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一、选择题
1．已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x<m}，且A∪B＝R，那么m的值可以是() A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 D
解析因为A∪B＝R，所以m>1，故选D.
2．已知z
1－i
＝2＋i，则复数z的共轭复数为() A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
答案 A
解析z＝(1－i)(2＋i)＝3－i，复数z的共轭复数为3＋i，故选A.
3．采用系统抽样方法从480人中抽取16人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，480，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.抽到的16人中，编号落入区间[1,160]的人做问卷A，编号落入区间[161,320]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则被抽到的人中，做问卷B的人数为() A．4 B．5 C．6 D．7
答案 B
解析本题考查系统抽样知识．采用系统抽样方法从480人中抽取16人做问卷调查，抽取的号码成等差数列8,38,68，…，458，编号落入区间[161,320]的人做问卷B人数5人．
4．若数列{a n}满足1
a n＋1－
1
a n＝d(n∈N
*，d为常数)，则称数列{a
n
}为“调和数列”．已知正
项数列{1
b n}为“调和数列”，且b1＋b2＋…＋b9＝90，则b4·b6的最大值是() A．10 B．100 C．200 D．400
答案 B
解析∵{1
b n}为“调和数列”，
∴{b n}为等差数列，b1＋b2＋…＋b9＝90，
b4＋b6＝20，b4·b6≤100.
5．下图为一个算法的程序框图，则其输出的结果是()
A ．0
B ．2 012
C ．2 011
D ．1
答案 D
解析 本题考查程序框图．根据算法的程序框图可知，p 的值周期出现，周期为4，所以p ＝1.
6． 已知双曲线C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，P (1，－2)是C 上的点，且y ＝2x 是C
的一条渐近线，则C 的方程为 ( )
A.y 22－x 2
＝1 B ．2x 2
－y 2
2
＝1
C.y 22－x 2＝1或2x 2－y 2
2＝1 D.y 22－x 2＝1或x 2－y 22
＝1 答案 A
解析 画出图形分析知，双曲线焦点在y 轴上， 设方程为y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，b >0)．
∴a
b
＝2，
① 4a 2－1
b 2
＝1；
②
解得a 2＝2，b 2＝1.选A.
7． 函数f (x )＝log 2|x |，g (x )＝－x 2＋2，则f (x )·g (x )的图象只可能是
( )
答案 C
解析 因为函数f (x )，g (x )都为偶函数， 所以f (x )·g (x )也为偶函数，
所以图象关于y 轴对称，排除A ，D ； f (x )·g (x )＝(－x 2＋2)log 2|x |，
当0<x <1时，f (x )·g (x )<0，排除B ，故选C.
8． (2012·浙江)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同
的取法共有
( )
A ．60种
B ．63种
C ．65种
D ．66种
答案 D
解析 满足题设的取法可分为三类：
一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C 45＝5(种)； 二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有C 25·C 24＝60(种)；
三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种， 所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种)．
9． (2012·天津)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，
则m ＋n 的取值范围是
( )
A ．[1－3，1＋3]
B ．(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)
C ．[2－22，2＋22]
D ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞) 答案 D
解析 圆心(1,1)到直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0的距离为|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2
＝1，
所以m ＋n ＋1＝mn ≤1
4(m ＋n )2，
所以m ＋n ≥2＋22或m ＋n ≤2－2 2.
10．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
π4≤x ≤5π4
|y |≤1
所表示的平面区域为D ，现向区域D 内随机投掷一点，且该点
又落在曲线y ＝sin x 与y ＝cos x 围成的区域内的概率是 ( )
A.2
B.2
C ．2 2
D ．1－
2 答案 B
解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
π4≤x ≤5π4
|y |≤1，
所表示的平面区域D 的面积为2π，
区域D 内曲线y ＝sin x 与y ＝cos x 围成的区域的面积为 S ＝ʃ
5π4π4(sin x －cos x )d x ＝22，概率P ＝2
π
. 11．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨
⎪⎧
x －y ≥0，
x ＋y ≤1，
0≤y ≤12
，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a 为常数)仅在点⎝⎛⎭
⎫
12，12处取得最大值，则实数a 的取值范围是 ( )
A ．(－2,2)
B ．(0,1)
C ．(－1,1)
D ．(－1,0)
答案 C
解析 由x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨
⎪⎧
x －y ≥0，
x ＋y ≤1，
0≤y ≤12
，
画出此不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．
由目标函数z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z ， 因为z 仅在点⎝⎛⎭⎫
12，12处取得最大值，
所以得－1<－a <1，得实数a 的取值范围是(－1,1)．
12．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
|sin x |，x ∈[－π，π]，lg x ，x >π，x 1，x 2，x 3，x 4，x 5是方程f (x )＝m 的五个不等的
实数根，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的取值范围是 ( )
A ．(0，π)
B ．(－π，π)
C ．(lg π， 1)
D ．(π，10)
答案 D
解析 函数f (x )的图象如图所示，
结合图象可得x 1＋x 2＝－π，x 3＋x 4＝π， 若f (x )＝m 有5个不等的实数根， 需lg π<lg x 5<1，得π<x 5<10， 又由函数f (x )在[－π，π]上对称， 所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝0，
故x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的取值范围为(π，10)． 二、填空题
13．已知0<α<π，sin 2α＝sin α，则tan ⎝⎛⎭
⎫α＋π
4＝________. 答案 －2－ 3
解析 由sin 2α＝sin α，可得2sin αcos α＝sin α， 又0<α<π，所以cos α＝1
2.
故sin α＝
3
2
，tan α＝ 3. 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan
π41－tan αtan
π4
＝3＋1
1－3
＝－2－ 3. 14．已知函数f (x )＝－3x 2＋ax ＋b ，若a ，b 都是区间[0,4]内任取的一个数，那么f (1)>0的概
率是________． 答案
2332
解析 由f (1)>0得－3＋a ＋b >0，即a ＋b >3. 在0≤a ≤4,0≤b ≤4的约束条件下， 作出a ＋b >3满足的可行域，如图， 则根据几何概型概率公式可得， f (1)>0的概率P ＝42－12×32
42
＝23
32
. 15．一个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的表
面积为________．
答案 16π
解析 该几何体是从一个球体中挖去14个球体后剩余的部分，所以该几何体的表面积为
3
4×(4π×22
)＋2×π×22
2
＝16π.
16．某校举行了由全部学生参加的校园安全知识考试，从中抽出60名学生，将其成绩分成
六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后，画出如图所示的频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)为________；平均分为________．
答案 75% 71
解析 及格的各组的频率是(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，即及格率约为75%；样本的均值为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71，以这个分数估计总体的分数即得总体的平均分数约为71.。