4 9 1 4 = 0 9 0 7 9
T
0 1 0
0 0 1
所以它是正交矩阵． 所以它是正交矩阵．
例
验证矩阵 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 是正交矩阵 . P= 2 1 1 0 0 2 2 1 1 0 0 2 2 P的每个列向量都是单位 向量, 且两两正交 ,
2.5 向量组的正交性与正交矩阵
一、正交向量组的概念 定义2-5-1： 定义 若n维向量 α 和 β 的内积为零，即 (α , β ) = 0 α 则称向量 α 和 β 正交。 记作： ⊥ β 零向量与任何向量都正交. 注： 零向量与任何向量都正交 定义2-5-2： 定义 是一组n维向量 α 维向量， 设 α1 , α 2 ,...α n 是一组 维向量， i ≠ 0(i = 1,2,...n) 若对
是V的一组正交规范基或标准正交基。 的一组正交规范基 的一组正交规范基或标准正交基。
向量空间的每个基都可以化为正交规范基， 向量空间的每个基都可以化为正交规范基，向量空间的正交 规范基（标准正交基）也不唯一。 规范基（标准正交基）也不唯一。
例如： 例如：
1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 , e 0 . e1 = , e2 = 0 , e3 = 1 2 4 = 1 2 0 1 2 1 2 0 0
所以它不是正交矩阵． 所以它不是正交矩阵．
1 9 (2 ) 8 9 4 9
8 9 1 9 4 9
4 9 4 9 7 9
由于
1 9 8 9 4 9 8 9 1 9 4 9 4 9 4 9 7 9
1 9 8 9 4 9
8 9 1 9 4 9
此非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交 此非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交 向量组。若其中每个向量的长度都是1,则称为 则称为正交单位向 向量组。若其中每个向量的长度都是 则称为正交单位向 量组(或标准正交向量组)． 量组 或标准正交向量组 ．
e1 = (1,0, ,0), e2 = (0,1, ,0), , en = (0,0, ,1).
(2)A 1 = AT
(5)aij = ± Aij .
定理2-5-2 定理2
A
矩阵A为正交矩阵的充要条件是 的列 矩阵 为正交矩阵的充要条件是A的列(行)向 为正交矩阵的充要条件是 的列( 量都是单位向量且两两正交． 量都是单位向量且两两正交． 证明 A AT = E a11 a12 a21 a22 a n1 an2
8 14 (0,2,1,3) = (1,1,2,0) = (3,5,1,1) (1,1,1,1) 4 14 单位化， 再单位化， 得标准正交向量组如下
β1 1 1 1 1 1 e1 = = (1,1,1,1) = , , , β1 2 2 2 2 2 1 3 β2 2 1 (0,2,1,3) = 0, e2 = = , , β2 14 14 14 14 β3 1 1 2 1 (1,1, 2,0 ) = , , ,0 e3 = = β3 6 6 6 6
(ei , e j ) = 0, i ≠ j且i , j = 1,2,3,4. 由于 (ei , e j ) = 1, i = j且i , j = 1,2,3,4.
所以 e1 , e 2 , e 3 , e4为 R 4的一个标准正交基 .
同理可知
1 0 0 0 0, ε = 1, ε = 0, ε = 0. ε1 = 2 3 4 0 0 1 0 0 0 0 1
非零向量, α α 线性无关. 非零向量,则 α 1, 2 , , r 线性无关.
证明 设有 λ1 , λ2 ,, λr 使
λ1α1 + λ2α 2 + + λrα r = 0
T λ1α 1 α 1 = 0 以 a 左乘上式两端 , 得
T 1
由 α1 ≠ 0 α α1 = α1
T 1
2
≠ 0, 从而有 λ1 = 0 .
在下列正交规范基下的坐标。 例：求向量 α = (1,0,1,0) 在下列正交规范基下的坐标。
ε 1 = (1 2 ,1 2 ,0,0) ε 2 = (1 2 , 1 2 ,0,0) ε 3 = (0,0,1 2 ,1 2 ) ε 4 = (0,0,1 2 ,1 2 )
(1 2 ,1 2 ,1 2 ,1 2)
β1 = α1 = (1,1,1,1)
(β1 , α 2 ) β β2 = α2 (β1 , β1 ) 1
11+ 4 (1,1,1,1) = (0,2,1,3 ) = (1,1,0,4 ) 1+1+1+1
(β1 , α 3 ) β (β 2 , α 3 ) β β3 = α3 1 2 (β1 , β1 ) (β 2 , β 2 )
这里每个向量均要求为非零向量; 注意 (1) 这里每个向量均要求为非零向量 (2) 由单个非零向量组成的向量组也是正交向量组． 由单个非零向量组成的向量组也是正交向量组 非零向量组成的向量组也是正交向量
二、 正交向量组的性质 定理2-5-1: 定理
α α 若 n维向量 α 1, 2 , , r 是一组两两正交的
也为R 也为 4的一个标准正交基 .
若 ε 1 , ε 2 ,..., ε m 是向量空间 m的一组基， 则Vm中任一向量 是向量空间V 的一组基，
α
可表示为： 可表示为： = k1ε 1 + k 2ε 2 + .... + k mε m α 所以 k =(αεi) (i =1 m , ,...,) i
Τ Τ Τ T = (α1Τ , α 2 , α 3 , α 4 )
思考题
求一单位向量， 求一单位向量，使它与
α 1 = (1,1,1,1), α 2 = (1,1,1,1), α 3 = (2,1,1,3 )
正交． 正交．
思考题解答
解 设所求向量为 x = (a , b, c , d ), 则由题意可得 : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1, a + b c + d = 0, a b c + d = 0, 2a + b + c + 3d = 0. 2 1 3 ,0, , ) 解之可得 : x = ( 2 13 26 26 2 1 3 x = (2 ,0, , ). 或 13 26 26
五、正交矩阵与正交变换 定义2 定义2-5-4：
若n阶方阵A满足 AT A = E ( A AT = E ), 则 称A为 正交矩阵 .
设A是n阶正交矩阵,
由定义可知： 由定义可知：
(1) A = 1或 1
(3)AT (即A 1 )也是正交矩阵 .
(4)若A, B为n阶正交矩阵 AB与BA也是正交矩阵。
同理可得 λ2 = = λr = 0. 故α 1 ,α 2 ,,α r 线性无关 .
注意：正交向量组线性无关， 注意：正交向量组线性无关，但线性无关的向量组不 一定是正交向量组。 一定是正交向量组。 构成的向量组。 如：由 α1 = (1,1,0,0); α 2 = (1,1,1,0); 构成的向量组。 但是，我们可以利用施密特正交化方法将线性无关的 但是， 向量组化为正交向量组。 向量组化为正交向量组。
1 9 8 (2 ) 9 4 9 8 9 1 9 4 9 4 9 4 . 9 7 9
1 2 1 3 1 (1) 1 2 1 1 2 , 13 1 2 1 解 （1） ）
考察矩阵的第一列和第二列， 考察矩阵的第一列和第二列， 由于
1 1 1 1 1 × + × 1 + × ≠ 0, 3 2 2 2
四 标准正交基的概念 定义2-5-3: 定义 若n维向量 ε 1 , ε 2 ,..., ε m 是向量空间 的一组基，如果 维向量 是向量空间V的一组基 的一组基，
ε 1 , ε 2 ,..., ε m 两两正交，且都是单位向量，则称 两两正交，且都是单位向量，
ε 1 ε 2 ,..., ε m
( β 1 ,α r ) ( β 2 ,α r ) ( β r 1 , α r ) βr = αr β1 β2 β r 1 (β1 , β1 ) (β 2 , β 2 ) ( β r 1 , β r 1 )
那么 β 1 ,, β r 两两正交 , 且β 1 ,, β r 与α 1 ,α r 等价 .
β 3 = (1,0,0,0), β 4 = (0,0,1,0) γ 3 = (1 2 ,1 2 ,0,0), γ 4 = (0,0,1 2 ,1 2)
α1 = (1 2 ,1 2 ,1 2 ,1 2), α1 = (1 2 ,1 2 ,1 2 ,1 2) α 3 = ( 2 2 , 2 2 ,0,0), α 4 = (0,0, 2 2 , 2 2)
（2）化为正交单位向量组，取 ）化为正交单位向量组，
β1 β2 βr e1 = , e2 = , , er = , β1 β2 βr
那么 e1 , e2 , , er .为一正交单位向量组 一正交单位向量组。
上述由线性无关向量组 α 1 , ,α r 构造出正交 向量组 β 1 , , β r的过程 , 称为施密特正交化过程 .
解
所以P是正交矩阵 .
1 8 4 A = 8 1 4 , A正交吗？ 4 4 7
不正交
1 8 4 1 A = 8 1 4 , A = ? 4 4 7
1/ 9 8 / 9 4 / 9 1 A = 8 / 9 1 / 9 4 / 9 , A = ? AT 4 / 9 4 / 9 7 / 9
若再将正交向量组单位化，则这一过程称为正交规 若再将正交向量组单位化，则这一过程称为正交规 范化过程。 范化过程。
例 用施密特正交化方法，将向量组 用施密特正交化方法，
α1 = (1,1,1,1), α 2 = (1,1,0,4), α 3 = (3,5,1,1)