数值分析第三次作业及答案1． （P201(4)）用梯形方法解初值问题 '0;(0)1,y y y ⎧+=⎨=⎩ 证明其近似解为2,2nn h y h -⎛⎫= ⎪+⎝⎭并证明当0h →时，它收敛于原初值问题的准确解.xy e -=111112111000 [(,)(,)]2(,)()22222222 1,.2,.lim l n n n n n n n n n n n n n n nn n n h hy y f x y f x y hf x y y y y y y h h h y y y y h h h h y y h h n y nh x y +++++++-→=++=-⇒=+-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒==== ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫=⇒= ⎪+⎝⎭=⇒=证：梯形公式为由因用上述梯形公式以步长经步计算到故有0022im lim 22x nhx h h h h e h h -→→--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2． (P202(6)) 写出用四阶经典的龙格—库塔方法求解下列初值问题的计算公式：''3,01;,01;(1)1)2)(0)1;(0) 1.y y x y x y x x y y ⎧=<<⎧=+<<⎪+⎨⎨=⎩⎪=⎩ 12113224330.2(,)(,) 1.1()0.1 22221)(,) 1.11()0.112222(,) 1.n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n h k f x y x y h h h h k f x y k x y k x y h h h h k f x y k x y k x y k f x h y hk x h y hk ===+=++=+++=++=++=+++=++=++=+++=解：令1123412132431222()0.222(22)0.2214 1.22140.021463/(1)3(0.1)/(10.1)2)3(0.1)/(10.1)3(0.2)/(10.2)0.2(6n n n n n n n n n nn n n n n n x y hy y k k k k x y k y x k y k x k y k x k y k x y y k ++⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪++⎩=++++=++=+⎧⎪=+++⎪⎨=+++⎪⎪=+++⎩=+123422).k k k +++3． (P202(7)) 证明对任意参数t ，下列龙格库塔－公式是二阶的：12312131();2(,);(,);((1),(1)).n n n nn n n n h y y K K K f x y K f x th y thK K f x t h y t hK +⎧=++⎪⎪⎪=⎨⎪=++⎪=+-+-⎪⎩'''2'''31'123'2'()()()()[(,())(,())(,())]23!()[((,)(,)22(,)(,)())((,)(,n n n n x n n y n n n n n n n n n x n n y n n n n n n x n n y h y x y x hy x f x y x f x y x f x y x hh hy y K K y f x y f x y th f x y thf x y O h f x y f x y ζ++=++++=++=++++++证：由一元函数的泰勒展开有又由二元函数的泰勒展开有'22''32''311)(1)(,)(1)(,)())](,)[(,)(,)(,)]()2(),(,())[(,())(,())(,())]()2()y n n n n n n n x n n y n n n n n n n n n n x n n y n n n n n n t h f x y t hf x y O h h y hf x y f x y f x y f x y O h y y x h y y hf x y x f x y x f x y x f x y x O h y x y +++-+-+=++++==++++为考虑局部截断误差，设上式有比较与31111 ()()n n n R y x y O h t +++=-=两式，知其局部误差为故对任意参数，公式是二阶的。

4． (P203（11）) 导出具有下列形式的三阶方法：'''10112201122()n n n n n n n y a y a y a y h b y b y b y +----=+++++'''101122011221'10121201223''12121213 ()()()()()[()()()]()()()(2)()(424)()(8312)2!3!n n n n n n n n n n n n n n n y y x y x a y x a y x a y x h b y x b y x b y x y x x y a a a y x a a b b b hy x h h a a b b y x a a b b y +----++==+++++=+++--+++++--+--++解：假设则将在处展开'''34(4)512120121201212121213()(16432)()()4!121424183121n x h a a b b y x O h a a a a a b b b a a b b a a b b ++--+++=⎧⎪--+++=⎪⎨+--=⎪⎪--++=⎩该公式的三阶方程为 取任一组满足方程组的参数均可。

5． (P236(3))为求方程32010 1.5x x x --==在 附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式。

1） 211,x x=+迭代公式2111;k kx x +=+2） 321,x x =+迭代公式1k x +=3） 21,1x x =-迭代公式1k x +=试分析每种迭代公式的收敛性。

解：32321.4 1.410.2160 1.5 1.510.1250--=-<--=>[1.4,1.5]∴为有根区间。

22'3321221)11/()11/()0.7311.411/k k x x x x x x x x ϕϕ+=+=+=-≤≈<∴=+迭代公式收敛。

2232'233112 1.52)1()()12/(1 1.0)0.63133k x xx x x x x ϕϕ+⨯=+==+⨯≤+≈<∴=－（）迭代公式3322'2111(1.51)3)()()(1)1.41122k x x x x x x ϕϕ--+-===--≥≈>-∴=迭代公式6． (P236(6))已知()x x ϕ=在区间[,]a b 内只有一根，而当a x b <<时，'()1,x k ϕ≥>试问如何将()x x ϕ=化为适于迭代的形式？将x tgx =化为适于迭代的形式，并求 4.5x =（弧度）附近的根。

1'''1''11111(())()1()1 (()) 1.()()()()(0,1,) [4.k k k kx x x k x x x x x x x x k x tgx x arctgx x arctgx ϕϕϕϕϕϕϕϕππ--++=≥>=<=⇒=⇒===⇒=+⇒=+－－解：由反函数微分法则有 故当时，有将则迭代法是收敛的。

对 用搜索法知在(5)045,4.50] 4.45 4.49341x x ==内有根，取迭代，。

7． (P237(12))应用牛顿法于方程30x a -=的迭代公式，并讨论其收敛性。

3'23'22''3''''4443()()3()2()()33322()033222()(3)03f x x a f x x f x x a ax x x x f x x x ax x a a a x x x a ϕϕϕϕϕ=-=-∴=-=-=+=-⇒==--=⇒==≠∴解：为二阶收敛。

因迭代公式为 31223k k kx ax x ++=32122(33k k k k k k k k kx a x x x x x x x +-+⇒=-=两边同除k x1k=因20kk x +>故由01k<< 1） 当0,a >2k k x x ⇒><-312221133333k k k k k k x a a x x x x x ++==++≥=又由故当00,a x >取初值，迭代序列}k x ｛2） 当0,a<2k k x x ⇒>-<312221133333k k k k k k x a a x x x x x ++==++≤=又由故当00,a x <<取初值，迭代序列}k x ｛ 故综上此为局部收敛。