线性常微分方程的若干初等解法探讨作者：XX指导教师：葛玉丽摘要：介绍求解常微分方程的几种初等解法，如常数变易法，积分因子法，拉普拉斯变换法等，在学习过程中，通过对不同类型的方程解法，揭示了常微分方程的求解规律，从而找到最优解法.关键词：常数变易法；积分因子；特征根法；拉普拉斯变换0引言常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置，学好常微分方程基本理论与方法对进一步学习研究数学理论和实际应用均非常重要，对于常微分方程的初等解法，既是常微分方程理论中有自身特色的部分，也与实际问题密切相关；恰当对初等解法进行归类，能正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型，从而能按照所介绍的方法进行分解.1一阶常微分方程的求解方法1.1方程能解出y11.1.1变量分离方程形如斜f（X）J）的方程称为变量分离方程.f（x）, "y）分别是x,y的连续函数.例1空・口^0.dy y解将变量分离得「ye"dy二e3x dx ；两边积分得：1^^^1e3x■ 1c;2 3 6因而通解为：3ey_2e3x=c ( c为任意常数).这是一种相当简洁的解法，是最基本的解法，对于比较复杂的方程，需经过一系列变换，最后利用变量分离求解.1.1.2常数变易法对于一阶线性齐次方程—P(x)y =0它的通解为y =ce_呛皿从此出发，将通解中的任意常数c换成待定函数u(x)，假设丫丸&归"朋(1)为一阶线性非齐次方程y'p(x)y=q(x) ( 2) 的解，为了确定u (x)，将(1)代入八p(x)y=q(x)的左边，得到p(x)dxy p(x) y 二u (x)e从而得到u (x)e_ PS" = q(x)，即u(x) = qge 'gdx积分后得到u (x)q(x)e p(x)dx dx - c ,其中c为任意常数把u (x)代入(1)中，得到方程(2)的通解为y二e屮恥(q(x)^^x)dx dx c)例 2 解方程：y(1 - x2y2)dx = xdy.解方程变形为- xy3令z二y，，dx x则主一2y‘或；dx dx代入变形方程为：空2x-空；dx x利用常数变易法，其中p(x) 2,q(x) —2x;x2则它的通解为z—Z .弓；2 x2代回原来的变量y，得到〔一x c,；y 2 x2 4即原方程的通解为务乜c；y22此外，方程还有解常数变易法实际上也是一种变量替换法，虽然用其来解一阶非齐 次线性微分方程时和变量代换法并无原则区别，但将它推广到解高阶 线性微分方程21和线性微分方程组时就显出了它的优越性，变易常数思想是解微分方程的重要数学思想，对非线性方程(如贝努利方程， 黎卡提方程)3】也可使用常数变易法求解，并且常数变易法在数学分 析中有很多应用，比如求解中值问题及存在性问题，祥见文献 411.1.3积分因子法把一阶线性微分方程 dy 二P(x)y Q(x) (1 )改写为如下的对称形 dx 式：dy — P(x)ydx=Q(x)dx (2)，一般而言，(2)不是恰当方程，但以 因子M ( x )<-P(x)dx乘(2)两侧，得到方程：e_p (4 5)dxdy 一e —pg p (x)ydx 二e —pg Q(x)dx ，即 d(*p(x)dxy) = MP(x)dxQ(x)dx 它是恰当方程，由此可直接积分，得到e —PgdXy二Q(x)^^x )dxdx c这样就求出了方程的通解 八e p g( Q(x)「""Sx • c) ( 3)c 为任意常数，其中u (x )为积分因子，一般情况下，积分因子是很难寻求的， 只有在很特殊的情况下才很容易求得•4例 3 求解(x 2y x 3cosy)dx (x 2y 「x 「'sin y)dy 二 0.2解 因为^=1 - x 3sin y,』二 2xy -1 - 2x 3sin y ；.y :x则方程不是全微分方程，若把原方程改写为222(ydx -xdy) x (dx ydy) x (xcos ydx sin ydy) = 02可以看出积分因子，因为上式两端同乘以 A ，有xxydx - xdyx 22 22(dx ydy) (xcosydxsinydy) = 0 ;52即-d(y) d(x 丄)d(工cosy) =0x 2 22 2从而得到方程的通积分丄X丄•冬cosy-c,x 2 2或X3cosy 2x2xy2ex _2y = 0 .此解法，目的明确，方法自然，学生很容易接受，逐步改变了一上来就直接用任意常数变易法求解一阶线性微分方程的方法，取而代之是按上述方法一步步求解，这一过程使我们顺利掌握了一阶线性微分方程的通解，同时更容易理解任意常数变易法，这样从不同角度，用不同方法解决了同一问题，更能深刻的体会到任意常数变易法的巧妙之处.1.2方程不能解出y这时把x看作是y的函数，再看是否能解出x；成为方程X、f (x,y) 可用以上方法求解；但对于不能显性表示为y丄f (x, y)或x丄f (x, y)或M (x, y)dx - N(x,y)dy=0的方程，可分为两类：1.2.1 方程能就y (或x)解出y = f(x,y )(或x二f(y, y ))这时令y 'p (或x 'p )把问题转化为求解关于p与x (或y )之间的一阶方程p = f x(x, p) f p(x, p) (或-=f y(y, p) f p(y,卩)虫)，再利dx p dy用以上方法，求得通解为门(x,p,c)二0 (或：(y,p,c)二0 )则它与y = f(x, p)(或x二f(y,p)) —起构成原方程的通解的参数形式.例4研究克莱洛(claivaut )方程y =xy「:(y) (1).解令y丄P代入原方程y二xp jp)假定「(p)两次可微且;:'(P) 0;两端对x求导，得(X (p))亚=0dx取dp=0 则p=c；dx代入(1)得到通解八ex「(c)取x+A(p)=O，则「x+A(P：O 即/+珂p)=0y=xy7®(y) 、y = xp + ®(p)由于八(p) - 0，则(2)中第一式存在隐函数p = p(x)，代入第二式就得到一个解y =xp(x) •「( p(x))，则这个解也可以由联立方程'y = ex + ®(c)来表达.、x + ®'(c)=0故克莱洛方程除了通解y=cx「(c)之外，还有一个由{:;c x(;育所决定的解-例 5 求解y( y -1)e y'.解令y =p，代入原方程y=(p-1)e p；两边同时对x求导，则y' =e p dp• (p -1)e p並,dx dxp = pe p? dx则当p =0时,y - -1 ；当p7时，e p dp二dx，则x二e p c, c为任意常数，x = e p十c则得到方程参数形式的通解{ p，P = 0 ；y = (pT)e p且当p =0时，y = -1也是方程的解.总结：由于此方程的形式与前面所分析的类型不一致，，可以先观察所给的方程的形式，利用变量代换的思想，经过一系列变换，化为我们最熟悉的形式.1.2.2方程不能就y , y'或x解出对于形如F(x, y)=0或F(y, y')=0的方程，引入参数t，将方程表示为参数形式，再注意到关系式dy二y'dx，就将问题转化为求解关于y (或x)与t 的一阶方程，且其导数dy(或dX)已表示为t的已知函dt dt数，最后的工作就是求积分的问题.例6求解x6y'2 =1.解令y'=cost=：p，则原方程可化为：x2cos21 = 1，贝卩x = sin t，p = cost ；由于dy 二pdx ,则dy=cos2tdt ,两边同时积分，则y」」sin2t c ;2 4则原方程的通解为x =sint , y = - ^sin2t c.2 4例7 y7 _x3(1 _y) =0.解令y =tx =p，代入原方程为(t3-1 • tx)x3= 0 ;则x # -t2;由P=y，贝S dy = pdx , p=1-t3；即dy 二P二dt 二p-p -2t)dt =(1 -t3)(-；7 -2t)dt = (2t8-t -Rdt ,dt t t t2两边同时积分：— c ；5 2 t6则原方程的通解为x=】-t2, y二占5-' 1c .t 5 2 t2高阶常微分方程的求解方法高阶常系数线性微分方程的一般形式是y（n）a i y（n" a n」y a.y 二g（x）（1）其中a j（i=1,2川，n）为常数，g（x）为连续函数；依据常系数线性微分方程的通解结构理论，知方程（1）的通解可表示成该方程的一个特解与其对应的齐次方程的通解之和.方程（1）对应的齐次方程y（n）• a i y（nJI）• ||| • a n」y • a*y = 0，由于它具有线性结构，一般采用Euler待定指数函数法可以得到通解，因而非齐次方程（1）的通解的计算只需寻到它的一个特解即可；有关特解的计算方法较多，如常数变易法5，待定系数法6】，积分法7】等，因此接下来介绍线性微分方程的求解方法的几种归类.2.1常数变易法例8已知齐次线性微分方程的基本解组x1,x2，求下列方程对应的非齐次线性微分方程的通解：x"-X = cost,% = e? ,x2二e」.解应用常数变易法，令x二C1（t）e? • C2（t）e‘，将它代入方程，则可得：G(t)e? q(t)e」=0,q (t)e t _e」c2(t) =cost解得：cost _t ' cost tG(t) e',C2(t) e t；2 2sin t- cost _tG(t) e A,由此4— sin t- cost t ±，5(t) e s则原方程的通解为总结：利用一阶常微分方程的常数变易法的思想，推广到高阶常微分方程，关键是找出决定C i(t),C2(t)的方程组，从而求出高阶方程的通解.由此可知，常数变易法一般用于给定非齐次线性微分方程特解的方程，这种方法简洁明了，但是比较局限，是最基本的解法.2.2特征根法主要是利用把微分方程的求解问题化为代数方程的求根问题的思想.我们知道简单的一阶方程y' a^0，其中a为常数，它有特解y 乂曲，由于y(n)- ajz •a n」y a n y =0与y ay =0都是常系数线性齐次方程，因而猜想方程y(n)+^2)+|H+a n」y'+a n y = 0也有形如y = e" 的解，其中■是待定常数，为了确定出使y =/为y(n) Fyg +lll + an』y +a・y = 0的解的■，先将它代入方程中，实际上有 (丸n+印钏 4 +|H + a n J +a n)e" =p(九)e 样，其中p(丸)=丸n+a上n_ 十川+ a n/ + a n 称为特征多项式.则y=e"为方程y(n)七胪"1)+|n + a n」y+a n y = 0的解的充要条件是p(，)= 0，即，应是方程p(■ )=0的根.下面分两种情况讨论：10特征根互异：首先，假设p(H0有n个互异的实根ddlll'n，这时，依上述讨论，方程y(n)a1y(n4Mir a n4y' a n^0有n个特解y i =e匕y2 =e/,|H,y n =尹，则函数y = c,e"乜沙+川+厲尹为方程y(n)yy n(—1川a n4y 4y =0的通解，其中G,C2」|I,C为任意常数.例9求方程y -y 4y -4y = 0的通解.解特征方程为■彳J" .4：—0，故特征根为‘1 =1, '2 =2i, '3 - -2i，因而基本解组为e x,cos2x,sin2x, 故所求通解为y=G e x qcos2x c3sin2x ,其中c1,c2,c3为任意常数.20特征根有重根：设入是k重特征根(),由上述讨论知，e肪是y(n)+町2 +|H + a n」y+a』=0的一个解，但这时由于互异的特征根的个数小于n,故相应地线性无关的解的个数也小于n,要得到通解，这些特解是不够的，对应于!，除解e"x外还应补上哪些解呢？先来研究二阶常系数方程y' • py • qy = 0, 8】并设p2=4q，特征方程为・2p「q=0，特征根为 \ J P「｛2「4q,.2「P ：2—4q，即7 7 P ；'1 二’2p_Px 易见，’i二-扌为二重特征根，因而，首先有特解％二e 2；现在求已知方程的和y i线性无关的另一个特解，由* 1 - p(x)dxy = cy i c% =e dx 知，y1取c*=0,c=1 , 则另一特解可取为1 _J p(x)dx —：x e®" gx5.辛 dx=e e^dx^xe ，p 即当’1=「p是二重特征根时，二阶方程除了有解％二J/之外，2_p x还有与它线性无关的另一个特解y2=xe 2.根据以上讨论，对于一般的情形，我们有如下的定理：如果方程y(n)y y n—1|)「azy a n y =0有两两互异的特征根対，丸2,1",丸p，它们的重数分别为耳，口2,1朴,m p，m之1，且m +叫+IH + m p二n，e l X,xe l X,|H，x m」e l X; y, xe竺川,x m2'e'2x；IHIIIIIHIIIIHIIIHIIIIII则与它们对应的方程的特解是e'p x,xe'p x,|H，x m2e'p x;例10求方程y4—5y"' 9y" -7y' ・2y=：0的通解.解特征方程是■4-5 39^ 2=\-—2)(' -1)^0故特征根是，1 =2,‘2 =，3 = ' 4 = 1,则它们对应的解为：2x x x 2 xe , e ,xe , x e ,故所求通解为：y = Qe2x C2e x C3xe x C4x2e x，其中CiCC©为任意常数.总结：欧拉待定指数函数法，即特征根法，在高阶常微分方程中占据了十分重要的位置，要熟练掌握不同类型的解法，从而对于给定的方程能游刃有余.2.3 n阶常系数线性非齐次方程解法对于形如y(n)a i y(n_1^|| a n4y a n^ f (x)的解法，它的通解等于其对应的齐次方程y(n)a1y(n4^H a nJ y' a n^ 0的通解与它本身的一个特解之和.2.3.1比较系数法(待定系数法)下面分两种类型讨论：10设f(t) =(b°t m^t m4 J|| b m4t b m)e"，其中■及b j(i =0,1,川,m)为实常数.当，不是特征根时，y(n)-刖⑴①• III • a n^y' a“y = f(x)有形如%(x)二Q (x)‘e勺特解，其中Q m(x)二q°x m• qx m i ll「q m^x • q m当■是k ( k -1)重特征根时，y(n) yyZ〉• ll「a^)y ' a*y 二f (x)有形如yi(x )=x k Qm(x) e x的特解，其中Q m(x) =q°x m+护心+|||"皿"“皿, 对于y(x )中的Q m(X )的系数，则可以由待定系数法求得.例11求方程y -5y 6y =6x2— 10x 2的通解解先求对应齐次方程y”_5y「6y=0的通解，其特征方程是■2-5.；” - 6 = 0 ；故特征根为“2,〔,2=3从而，对应齐次线性方程通解为2x 丄3xy~e C2e ；由于一0不是特征根，因而已知方程有形如、=局 Bx，c的特解. 为确定代B,C将它代入原方程中，由于y'2Ax B,y、2A,故2A -52Ax B) 6(Ax2Bx c) = 6x2-10x 2.比较上式等号两端x的同次幕系数，可得 A.1, B=0, C=0, 故已知方程特解为％=x2，则原方程的通解为y =x2• Ge2x• C2e3x.例12求方程y -4八4y =2e2x.解军由于，_ 4 「4=0 贝廿J‘1 =，2 = 2故齐次方程通解为：y=e2x(c, c2)，由于兔=2为二重特征根，故有乂=Ax2e2x,故 A =1, % = x2e2x,则原方程的通解为y = x2e2x e2x(c, c2x).2 设f(t) =[A(t)cos ：t B(t)sin ：t]e：t，其中―为常数，而 A (t),B(t) 是带实系数t的多项式，其中一个的次数为m，—个的次数不超过m，则有形如x =t k[P(t)cost Q(t)si nt]e：t的特解.其中k为特征方程P ( ■)0的根的重数，而P(t),Q(t)均为特定的带实系数的次数不高于m的t 的多项式1 找_i_f X i f X _1妆根据欧拉公式，有cos：x=e e,sin :x = e e2 2ii R亠j-f i i p：」妆则f(t)=A(t)e e e：x B(t)- e e —A~t)e(：5 B~t)e(：』)x2 2i再利用迭加原理，于是有两种形式：(1)如果:不是特征根，则特解具有形式y i ^e：x[Q m(1)cos x Q m(2)sin *]其中Q m⑴(x)Q⑵(x)是系数待定的m次多项式.(2)如果:是k重特征根，则特解应具有形状比=x k e ax[Q m⑴(x)cos ：x Q m(2)(x)sin x].例13 求解方程x" x =sint — cos2t .解先求对应的齐次方程x' x=0，我们有，21=0,故特征根为、=i, ‘2 = i ；由于迭加原理，则原方程可化为"x" + x = s i nHx+x = _co2t(1)对于x • x二si nt，由于〉_i-= i是特征根，故方程x • x = si nt 具有形如禺=t(Acost - Bcost)的特解，现将上式代入x'' x = sint，则1A ,B =0;2贝卩x x 二si nt 的通解为~ ■ -11 cost G (t) cost c2(t)sin t.2(2)对于x" • x二—co$2t，由于〉-r = 2i不是特征根，故方程x • x二-coQt具有形如x^i = (Aco令t ' Bsi r2t)的特解.现将上式代入x x = —cos2t ，贝卩 A = 9 , B =0,3则 x x = _cos2t 的通解为 x =-cos2t - c~i cost ~2Sint .31 1故原方程的通解为 ~ = c 1 cost c 2 sint-—tcost —cos2t .2 3总结：比较系数法用于方程右端f(t )是某些基本函数的情况，常 见的有：多项式，指数函数，正弦(或余弦)函数以及它们的某种乘 积组合，然后根据f(t)的前面所归纳的类型，从而求出方程的特解， 进而求出通解.2.3.2拉普拉斯变换91它无需求出已知方程的通解，而是直接求出它的特解来，从而在 运算上得到很大简化，这一方法的基本思想是：先通过拉普拉斯变换 将已知方程化为代数方程，求出代数方程的解，再通过逆拉普拉斯变 换，便可得到所求初值问题的解.由积分F(s)二.0：©』鮒)水所定义的确定于复平面上的复变数 s 的 函数F(s)称为f(t)的拉普拉斯变换，其中f(t)与t_0有定义，且满足不 等式f(t)Me*，这里Mf 为某两个正常数，这时f(t)为原函数，而F(s) 称为像函数.例14求函数f(t)二e at的拉普拉斯变换.11IA例 15 解方程 x x 二 sint;”0)= 0,x(0) =.由于 殳” • bint 】，从而s 2x(s) 1 x(s)解八-言心恤二丄兰劲|0泳 亠a=s-ax(s)(1 s 2) =11 1 _s2 2 >1 s22 2(1 s 2)1 s 2-1 x(s)2 2 ,2(1 +s 2)21 s 2由于tcostd s2,(1+s2)2 ?故所求初值解为x(t) 一_ltcost.2当然，方法本身也有一定的局限性，它要求所考察的微分方程的右端函数必须是原函数，否则方法就不适用了，关于拉普拉斯变换的一般概念及基本性质，请参阅有关书籍.233幕级数解法幕级数解法待定的是级数的系数，因而通常计算较大，其实幕级数解法适用二阶以上的高阶齐次线性微分方程与非齐次线性微分方程，也能求其特解或通解.二阶线性方程p o(x)y'' p!(x)y' P2(x)y =0.在近代物理学以及工程技术中有着很广泛的应用，其中幕级数解法不但对于求解方程有意义，而且还由此引出了很多新的超越函数，在理论上是很重要的.下来给出两个定理，若要了解定理证明过程，可参考有关书籍10 [ 定理1如果pogpdx), P2(x)在某点x o的邻域内解析，即它们可展成X-X。