中挑选几个来建造信号发射基站，以便覆盖一个城 市中的四个地区。这四个位置对于四个区的覆盖与 修建费用如下表所示（在一个位置所在列与一个地 区所在行的交叉点处有数字“1”表明在该位置建造 信号发射基站时信号可以覆盖对应的地区）：
覆盖 地区A 地区B 地区C 地区D 费用 位置1 1 1 1 1 200 1 150 190 250 位置2 位置3 1 位置4 1
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求解结果：
一年期 二年期 三年期 期初现金 到期本金 到期利息 现金需要额 一年期存款 二年期存款 三年期存款 期末现金 14090.97 15 TRUE TRUE TRUE TRUE 100 年利率 到期总利率 2.5% 2.5% 2.7% 5.5% 2.9% 9.1% 第1年 10000 第2年 0.00 53.00 1.33 0.00 0.00 54.33 0.00 第3年 0.00 947.84 52.16 1000 0.00 0.00 0.00 0.00 第4年 第5年 0.00 0.00 8999.15 1947.74 815.03 52.26 -5000 2000 1893.42 0 0.00 0 12920.77 0.00 0.00 第6年 0.00 0.00 0.00 第7年初 0.00 12920.77 1170.20 到期现金余额 0 14090.97
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根据有无约束条件
无约束条件的最优化问题，在资源无限的情况下求解最佳目标； 有约束条件的最优化问题，在资源限定的情况下求解最佳目标； 实际问题一般都是有资源限制的，所以大部分最优化问题都是
有约束条件的最优化问题。
根据决策变量在目标函数与约束条件中出现的形式
线性规划问题 非线性规划问题 二次规划问题
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【例8.1】某化工厂用A、B、C三种原料生产P1、
P2两种化工产品。每生产1升P1产品需要A、B、C 的数量为3，4，2公斤，而生产1升P2的数量为4， 2，1公斤。P1、P2的单位利润分别为5元和4元， 工厂现有A、B、C三种原料的数量分别为14，8，6 公斤。试用规划求解工具帮助该工厂安排生产P1、 P2的产量，使其能获利最大。
Max / Min : y f ( x1 , x2 ,...,xn )
St : s1(x1,x 2 ,..., x n ) 0
s2(x1,x 2 ,..., x n ) 0
„„
s m(x1,x 2 ,..., x n ) 0
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如果决策变量在目标函数或者约束条件中出现了
非线性的形式，最优化问题就是非线性规划问题。 线性规划问题是最简单的规划问题，也是最常用 的求解最优化问题的方法，对其进行的理论研究 较早，也较成熟，可以找到全局最优解。 非线性规划问题形式多样，求解复杂，不能保证 找到全局最优解，大部分情况下只能找到局部最 优解 线性规划问题是非线性规划问题的一种特例。
每月的储存成本等于单位储存成本与月平均库存量（月初库存量与月末库存
量的平均值）的乘积； 每月的单位储存成本等于当月单位生产成本的1.5%； 公司要求每月的生产量既不超过当月生产能力又不低于当月生产能力的一半； 为防备急需，管理人员还要求每月月末库存量不少于1500件； 仓库容量为6000件； 当前库存量为2750件。
2 0
3 0 1
4 0 0 0
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求解结果：
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【例8.6】某人手头有10000元准备存入银行。银
行可供选择的储蓄品种有一年期、二年期和三年 期的定期存款，三种存款的年利率分别为2.5%、 2.7%和2.9%（复利计息）。此人第3年初和第5年 初需要使用现金1000元和2000元，第4年初有5000 元的现金收入可以存入银行。银行的定期存款假 设为当年年初存款，次年年初到期。试在Excel中 建立模型，计算每年年初的到期本金、到期利息 和年末现金余额；用规划求解工具求解每年各种 存款的最优存款额，使第7年初到期的现金本利之 和最大。
2
最优化问题的概念
最优化问题分类
最优化问题的数学模型 最优化问题的求解方法
3
最优化问题就是在给定条件下寻找最佳方案的
问题； 最佳的含义有各种各样：成本最小、收益最大、 利润最多、距离最短、时间最少、空间最小等， 即在资源给定时寻找最好的目标，或在目标确 定下使用最少的资源。
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求解结果：
产品 原料A 原料B 原料C 单位利润 产量 14.8 2 TRUE TRUE 100 P1 3 4 2 5 0.4 总利润 P2 4 2 1 4 3.2 14.8 实际量 供给量 14 14 8 8 4 6
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【例8.2】某公司生产两种产品，两种产品各生产
一个单位需要工时3和7，用电量4千瓦和5千瓦， 需要原材料9公斤和4公斤。公司可提供的工时为 300，可提供的用电量为250千瓦，可提供的原材 料为420公斤。两种产品的单价p与销量q之间存在 负的线性关系，分别为p1=3000 - 50q1, p2 = 3250- 80q2。工时、用电量和原材料的单位成本 分别为10、12和50，总固定成本是10000。该公司 怎样安排两种产品的产量，能获得最大利润？
供应站 1 2 3 4 5 2 1.3 3 2.1 0.9 4 0.9 1.8 2.6 5 0.7 1.2 1.0 0.8 6 1.8 2.6 2.5 1.6 0.9
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求解结果：
供应站 1 2 3 4 5 供应站 1 2 3 4 5 1674 15 TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE 100 100 2 1.3 3 2.1 0.9 4 0.9 1.8 2.6 5 0.7 1.2 1 0.8 5 1 0 1 1 6 1.8 2.6 2.5 1.6 0.9 6 合计项 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 总距离 4.3 总成本 1674 人工费（万元） 材料费（万元） 其他费用（万元） 每公里成本（万元） 30 50 100 180
上海财经大学 信息管理与工程学院
最优化问题的定义、分类和数学模型，规划求解工
具和查表方法； 目标函数和约束条件与决策变量之间都是线性关系 的规划问题，产品混合线性规划问题的求解； 目标函数或者约束条件与决策变量之间不是线性关 系的规划问题，产品混合非线性规划问题的求解； 运输、选址、资金管理、生产管理等常见规划问题 的求解。 多目标规划问题的概念和求解； 规划求解报告的生成与分析。
每箱运费 工厂1 工厂2 工厂3 城市A 100 120 140 城市B 200 100 110
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城市C 130 150 180
城市D 80 130 150

求解结果：
城市A 城市B 城市C 城市D 100 200 130 80 120 100 150 130 140 110 180 150 城市A 城市B 城市C 城市D 实际产量 最大产量 0 0 50 70 120 120 80 70 50 0 200 200 0 80 0 0 80 100 80 150 100 70 总运费 45000 80 150 100 70
要求：构造一个线性规划模型，用规划求解工具确
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定一种基站建设方案，使得既能将四个地区都覆盖， 又使建站总费用达到极小。

求解结果：
覆盖 地区A 地区B 地区C 地区D 费用 选择 总费用 400 4 TRUE TRUE 100 100 位置1 位置2 位置3 位置4 覆盖次数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 200 150 190 250 0 1 0 1 400
每箱运费 工厂1 工厂2 工厂3
工厂1 工厂2 工厂3 运到量 需要量 45000 12 TRUE TRUE TRUE TRUE 100

在线性规划中，当决策变量的取值 只能为整数时，把这类问题称之为 整数规划。本题由于运输时不能拆 箱，因而是一个整数规划问题。
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【例8.4】一家移动通信公司准备在四个候选的位置
53.00 947.84 8999.15 0.00
0.00
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求解结果：
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【例8.7】已知某公司生产的某一产品在不同月份的需求量、单位生产 成本与生产能力不同，见下表：
1月 需求量 生产量上限 单位生产成本 1000 4000 240 2月 4500 3500 250 3月 6000 4000 265 4月 5500 4500 285 5月 3500 4000 280 6月 4000 3500 260

本题目中决策变量的取值只有0 和1，在线性规划中把这类取值 为0或1的问题称之为0-1规划。
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【例8.5】某奶制品厂的产品在市场上畅销，为了有利于
原料的及时获得和质量控制，工厂决定对其6个原料供应 站铺设管道输送牛奶源，6个供应站相互间的距离如表所 示。已知：1号供应站离工厂的距离为5公里，每铺设1公 里管道的成本为人工费30万元、材料费50万元、其它费用 100万元。请设计从1号供应站开始，把各供应站连接起来 的管道铺设方案，使建设总成本最低。
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第一步，选择“规划求解”工具； 第二步，根据对规划问题的分析，在“设置目标”
中定义目标值所在的单元格及它的取值，在“通过 更改可变单元格”中设置决策变量所在的单元格； 第三步，在“遵守约束”中添加约束条件； 第四步，选择求解方法，“单纯线性”或“非线性 GRG”； 第五步，在正确地完成了对需要求解问题的相关参 数的设置后，单击“求解”按钮，规划求解工具就 开始求解。

需要指出：对于非线性规划问题， 其解可能不唯一，即可能存在多解， 也可能无解。
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运输问题
选址问题 资金管理问题
生产管理问题
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【例8.3】某公司生产），各工厂的日最大生产量分 别为120箱、200箱和100箱。该公司每天要向4个城市（城 市A、城市B、城市C和城市D）供货，这四个城市的日需要 量分别为80箱、150箱、100箱和70箱。每箱货物从工厂运 到各城市的运费如下表所示：该公司怎样安排生产和运输 量，能使总运费最小？要求各工厂的实际供给量不能超过 其最大产量，同时又要满足各城市的需要量。