rXY Cov( X , Y )
X Y
如果两种资产的报酬是相互独立的，亦即它们的协方差为零，那 么它们的相关系数为零；如果两种资产的报酬完全相关，其相关 系数等于1; 如果两种资产的报酬完全负相关，其相关系数等于-1。 相关系数的值域为： -1≤rXY≤1， 根据相关系数定义，我们得到协方差的另一个公式： Cov(X，Y)＝rXYσ Xσ Y 将上式代入资产组合的方差公式，有: Var(RP)＝a2Var(X)+b2Var(Y)+2abr XYσ Xσ Y 最小方差资产组合是指方差(或标准差)变动对资产X投资比重变动 为零的资产组合，也即在任何预期报酬水平上方差最小的资产组 合。 由于b=1-a，资产组合方差Var(VP)为: Var(RP)＝a2σ 2X十(1-a)2σ 2Y十2a〔1-a〕rXYσ Xσ Y 设一阶偏导数为零：
E（RP） III II B C D E F G I A
0 σ （RP） 有效集是对投资机会集进行均值方差选择所形成的子集，它是指在给定方差(或标 准差)时没有其他投资机会超过其预期报酬的投资机会集。
四、无风险资产的引入 如果资产组合由两资产构成，G资产的方差为零，记为Rf，那么资产组合 的均值和方差成为 E(RP)＝aE(X)+(1-a)Rf Var(RP)＝a2Var(X) 假设无风险资产为Rf，其方差和与风险资产的协方差为零，资产组合的 方差就简化为风险资产的方差。
E（RP） V IV III II I
C D 0 F
B
A
σ （RP）
因为无差异曲线具有凹性，最小方差机会集的上半部分具有凸性， 所以，最优资产组合是惟一的。 有效集 假设投资者对机会集有齐次预期，亦即每个投资者都会获得 相同信息，以便都能够精确地观察机会集，同时，假设不存在无 风险资产，投资者有不同的无差异曲线，且反映他们不同的风险 态度。
ERp E[1 R1 2 R2 3 R3 ]
根据均值的持征，有：
ERp 1 E(R1 ) 2 E(R2 ) 3 E(R3 )
E R p i E ( Ri )
3
三资产组合的预期报酬可以表示为各资产预期报酬的加权平均数。 三资产组合方差可定义为： Var( R p ) 12Var( R1 ) 22Var( R2 ) 32Var( R3 ) 21 2 Cov( R1 , R2 )
E(RP) A
rXY=-1
C
-1< rXY <1 rXY=1
0
B
σ (RP)
三、两风险资产的有效集：最优资产组合选择 最优资产组合的风险和报酬的边际替代率(MPS)等于其风险和报酬 的边际转换率(MRT)。在最优资产组合点上，风险和报酬的边际替 代率(MPS)和边际转换率(MRT)之间的均等性决定决策者的主观风 险价格。 根据效用理论，风险回避投资者的无差异曲线在均值一方差平面 上是向下凸的，下图反映了投资者的无差异曲线和两风险资产的 投资比例变动所形成的资产组合选择凸集。
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Var(RP ) a 2Var( X ) b 2Var(Y ) 2abE[(X E( X ))(Y E(Y ))] 由于: ~ ~ ~ ~ ~ ~ Cov( X , Y ) E[ X E( X ))(Y E(Y ))]
因此,两资产组合的方差是两种资产报酬的方差乘上投资权数的平 方,再加上两资产报酬的协方差。 协方差是用来计量两个随机变量相互变动程度的一个统计指标， 如果协方差为正，随机变量的变化方向一致；如果协方差为负， 它们的变化方向刚好相反。 例:考虑资产X和Y的报酬如下表:
E(RP)
E 0<a<1 贷款 Rf Y a<0 0 贷款和抛空 Z
a>1 V X 借款
σ
σ （X）
曲线VXY是线性的，因为其斜率不随着风险性资产X的投资比例变动而变 动。
五、多项资产的最优资产组合选择 1．三项风险资产的资产组合均值、方差和协方差 设资产组合由三项风险资产构成，让ω 1、ω 2、ω 3分别表示三项资 产的投资比例，E(R1)、E(R2)、E(R3)分别表示三项资产的预期报酬； σ 12、σ 22、σ 32分别表示其方差；σ 12、σ 23、σ 31分别表示其协方 差；R1、R2和R3分别表示其随机报酬。 该资产组合的预期报酬可定义为：

Var ( X ) E X i E ( X )


根据均值的定义，上式可表述为:
N ~ ~ Var X Pi ( X i E ( X ))2 i 1

标准差的计算公式为：
~ ~ ( P ) Var ( P )
B股票的方差计算如下:
~ Var(P)
＝0.1(20-26.5)2+0.2(22.5-26.5)2+0.4(25-26.5)2+O.2(3026.5)2+0.1(40-26.5)2＝29 ~ B股票的标准差为: (P ) ＝5.39 二、两资产组合的风险和报酬计量 考虑一资产组合由风险性资产x和y构成，它们的预期报酬呈正态 分布，投资者投资在资产x上的比重为a，在资产y上的比重为b＝ 1-a，计算该资产组合的均值和标准差。 ~ ~ ~ 资产组合的预期报酬为: RP aX bY ~ ~ ~ ~ ~ 预期报酬的均值为: E(RP ) E[aX bY ] aE[ X ] bE[Y ] 资产组合的均值报酬是各有价证券均值报酬的加权平均数，其权 数是各有价证券的投资比重。 资产组合预期报酬的方差为: ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Var(RP ) E[RP E(RP )]2 E[(aX bY ) E(aX bY )]2 然后展开得: ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Var(RP ) E[a 2 ( X E( X ))2 b 2 (Y E(Y ))2 2ab( X E( X ))(Y E(Y ))]
0.1
0.2 0.4 0.2 0.1
20.00
22.50 25.00 30.00 40.00
N ~ E X Pi X i i 1
-20%
-10% 0 +20% +60%
根据上述资料,计算概率分布的均值(Mean)，用预期值表示：

B股票预期期末价格为： ~ E P＝0.1×20+O.2×22.5+0.4×25+0.2×30十0.1×40＝￥26.50。 ~ ~ E P P0 26.5 25 预期报酬率为：本指标，方差通 常的计算公式为: ~ ~ 2
概率 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 Xi 11% 9% 25% 7% -2% Yi -3% 15% 2% 20% 6%
为了简便起见，我们设资产报酬(Xi,Yi)各种状态的概率均为0.2， 资产X的预期报酬为10％,资产Y的预期报酬为8％，它们的方差为: Var(x)＝O.2(0.11-0.10)2+0.2(0.09-0.10)2+0.2(O.25-O.10)2 +O.2(0.07-0.10)2+0.2(0.02-O.10)2 ＝0.0076 Var(y)＝0.2(-O.03-0.08)2+0.2(0.15+O.08)2+0.2(0.02-0.08)2 +0.2(0.2-0.08)2+O.2(0.06—0.08)2＝0.00708 资产x和y的协方差为: Cov(X,y)＝E[(X-E(x))(y-E(Y))] ＝0.2(0.01-0.10)(-0.03-0.08)+0.2(O.09-0.10)(0.15-0.08)+ 0.2(0.25-O.10)(0.02-0.08)+0.2(0.07-0.10)(O.20-0.08)+ 0.2(-0.2-0.10)(0.06-0.08)＝-0.0024 负协方差表明，资产X和Y的报酬按照相反方向变动。如果我们同 时购买资产X和资产Y，组成资产组合，该资产组合的风险小于单 独持有资产x或资产Y的风险，因而该资产组合可导致部分投资对 冲(hedging),降低投资风险。
dVar( R p )
da 求解使方差最小的资产X投资比重，得： y2 rXY X Y a* 2 X Y2 2rXY X Y （1）完全正相关情况。设资产x和y的相关系数rXY＝1，资产x是 资产y的线性函数，不管资产X的投资比重a如何变动，资产组合的 预期报酬和标准差之间变动比率都为一常数。 E(RP)＝aE(X)十(1-a)E(y)， Var(RP)＝a2σ 2X十(1-a)2σ 2Y十2a(1-a) σ Xσ Y Var(RP)＝[aσ X十(1-a) σ y]2 标准差σ (RP)=aσ X+(1-a) σ Y (2)考虑完全负相关情况。设资产x和y的相关系数rXY＝-l。如果 资产x和Y完全负相关，投资者可获得完全投资对冲。也就是说， 如果资产x的投资比重a恰当，资产组合的方差为零,资产组合的均 值和方差为：
2 2a X 2 Y2 2a Y2 2rXY x Y 4arXY x Y 0
E(RP)＝aE(X)十(1-a)E(y)， Var(RP)＝a2σ 2X十(1-a)2σ 2Y-2a(1-a) σ Xσ Y Var(RP)＝[aσ X-(1-a) σ y]2 σ (RP)=±[aσ X-(1-a)σ Y] 值得注意的是，资产组合的方差有正负根。如果资产组合方差有 正根，方差与均值之间的函数曲线为一正倾斜直线；如果资产组 合方差有负根，方差与均值之间的函数曲线为负倾斜直线，最小 方差资产组合的方差为零。
3．N项风险资产的机会集和有效集 在风险报酬平面上，N项风险资产的投资机会集与两项风险资产的 投资机会集具有相同的形状，所不同的是，N项风险资产的投资机 会集考虑机会集曲线内的分布。
E（RP） A E*（RP） F Rf B C 0 G σ (X) E