转角：横截面绕中性轴转过的角度。
w
x
挠曲线
y
挠曲线(deflection curve):变形后的轴线。
★工程实例 控制截面的挠度、控制桥墩的水平位移
★工程中测量挠度的方法、仪器
精密水准仪、全站仪、GPS、机电百分表、 光电方法等
三.挠曲线近似微分方程
1.挠曲线方程(deflection equation)
材料力学第五章梁弯曲时的位移演示文稿
第五章 梁弯曲时的位移
一.概 述 二.梁的位移─挠度及转角 三.挠曲线近似微分方程 四.叠加法计算梁的位移 能量法I-静定结构变形计算
五.梁的刚度计算
一.概 述 1.工程实践中的弯曲变形问题
在工程中，对某些受弯构件，要求变形不能 过大，即要求构件有足够的刚度，以保证正常 工作。
2 EIw F x
y
2
A
EIw Fx2 C
x
4
l
F
C l
B
x
EIw Fx3CxD 12
2
2
思考：c 0 ?
由边界条件： x0时 ， w0 由对称条件： xl 时， w0
2
得： D0 得： C Fl 2
16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
F (4x2l2)
16EI
A
F
C
w Fx (4x23l2) 48EI
问题的关键：考虑上式中的取正还是取负？
y M0 Mw0 M
y M0 M w0M
x
x
Ew IM
思考:与小挠度微分方程 Ezw I相M 对(x应) 的坐标系 为？ （ ）
xx
y
x
y
y
(a)
(b)
(c)
教材中采用（a)图坐标系
2. 积分法求弯曲变形 ●弯矩方程不分段时 Ew IM(x)
Ew IM (x)dxC
5ql4 384EI
（↓）
★转角为正时，表示其转向和由x轴转向y轴的时针相
同；挠度为正时，表示其方向和y轴正向相同。
例2.已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁 在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程， 并确定θmax和wmax。
y
P
A l
Bx
解：M (x)P (lx) y
Ew I PxPl
ALeabharlann wmaxwBPl3 3EI
wB
Pl 3 3EI
P
θBB x
另解： M(x)Px Ew IM(x)
Ew IPx
xA
EIwPx2 C 2
EIw Px3CxD 6
边界条件：x l时 ， w 0 ,w 0
Pl 2 C
2 EI
D Pl 3 3EI
y
P
x
B
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
Px2 Pl2
当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引 起的变形是各自独立的，互不影响。 若计算几个载荷共同作用下在某截面上引 起的变形，则可分别计算各载荷单独作用 下的变形，然后叠加。
如图示，要计算三种载荷作用下在某截面如C 截面挠度，则可直接查表：各载荷单独作用下 的挠度，然后叠加（代数和）。
★变形的有利方面（工程实例） ●车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以 缓解车辆受到的冲击和振动作用。
P
P
2
2
P
●求解超静定问题。
二.梁的位移─挠度及转角 梁对称弯曲时用什么参数表示轴线的变形?
1
(x)
M(x) EIz
?
w
挠度w：横截面形心处的铅垂位移。
转角：横截面绕中性轴转过的角度。
挠度w：横截面形心处的铅垂位移。
连续光滑曲线(A、B处转角、挠度唯一）
边界条件
固定端约束对位移的影响：B处转角、挠 度?
连续光滑曲线
例1.已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简 支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠 曲线方程，并确定θmax和wmax。
y
q
x
l
解：M(x)qlxqx2 y
22
q
Ew Iqlxqx2 22
A
B
x
Ew Iqlx2qx3C
w
x
挠曲线
y
挠曲线方程：wf(x)
转角方程： ta n w f(x )
曲线 w = f (x) 的曲率为
w
(1w2)3/2
梁纯弯曲时曲率由几何关系得
1 M(x)
(x) EIz
考虑小变形条件：
(1x)(1w w 2)3/2w
1 M(x)
(x) EIz
Ezw IM (x)
问题的关键：考虑上式中的取正还是取负？
E Iw M (x )d x d x C D x
式中积分常数C、D由边界条件确定 ●弯矩方程分n段时，积分常数个数为 2n
由边界条件确定的方程需要2n个 方法的局限性：外力复杂或多跨静定梁时计算量过大
边界条件
光滑连续条件：
F
√
wc wc c c
C
×
× 约束条件:两端铰处挠度为零。
边界条件
铰支座对位移的限制(A、B处挠度为零）
在另外一些情况下，却要求构件具有较大的 弹性变形，以满足特定的工作需要。
★变形过大的不利影响（工程实例）
●摇臂钻床的摇臂等变形过大，就会影响 零件的加工精度，甚至会出现废品。
摇臂钻床
(自重、钻头等约束力影响）
●桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行 走困难，出现爬坡现象。
●传动轴的支座处转角过大，轴承发生磨损。
x
Ew IPx2PlxC
l
2
EIw Px3Plx2C xD 62
由边界条件：x 0 时 w ， 0 ,w 0
得： CD 0
P
Bx
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
Px (x2l)
y
2EI
A
w Px2 ( x3l ) 6EI
x l
最大转角和最大挠度分别为：
maxB
Pl2 2EI
B
Pl 2 2EI
x
l
46
EIw qx l3qx4C xD 12 24
由边界条件：x 0时 ，w0
x l时 ，w 0
得：
ql3 C , D0
24
q (6lx24x3l3)
24EI
y
w qx(2lx2x3l3)
q
2E 4 I
A
最大转角和最大挠度：
x θA
θB
B x
maxAB2q4lE 3I （
l
）
wmax wxl 2
2EI 2EI
xA
Px3 Pl2x Pl3
x
w
6EI 2EI 3EI
最大转角和最大挠度分别为：
maxB
Pl2 2EI
wmaxwB
Pl3 3EI
y
P
B
θB
例3已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁 在集中力F作用下的转角方程、挠曲线方程， 并确定θmax和 wmax。
y
F
A
B
C
x
l
l
2
2
解：AC 段：M(x)Fx
x l
l
2
2
最大转角和最大挠度分别为：
B
x
max AB1P 6lE2I
wmaxwxl 2
Pl3 48EI
例4.已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支 梁的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和 wmax。(请同学课后思考）
y
q
A
B
C
D
E
x
a
a
a
a
四.用叠加法计算梁的变形
在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下, 载荷与它所引起的变形成线性关系。