第三章函数极限1． 函数极限概念1． 按定义证明下列极限：（1）65lim 6x x x→+∞+=；（2）22lim(610)2x x x →-+=；（3）225lim 11x x x →∞-=-;（4）2lim 0x -→=； （5）00lim cos cos x x x x →=.证明（1）任意给定0ε>，取5M ε=，则当x M >时有65556x x x Mε+-=<=.按函数极限定义有65lim6x x x→+∞+=.（2）当2x ≠时有，2(610)2(2)(4)24x x x x x x -+-=--=--.若限制021x <-<，则43x -<.于是，对任给的0ε>，只要取min{1,}3εδ=，则当02x δ<-<时，有2(610)2x x ε-+-<.故有定义得22lim(610)2x x x →-+=.(3)由于22254111x x x --=--.若限制1x >，则2211x x -=-，对任给的0ε>，取max M ⎧⎪=⎨⎪⎩，则当x M >时有22225441111x x M x ε--=<=---，所以225lim 11x x x →∞-=-.(4)0==若此时限制021x <-<，==<=0ε>，取2min{1,}4εδ=，当02x δ<-<022εε<≤⋅=，故由定义得2lim 0x -→=.（5）因为sin ,x x x R ≤∈，则0000000cos cos 2sinsin 2sin sin 222222x x x x x x x x x x x x x x -+-+--=-=≤⋅=-.对任给的0ε>，只要取δε=，当00x x δ<-<时，就有00cos cos x x x x δε-≤-<=，所以按定义有00lim cos cos x x x x →=.2． 叙述0lim ()x x f x A →≠。

解：0lim ()x x f x A →=陈述为：设函数f 在点0x 的某个空心邻域00(,)U x δ'内有定义，A 为定数，若对任给的0ε>，存在0δ>，使得当00x x δ<-<时有()f x A ε-<，则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记作0lim ()x x f x A →=。

其否定陈述为：设函数()f x 在点0x 的某个空心邻域00(,)U x δ'内有定义，A 为一个确定的常数，若存在某个00ε>，使得对任意的正数()δδ'<，总存在x 满足00x x δ<-<，使得0()f x A ε-≥，则称当0x x →时，()f x 不以A 为极限，记为0lim ()x x f x A →≠。

3． 设0lim ()x x f x A →=，证明00lim ()h f x h A →+=。

证明：因为0lim ()x x f x A →=，由定义有对任给0ε>，存在0δ>，当00x x δ<-<时，()f x A ε-<，从而当00h h δ<=-<时，有000()x h x δ<+-<，于是0()f x h A ε+-<，故00lim ()h f x h A →+=。

4． 证明：若0lim ()x x f x A →=，则0lim ()x x f x A →=。

证明：因为0lim ()x x f x A →=。

由εδ-定义有对任给0ε>，存在0δ>，当00x x δ<-<时，()f x A ε-<，于是有()()f x A f x A ε-≤-<，故0lim ()x x f x A →=。

当0A =时，若0lim ()0x x f x →=，则对任给0ε>，存在0δ>，当00x x δ<-<时，()0()()f x f x f x ε-==<，因此，对已给定的0ε>，当00x x δ<-<时，()0()f x f x ε-=<，即0lim ()0x x f x →=。

说明当0A =时，上述命题的逆命题也成立。

但当0A ≠时，其逆命题不真。

例如对101()112x f x x ≤<⎧=⎨-<≤⎩有()1,02f x x ≡≤≤。

显然1lim ()1x f x A →==，但1lim ()x f x →不存在。

事实上，11lim ()1lim ()1x x f x f x -+→→==-，，可见11lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠，故1lim ()x f x →不存在。

故当且仅当0A =时，本题反之也成立。

5． 证明定理：0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==。

必要性 设0lim ()x x f x A →=，由极限的εδ-定义知对任给0ε>，存在0δ>，当00x x δ<-<时，()f x A ε-<。

则当00x x x δ<<+时，有()f x A ε-<，故lim ()x x f x A +→=。

当00x x x δ-<<时，有()f x A ε-<，故0lim ()x x f x A -→=。

从而0lim ()lim ()x x x x f x f x A +-→→==。

充分性 0lim ()x x f x A +→=，则对任意给定0ε>，存在10δ>，使得当001x x x δ<<+时，有()f x A ε-<。

lim ()x x f x A -→=，则对任意给定0ε>，存在20δ>，使得当020x x x δ-<<时，有()f x A ε-<。

所以对已给定的0ε>，取12min{,}δδδ=，使得当00x x δ<-<时，有()f x A ε-<，故0lim ()x x f x A →=。

6． 讨论下列函数在0x →时的极限或左右极限：（1）()x f x x =；（2）()[]f x x =；（3）22,0()0,01,0x x f x x x x ⎧>⎪==⎨⎪+<⎩。

解：（1）因为当0x >时，()1xf x x==，故有00lim ()lim11x x f x ++→→==。

当0x <时，()1xf x x==-，故00lim ()lim(1)1x x f x --→→=-=-。

因此0lim ()x f x →不存在。

（2）当01x <<时，()[]0f x x ==，故0lim ()0x f x +→=。

当10x -<<时，()[]1f x x ==-，故0lim ()1x f x -→=-。

所以0lim ()lim ()x x f x f x +-→→≠，因此0lim ()x f x →不存在。

（3）对任给的0ε>，先考虑0x -→，取δ=，则当0x δ-<<时，222()1(1)1f x x x δε-=+-=<<，于是0lim ()1x f x -→=。

再考虑0x +→，取2log (1)δε=+，则当0x δ<<时，()1212121x x f x δε-=-=-<-=，所以0lim ()1x f x +→=。

所以0lim ()1x f x →=。

7．设lim ()x f x A →+∞=，证明01lim ()x f A x+→=。

证明：因lim ()x f x A →+∞=，则对任给0ε>，存在0M >，当x M >时，()f x A ε-<，取10M δ=>，则当0x δ<<时，11M x δ>=，故有1()f A x ε-<，所以01lim ()x f A x+→=。

8． 证明：对黎曼函数()R x 有00lim ()0,[0,1]x x R x x →=∈（当00x =或1时，考虑单侧极限）。

证明：因为[0,1]上的黎曼函数定义为：1,(,,()0,0,1(0,1)p p x p q N qq q R x x +⎧=∈⎪=⎨⎪=⎩当为既约真分数)当或内的无理数。

任取0[0,1]x ∈时，任给0ε>，满足不等式1q ε≤的正整数q 至多有有限个。

而p q <，从而正整数p 也至多有有限个。

于是在(0,1)内至多只有有限个既约真分数pq，使得1()p R q qε=≥。

因此可取0δ>，使得00(,)U x δ内不含这有限个既约分数，于是只要00x x δ<-<（对00x =，只要0x δ<<；对于01x =，只要01x δ<-<），不论x 是01，或无理数，都有()0()0R x R x ε-==<成立，故00lim ()0,[0,1]x x R x x →=∈。

2． 函数极限的性质1． 求下列极限：（1）22lim 2(sin cos )x x x x π→--；（2）2201lim 21x x x x →---；（3）2211lim 21x x x x →---；（4）3230(1)(13)lim 2x x x x x→-+-+； （5）01lim 1n m x x x →--（,n m 为正整数）；（6）4x →（7）0lim (0)x a a x →>；（8）702090(36)(85)lim (51)x x x x →+∞+--。

解：（1）因为2limsin sin12x x ππ→==，2lim cos cos02x x ππ→==，再根据极限的四则运算法则，得222222lim 2(sin cos )lim 2sin lim 2cos lim 2x x x x x x x x x x ππππ→→→→--=--222222lim 2sin 2lim cos 2lim 21202()222x x x x x x πππππ→→→=--=⨯-⨯-⨯=-。

（2）222200lim 1101lim1212lim lim 1001x x x x x x x x x x →→→→---===------。

（3）由于221(1)(1)121(1)(21)21x x x x x x x x x --++==---++，所以212111lim 111112lim lim 21212lim 12113x x x x x x x x x x x →→→→+-++====--++⨯+。