《数字信号处理》辅导 一、离散时间信号和系统的时域分析 （一） 离散时间信号 （1）基本概念
信号：信号传递信息的函数也是独立变量的函数，这个变量可以是时间、空间位置等。 连续信号：在某个时间区间，除有限间断点外所有瞬时均有确定值。 模拟信号：是连续信号的特例。时间和幅度均连续。 离散信号：时间上不连续，幅度连续。常见离散信号——序列。 数字信号：幅度量化，时间和幅度均不连续。 （2）基本序列（课本第7——10页）
1）单位脉冲序列 1,0()0,0nnn 2）单位阶跃序列 1,0()0,0nunn
3）矩形序列 1,01()0,0,NnNRnnnN 4）实指数序列 ()naun 5）正弦序列 0()sin()xnAn 6）复指数序列 ()jnnxnee （3）周期序列 1）定义：对于序列()xn，若存在正整数N使()(),xnxnNn 则称()xn为周期序列，记为()xn，N为其周期。 注意正弦周期序列周期性的判定（课本第10页）
2）周期序列的表示方法： a.主值区间表示法 b.模N表示法 3）周期延拓 设()xn为N点非周期序列，以周期序列L对作()xn无限次移位相加，即可得到周期序列()xn，即
()()ixnxniL
当LN时，()()()NxnxnRn 当LN时，()()()NxnxnRn
（4）序列的分解 序列共轭对称分解定理：对于任意给定的整数M，任何序列()xn都可以分解成关于/2cM共轭对称的序列()exn和共轭反对称的序列()oxn之和，即 ()()(),eoxnxnxnn 并且 1()[()()]2exnxnxMn 1()[()()]2oxnxnxMn
（4）序列的运算 1）基本运算 运算 性质描述
序列相乘 12()()()()()ynxnxnynaxn
序列相加 12()()()ynxnxn
序列翻转 ()()ynxn （将()xn以纵轴为对称轴翻转）
尺度变换 ()()ynxmn （序列()xn每隔m-1点取一点形成的序列）
用单位脉冲序列表示 ()()()ixnxini
2）线性卷积： 将序列()xn以y轴为中心做翻转，然后做m点移位，最后与()xn对应点相乘求和——翻转、移位、相乘、求和
定义式： 1212()()()()()mynxmxnmxnxn
线性卷积的计算：A、图解 B、解析法 C、不进位乘法（必须掌握） 3）单位复指数序列求和（必须掌握） /2/2/2/2/2/21/2/2/2/2/2/20(1)/21()()/(2)1()()/(2)sin(/2)sin(/2)jNjNjNjNjNjNjNNjnjjjjjjjnjNeeeeeeejeeeeeeeejNe
如果2/kN，那么根据洛比达法则有 sin(/2)(0)(0)(()())sin(/2)NNkNNkN或
可以结合作业题3.22进行练习 （5）序列的功率和能量 能量：2|()|nExn
功率：21lim|()|21NNnNPxnN
（6）相关函数——与随机信号的定义运算相同 （二） 离散时间系统 1．系统性质
（1）线性性质 定义：设系统的输入分别为1()xn和2()xn，输出分别为1()yn和2()yn，即
1122()[()],()[()]ynTxnynTxn 统的输对于任意给定的常数a、b，下式成立
1212()[()()]()()ynTaxnbxnaynbyn 则该系统服从线性叠加原理，为线性系统，否则为非线性系统。 判定系统的线性性质时，直接用定义 （2）时不变性质 统的如果系统对输入信号的运算关系在整个运算过程中不随时间变化，则称该系统是时不变系统。即对任意给定的整数i，若下式成立： ()[()]yniTxni 则称该系统为时不变系统，否则为时变系统。 判定系统的时不变性质时，直接用定义 （3）系统的因果性 定义：如果系统n时刻的输出序列只取决于n时刻及以前的输入序列，而与n时刻以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性质，即系统是因果系统，否则是非因果系统。 离散时间LTI系统具有因果性的充要条件是：系统的单位脉冲响应()hn满足 ()0,0hnn （4）系统的稳定性 定义：对任意有界的输入，系统的输出都有界，则该系统是稳定的，否则是不稳定的。 离散时间LTI系统具有因果性的充要条件是：系统的单位脉冲响应()hn满足绝对可和，即|()|ihi （5）对离散时间LTI系统的描述 （1）时域：差分方程 （2）Z域：系统函数()Hz 2．信号过系统 ()()()ynhnxn 用线性卷积的相关知识计算，信号系统学的基本性质可以套用 二、离散时间信号和系统的频域分析 （一） 离散时间信号 1．序列傅里叶变换（Sequence Fourier Transform）（即本书中的离散时间信
号的傅里叶变换） （1）定义
SFT：()[()](),jjnnXeSFTxnxne
ISFT：1()[()](),2jjjnxnISFTXeXeedn 说明： 1、物理意义：序列傅里叶变换本质上是序列的一种分解，它将一般序列分解为无穷多个数字角频率[,]中的复指数序列。称()jXe为序列()xn的频谱，其模|()|jXe称为幅频特性，其幅角arg[()]()jXe称为相频特性。 2、尽管序列()xn是离散时间信号，但它的序列傅里叶变换对数字角频率而言却是连续函数，因此，序列()xn的傅里叶变换是连续的。
3、(2)(2)()()()jjnjnXexneXe 由上式可知，序列傅里叶变换()jXe是以2为周期的周期函数，其原因正是由于jne对而言以2为周期，即数字角频率相差2的所有单位复指数序列等价。因此，对的所有单位复指数序列只有一个周期。对于离散时间信号，由于的周期性，使得02或的整数倍都表示信号的直流分量，而的奇数倍表示信号的最高频率。 （2）性质 名称 性质描述 线性性质 1212[()()][()][()]SFTaxnbxnaSFTxnbSFTxn
时移性质 [()][()]jnSFTxnmeSFTxn
频移性质 00()[()]()jnjSFTexnXe
共轭对称性质 [()](),[()]()[()]Re[()],[()]Im[()]jjReIojjeoSFTxnXeSFTjxnXeSFTxnXeSFTxnjXe
线性卷积性质 [()()][()][()]SFTxnynSFTxnSFTyn 帕斯瓦尔定理 221|()||()|2j
nxnXed
相乘性质 ()1[()()]()()2jjSFTxnynXeYed
序列乘以n [()][()/]jSFTnxnjdXed
（3）基本序列的傅里叶变换 序列 傅里叶变换 ()n 1
1 2()
()NRn (1)/2sin()/sin()22jNNe
()(||1)nauna 1(1)jae 00
(2/)jne为有理数
02()
00cos(2/)n为有理数 00[()()]
00sin(2/)n为有理数 00[()()]j
()un 1(1)()je
2．Z变换（不熟悉的复习信号系统相关容，或本书2.3相关容） （1）定义 ZT：()[()]()||nxxnXzZTxnxnzRzR IZT：11()[()]()||2nxxcxnIZTXzXzzdzRzRj （2）性质——课本49页表2.3.3 （3）收敛域与基本序列Z变换——课本45页表2.3.1、表2.3.2 3. 离散时间信号Z变换与SFT的关系 Z变换是由SFT推广得到的，反过来，如果某序列的Z变换的收敛域包括jze，则也可以通过ZT求得序列的SFT。即
()|()()jjnjzenXzxneXe
上式表明，SFT正是序列的ZT在jze的值 （二） 离散时间系统 1.系统函数的收敛域与系统因果性和稳定性
当且仅当系统函数H(z)的收敛域为小于单位圆的某个圆的园外时，系统是因果稳定的。 2.系统函数的零极点分布与系统因果性和稳定性 若系统是因果稳定的，则H(z)的极点必定在单位圆。 3.系统函数的零极点分布对系统频率响应特性的影响 1、对极点而言：当单位圆上的点转到某个极点附近时，|()|jHe在这附近出现峰值。极点越靠近单位圆，振幅特性的峰值越大，当极点出现在单位圆上时，振幅特性将出现无穷大，系统不稳定。 2、对零点而言：当单位圆上的点转到某个零点附近时，|()|jHe在这附近出现谷点。当零点出现在单位圆上时，振幅特性为零。零点可以位于单位圆外，不影响稳定性。 两个概念—— 1、最小相位系统：系统H(z)的全部零极点都在单位圆，某点在单位圆上逆时针旋转一周时，系统的相位变化最小。 2、最大相位系统：H(z)的全部零点在单位圆外，系统的相位变化最大。 说明：处于坐标原点的零极点不影响系统的幅频响应；利用零极点分析系统的幅频响应，