2 + | 2x -1| -4 = 0
2
2．解下列关于x 的方程：
(1) abx2 - (a4 +b4 )x +a3b3 = 0 ；(2) (2x2 - 3x - 2)a2 + (1 -x2 )b2 =ab(1 +x2 ) ．
3．若对任何实数a，关于x 的方程x2 - 2ax -a + 2b = 0 都有实数根，求实数b 的取值范围．
4．已知m，n 是有理数，方程x2 +mx +n = 0 有一个根是- 2 ，求m+n 的值.
5
5．若方程x2 +ax +b = 0 和x2 +bx +a = 0 有一个公共根，求(a+b)2019 的值．
6．若a，b，c 为△ABC 的三边，且关于x 的方程
4x2+4(a2+b2+c2)x+3(a2b2+b2c2+c2a2)=0有两个相等的实数根，试证△ABC 是等边三角形．
1 1
2
3 7．当 a ，b 为何值时，方程 x 2 + 2(1+ a )x + (3a 2 + 4ab + 4b 2 + 2 )= 0 有实数根.
8. 已知 x ，x ，x ( x < x < x )为关于 x 的方程 x 3 - 3x 2 + (a + 2)x - a = 0 的三个实数根， 1 2 3 1 2 3
则4x - x 2 + x 2 + x 2 = .
9. 已知 b 2-4ac 是一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a≠0)的一个实数根，则 ab 的取值范围为（ ）
(A) ab ≥ 1 8
(B) ab ≤ 1 8 (C) ab ≥ 1 4 (D) ab ≤ 1 4
10.设实系数方程x2-ax+b=0的两个实根为α, β，（1）求以α3, β3为根的二次项系数为1 的一元二次方程；（2）若以α3, β3为根的一元二次方程仍然是x2 -ax +b = 0，求所有这样的一元二次方程.
1.实数a，b，c 满足a2 -bc - 6a + 3 = 0 ，b2 +c2 +bc - 2a -1= 0 ，求a 的取值范围.
12. 已知方程x2 + 3x +1 = 0 的两根为α, β，方程x2 - 5x +1 = 0 的两根为γ，δ. 求(α-γ)(β-γ)(α+δ)(β+δ) 的值.
⎨ ⎩
⎧(x + y )(x + z ) = x 13. 解方程组⎪( y + z )( y + x ) = 2 y . ⎪(z + x )(z + y ) = 3z
14. 已知方程a 2 x 2 - (3a 2 - 8a )x + 2a 2 -13a +15 = 0 （其中 a 是非负整数），至少有一个整数根，那么 a = 。
(1998 年全国初中数学联赛)
15. 设 x ，x 是二次方程 x 2 + x - 5 = 0 的两根，求 x 3 - 6x 2 的值
1 2 1 2。