高三复习专题：探索性问题的常见类型及其求解策略在近儿年的高考试题中，有关探索性问题频频出现，涉及代数、三角、儿何, 成为高考的热点之一。

正因如此，初等数学中有关探索性问题也就成为大家研究的热点。

多年来笔者对此也做了一些探讨。

探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。

要求解答者自己去探索，结合己有条件，进行观察、分析、比较和概括。

它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。

它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。

探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。

每一种类型其求解策略乂有所不同。

因此，我们在求解时就必须首先要明辨它是哪一种类型的探索问题，然后再根据所属类型制定解题策略。

下面分别加以说明：一、条件追溯型这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。

解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。

在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。

例1. (2002年上海10)设函数/•⑴= sin2x,若是偶函数，贝Ut的一个可能值是o 分析与解答：：/(x + r) = sin2(x + r) = sin(2x + 2r).X/(x + 偶函数/. f(x + t) = f(-x + r)B|Jsin(2x + It) = sin(-2x + 2r)。

由此可得、2k +12x + 2r = -2x + 2/ + + t = TT-(-2X +2t) + 2ki(k E Z) /. t = --- 7r(k e Z)4 评注：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件.这类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力.二、结论探索型这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。

解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。

在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。

例 2. （2004年上海文12）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”。

设｛%｝是公比为q的无穷等比数列，下列｛%｝的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第组。

（写出所有符合要求的组号）。

①Si与S2；②a2与S3;③ai与an；④q与a”.其中n为大于1的整数，Sn为｛%｝的前n项和。

分析与解答：（1）由S［和S2，司•知ai和a?。

由—=q得公比q,故能确定 % 数列是该数列的“基本量”。

（2）由a?与S3,设其公比为q,首项为a.可得a2 = a x q.a x =二，如=% + %q + %q~・ q. .如= --- % + a）q' q ~ _「•+ （a2 - S3）q + a2 = 0满足条件的q可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列｛%｝的基本量。

（3）由ai与a。

，可得=—,当n为奇数时，q可能有两个值,%故不一定能确定数列，所以也不一定是数列的一个基本量。

（4）由q与an，由q二弓矿七可得。

］二三％，故数列｛%｝能够确定，是数列｛%｝的一个基本量。

故应填①、④评注：数学需要解题，但题海战术绝对不是学习数学的最佳策略。

木题考查确定等比数列的条件，要求正确理解等比数列和新概念“基本量”的意义。

如何能够跳出题海，事半功倍，全面考察问题的各个方而，不仅可以训练自己的思维，而且可以纵观全局，从整体上对知识的金貌有一个较好的理解.例3 (2002上海).规定C.=-(七J二3二吧),其中E R, m是正整数，且m\&? = 1,这是组合数C；；1 (n, m是正整数，且m<n)的一种推广.(I)求C%的值;(II )组合数的两个性质：①C： = CT；②C：+ C：= = C；：»是否都能推广到(XE R,m是正整数)的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；(III)我们知道，组合数是正整数.那么，对于C. XE R,〃z是正整数, 是否也有同样的结论？你能举出一些C: ER成立的例子吗？分析与解答：(I ) 史客四11628.(II)一个性质是否能推广的新的数域上，首先需要研究它是否满足新的定义.从这个角度很快可以看出：性质①不能推广.例如当x = ^2时，C上有定义，但C 牙无意义.性质②如果能够推广，那么，它的推广形式应该是：+ 其中x E R ,秫是正整数.类比于性质①的思考方法，但从定义上是看不出矛盾的，那么，我们不妨仿造组合数性质的证明过程来证明这个结论.事实上，当刀=1时，e+C?=x + l=C\.当m>2时，妇_ .(.T)・・・(m + 1) "■T)・・・(i〃 + 2)x v—m!(/n-1)!_ x(x-l)---(x-m + 2)f x-m + 1(m-1)! v m >x(x-l)---(x-/?2 + 2)(x+1)m\Cmx+l由此，可以知道，性质②能够推广.(III)从的定义不难知道，当x/Z且m工()时，C；”E Z不成立，下面，我们将着眼点放在xeZ的情形.先从熟悉的问题入手.当x>m时，C.就是组合数，故G Z .当x W Z且X < 〃7时，推广和探索的一般思路是：能否把未知的情形（c： f" 且x < m ）与已知的结论C； G Z相联系？一方面再一次考察定义：仁”="七'）二（七〃‘ + '）；另一方面，可以从具体的问题入手.由（I）的计算过程不难知道：C\=-C：9.另外，我们可以通过其他例子发现类似的结论.因此，将转化为驾可能是问题解决的途径.事实上，当XV。

时，A-(x-l)-*-(x-/?z + l) n, (-A + /n-l)---(-x+l)(-x) v■-；C -5-1 %1若-x + m-\>m ,即x<-L则C’-i为组合数，故C：eZ •%1若-x + m-l< m，即0 <x<m时，无法通过上述方法得出结论，此时，由具体的计算不难发现：C；=0……，可以猜想，此时C：=OcZ.这个结论不难验证.事实上,当0<x<m时，在x,x-l,・・・,x-"2 + l这m个连续的整数中，必存在某个数为0.所以，C：=0eZ.综上，对于xeZ且〃2为正整数，均有C；M G Z .评注：类比是创造性的“模仿。

联想是“由此及彼”的思维跳跃.在开放题的教学中，引导学生将所求的问题与熟知的信息相类比，进行多方位的联想，将式子结构、运算法则、解题方法、问题的结论等引申、推广或迁移，可由已知探索未知，由旧知探索新知，这既有利于培养学生的创新思维能力，乂有利于提高学生举一反三、触类旁通的应变灵活性.三条件重组型这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题。

此类问题更难，解题要有更撮的基础知识和基本技能，需要要联想等手段。

一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求。

应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力。

例4 （1999年全国）a、6是两个不同的平面，m、n是平面a及&之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m_Ln ② a J_ B ③n_1_ 8 ④m_L a以其中的三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题O分析：本题给出了四个论断，要求其中三个为条件，余下一个为结论，用枚举法分四种情况逐一验证。

分析与解答：依题意可得以下四个命题：（l）m±n, a JL 6 , n± B => m± a ；（2）m±n, a ± P , m± a =>n_L P ；（3）m± a , nJL B， m± an a_|_B；（4） a ± P , n_L B , m± a nmJLn。

不难发现，命题（3）、（4）为真命题，而命题（1）、（2）为假命题。

故填上命题（3）或⑷。

例5.（2004年北京）已知三个不等式：ab>0,bc-ad>0,--->0（其中a b a, b, c, d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（）A、0B、1C、2D、3分析与解答：若ab > 0,he - ad >。

，则—=—一~—> 0a h abc d二ab > 0,bc -ad > 0 => ----- > 0a b十，c c d石thi hc-ad八若ab > 0, ----- > 0测------- > 0a b ab:.be - ad > 0,即。

> 0,—> 0 = be — ad > 0a b若阮则^^〉o a b ab:.ab > 0,叩be - ad > 0,—> 0 n〉0a b故三个命题均为真命题，选D。

四、存在判断型这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某-•数学对象（数值、图形、函数等）是否存在或某一结论是否成立。

解决这类问题的基本策略是：通常假=Jo, + 8 < 3. -对对任意。

w A 及E [- 1,1恒成立, 定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这 个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论。

其中反证法在解题中起着重要的作用。

9例6、(2004年福建)已知/(x) = 4x + ax 2--x\x e R)在区间［-1,1］上是增函数。

(1) 求实数a 的值组成的集合A ；(2) 设关于x 的方程f(x ) = 2x + -x 3的两个非常零实根为xi 、x 2,试问：是 否存在实数m ，使得不等式+ tm +1 > |^ - x 2|对任意ae A 及［-1,1］恒成立？若 存在，求ni 的取值范围；若不存在，请说明理由。

分析与解答：(1) = 4 +2心-2尤2,・・・f(x)在［―1, 1］上是增函数，/. f\x) > 0对X G ［- 1,1 扼成立即X ，—ax — 2W0,对xE ［ — 1, 1］恒成立①设(p(x) = x 1 - ax-2 (p( 1) = 1—。