v＝ GRM＝
Gρ·R43πR3＝
43πGρR2
＝ 43×3.14×6.67×10－11×1.41×1011×6.4×1062 m/s ＝4.02×107 m/s。 [答案] (1)1.41×1011 kg/m3 (2)4.02×107 m/s
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[借题发挥] 第一宇宙速度 v＝ GRM＝ gR，也可应用于其他星体， 只不过公式中的 M、R、g 应为相应天体的质量、半径和表 面重力加速度。
[思路点拨] 只要保证赤道上的物体不被“甩”掉，其他 地方的物体就不会被“甩”掉。
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[解析] (1)假设赤道上的物体刚好不被“甩”掉，则此时
白矮星对物体的万有引力恰好提供物体随白矮星转动的向
心力，设白矮星质量为 M，半径为 r，赤道上物体的质量为
m，则有 GMr2m＝m4Tπ22r，白矮星的质量为 M＝4GπT2r23。白矮星
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对应的速度大小即是第一宇宙速度。
又在星球表面附近重力提供做圆周运动的向心力，即 mg＝F 向， 则 mg＝m4Tπ22R，
所以运动周期 T＝2π v20Rh。
答案：(1)v20h2 (2)v0
R 2π 2Rh
2h
v0
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[例2] 已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g， 某人造地球卫星在距地球表面高度等于地球半径3倍处做匀 速圆周运动，求：
由 mg＝mvR2得 v＝ gR＝ 9.8×6 400×103 m/s＝7.9 km/s。
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(2)第二宇宙速度：在地面上发射物体，使之能够脱离 地球的引力作用，成为绕太阳运动的人造行星或绕其他行 星运动的人造卫星所必需的最小发射速度，其大小为v＝ 11.2 km/s。
(3)第三宇宙速度：在地面上发射物体，使之最后能脱 离太阳的引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的 最小发射速度，其大小为v ＝16.7 km/s。
3．第二宇宙速度为11.2 km/s，其意义表示物体脱离地球的 束缚所需要的最小发射速度。
4．第三宇宙速度为16.7 km/s，其意义为物体脱离太阳引力 的束缚所需的最小发射速度。
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[自学教材] 1．人造地球卫星
(1)概念：如图6－5－1所示，当物体 的 初速度足够大时，它将会围绕 地球旋转
Rr ，故 C 正确。 答案：AC
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[例1] 人们认为某些白矮星(密度较大的恒星)每秒钟大 约自转一周(引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，地球半径R 约为6.4×103 km)。
(1)为使其表面上的物体能够被吸引住而不致于由于快速 转动而被“甩”掉，它的密度至少为多少？
(2)假设某白矮星的密度约为此值，且其半径等于地球半 径，则它的第一宇宙速度约为多少？
4π2r3
的密度为
ρ
＝
M V
＝
GT2 43πr3
＝
3π GT2
＝
3×3.14 6.67×10－11×12
kg/m3 ＝
1.41×1011 kg/m3。
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(2)白矮星的第一宇宙速度，就是物体在万有引力作用下沿 白矮星表面绕它做匀速圆周运动时的速度，即 GMRm2 ＝mvR2。白 矮星的第一宇宙速度为
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[例3] 发射地球同步卫星时，先将 卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火， 使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火， 将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相 图6－5－4 切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图6－5－4所示。卫星分别 在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是 ( )
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A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度 C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2 上经过Q点时的加速度 D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上 经过P点时的加速度
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相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球 同步卫星，又叫通讯卫星。同步卫星有以下几个特点：
(1)同步卫星的运行方向与地球自转方向一致。 (2)同步卫星的运转周期与地球自转周期相同，即T＝24 h。 (3)同步卫星的运行角速度等于地球自转的角速度。 (4)要与地球同步，卫星的轨道平面必须与赤道平面平行， 又由于向心力是万有引力提供的，万有引力必须在轨道平面上， 所以同步卫星的轨道平面均在赤道平面上，即所有的同步卫星 都在赤道的正上方，不可能定点在我国某地上空。
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3．同步卫星离地心的距离为 r，运行速度为 v1，加速度为 a1，
地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为 a2，第一宇
宙速度为 v2，地球的半径为 R，则
()
A.aa12＝Rr
B.aa12＝Rr
C.vv12＝
R r
D.vv12＝Rr22
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解析：同步卫星和地球赤道上的物体绕地心运动的角速度相 同，由 a＝ω2r∝r，可得aa12＝Rr ，所以 A 正确。又由 GMr2m＝ mvr2，得 v＝ GrM，对于同一中心天体有 v∝ 1r，所以vv12＝
而不再落回地面，成为一颗绕地球转动
的人造卫星。
(2)运动规律：一般情况下可认为人 造卫星绕地球做 匀速圆周 运动。
图6－5－1
(3)向心力来源：人造地球卫星的向心力由 地球对它 的万有引力 提供。
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2．宇宙速度 (1)第一宇宙速度：v1＝ 7.9 km/s ，又称环绕速度。 (2)第二宇宙速度：v2＝ 11.2 km/s ，又称脱离速度。 (3)第三宇宙速度：v3＝ 16.7 km/s ，也叫逃逸速度。 3．梦想成真 1957年10月， 前苏联 成功发射了第一颗人造卫星； 1969年7月，美国“阿波罗11号”登上 月球 ； 2003年10月15日，我国航天员 杨利伟 踏入太空。
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[重点诠释] 对宇宙速度的理解 宇宙速度是满足地球上不同要求的卫星的发射速度，不 能理解成卫星的运行速度。 (1)第一宇宙速度：指人造卫星在地面附近绕地球做匀 速圆周运动所具有的速度，是人造地球卫星的最小发射速度， v＝7.9 km/s。 设地球质量为M，卫星质量为m，卫星到地心的距离为r， 卫星做匀速圆周运动的线速度为v ，根据万有引力定律和牛 顿第二定律得：
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1．宇航员在某星球表面以初速度v0竖直向上抛出一个物体， 物体上升的最大高度为h。已知该星球的半径为R，且物 体只受该星球引力的作用。 (1)求该星球表面的重力加速度。 (2)如果要在这个星球上发射一颗贴近它表面运行的卫星， 求该卫星做匀速圆周运动的线速度和周期。
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解析：(1)根据运动学规律，物体上抛过程中有 v20＝2gh 所以星 球表面的重力加速度 g＝v20h2。 (2)卫星贴近星球表面运转时其轨道半径近似等于星球的半径， 万有引力提供向心力。根据牛顿第二定律得 GMRm2 ＝mg＝mvR2，v＝ gR＝v0 2Rh。
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GMr2m＝mvr2，v＝
GrM。
应用近地条件 r≈R(R 为地球半径)，取 R＝6 400 km，M
＝6×1024 kg，则：
v＝ GRM＝7.9 km/s。 第一宇宙速度的另一种推导：在地面附近，万有引力近
似等于重力，此力提供卫星做匀速圆周运动的向心力。(地球 半径 R、地面重力加速度 g 已知)
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2.如图6－5－3中的圆a、b、c，其圆心
均位 于地球的自转轴 线上，对卫星
环绕地球做匀速圆周运动而言，以下
说法正确的是
()
A．卫星的轨道可能为a
B．卫星的轨道可能为b
C．卫星的轨道可能为c
D．同步卫星的轨道只可能为b
图6－5－3
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解析：由于物体做匀速圆周运动时，合力一定是指向圆心 的，所以地球卫星的圆心应与地球球心重合，A错误、B、 C正确。同步卫星的轨道必须在赤道上方，选项D正确。 答案：BCD
卫星沿椭圆轨道运行时，在近地点做离心运动，说明近地
点的速度大于第一宇宙速度，D错误。
答案：BCBiblioteka 返回1.人造卫星的轨道
卫星绕地球做匀速圆周运动时
由地球对它的万有引力充当向心力。
因此卫星绕地球做匀速圆周运动的
圆心必与地心重合，而这样的轨道
图6－5－2
有多种，其中比较特殊的有与赤道共面的赤道轨道和通过
两极点上空的极地轨道。当然也应存在着与赤道平面成某
一角度的圆轨道。如图6－5－2所示。
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2．人造卫星的运行规律
(1)人造卫星的运行速率：由 GMr2m＝mrv2得 v＝
GrM，即
为人造卫星绕地球做匀速圆周运动时的线速度。说明轨道半径
越大，卫星做圆周运动的线速度就越小；当 r＝R 时，卫星绕地
面运行，v＝ GRM＝7.9 km/s，这是第一宇宙速度，也是卫星
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1．关于第一宇宙速度，下列说法正确的是
()
A．它是人造地球卫星绕地球运行的最小速度
B．它是人造地球卫星在近地圆轨道上的绕行速度
C．它是能使卫星进入近地圆轨道的最小发射速度
D．它是卫星在椭圆轨道上运行时近地点的速度
解析：第一宇宙速度是卫星的最小发射速度，也是卫星环
绕地球做圆周运动的最大绕行速度，A错误；B、C正确；
(1)卫星的线速度； (2)卫星绕地球做匀速圆周运动的周期。 [思路点拨] 人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动所需 的向心力由万有引力提供；物体在地球表面所受的重力等于 万有引力。
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[解析] 设卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为 T，根据
万有引力定律和牛顿第二定律得
GM4Rm2＝m4vR2 ，GM4Rm2＝m(2Tπ)2·4R。
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解析：卫星绕地球做圆周运动的向心力由地球对卫星的万有引 力提供，由万有引力定律和牛顿第二定律得 GMr2m＝m(2Tπ)2r， 得 r∝ 3 T2。又 TA∶TB＝1∶8，得rrAB＝ 3 TTBA2＝ 3 182＝14。 由卫星做匀速圆周运动得 v＝2Tπr，所以 v∝Tr ，则vvAB＝rrABTTBA＝14 ×81＝2∶1。 答案：D