微分方程数值解――
第二章习题
1．设 为 的一阶广义导数，试用类似办法定义 的 阶广义导数 （ ）。
解：对一维情形，函数的广义导数是通过分部积分来定义的。
我们知， 的一阶广义导数位 ，如果满足
类似的， 的 阶广义导数为 ，如果有
2．试建立与边值问题
等价的变分问题。
证明：
设
对方程 两边同乘以 ，再关于 在 上积分 ，得
其中
记 ， 。于是我们得到以下等价变分问题的提法：
设 是原边值问题 的解的充分必要条件是，它是以下变分问题的解：
，其中
这个等价性是容易证明的。事实上，上述推导过程已经将充分性证明了，我们只要就必要性予以证明。注意到 ，由其反推，便可证得必要性。
3．对边值问题
其中 ， ， ，
建立虚功原理或极小位能原理。
解：
由题意，试探函数空间
检验函数空间
虚功原理：设 是原问题的解，当且仅当 是以下变分问题的解
其中， ，
证明：必要性
设 是原问题的解，对方程 两边同乘以 ，再关于 在 上积分 ，得
其中
令
，
则有
充分性
设 是变分问题 的解，即
由 式，
特别，取 ，则 ，
于是， ，所以由变分法基本引理知， ，即 式成立。
将 代入 得到
于是得到
即 式成立。
综上，等价性得到证明。
如要建立极小位能原理，则首先要对原边值问题齐次化。