h0
h
h0 h0
例6. 设
存在, 求极限 lim f (x0 h) f (x0 h).
h0
2h
是否可按下述方法作:
解: 令原式t x0hlim0h,则
f (x0 )
f ((xx00)hf)(x0f (xh0))
2(2hh)
原式
1 2
f
(x0 )
1 2
f (x0 )
f
(x0 )
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f 0 1.
内容小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
2. f (x0 ) a
f(x0 ) f(x0 ) a
3. 导数的几何意义: 切线的斜率;
4. 可导必连续, 但连续不一定可导;
5. 已学求导公式 :
(C) 0;
(ln x) 1
(cosx) sin x;
x
不连续, 一定不可导. 6. 判断可导性 直接用导数定义;
f
(0)
lim
x 0
sin x
x
0
0
1
ax 0
f
(0)
lim
x 0
x0
a
故 a 1 时
此时
在
都存在,
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作业
P49 5 , 7, 9
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备用题
1. 设
存在, 且
求
解: 因为
1 f (1 (x)) f (1)
lim
2 x0
(x)
所以
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2. 设 在
在
处连续, 且
处可导.
证：因为
存在，则有
又在 所以 即
处连续, 故
lim f (x) f (0)
x0
x
在
处可导.
存在，证明:
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看左右导数是否存在且相等.
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思考与练习
1. 函数 在某点 处的导数 有什么区别与联系 ?
与导函数
区别: f (x) 是函数 , f (x0 ) 是数值;
联系: f (x) xx0 f (x0 )
？ 注意: f (x0) [ f (x0) ]
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x0
x
lim f x0 2x f x0 lim f x0 x f x0
x0
x
x0
x
2 lim f x0 2x f x0 lim f x0 x f x0
x0
2 x
x0
x
2 f x0 f x0 f x0
1
A=-
.
f x0
说明：
对一般幂函数 y x ( 为常数)
( x ) x1
（以后将证明）
例如，(
1
x ) (x 2 )
1 2
x
1 2
1 2x
1
x
(x1)
x11
1 x2
(
1
3
) (x 4 )
3
7
x4
xx
4
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例3. 求函数
的导数.
解:
则
lim f (x h) f (x) lim sin( x h) sin x
第二章
导数思想最早由法国
导数与微分 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出.
微积分学的创始人: 英国数学家 Newton 德国数学家 Leibniz
导数 微分学 微分
描述函数变化快慢 描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
第一节
第二章
导数的概念
一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 五、单侧导数
lim
f
x
f
0
lim
xk
sin
1 x
lim xk1 sin
1 存在，
x0 x 0
x0 x 0 x0
x
当且仅当lim xk1存在，k 1 0, k 1. x0
习题2.1 题7，题8
f
x
x2,
x 1
ax b, x 1.
f x 在x 1连续，
f 1_ f 1 f 1 , 得f 1 lim x2 1,
h0
h
h0
h
lim 2cos( x h)
h0
2
lim cos( x h)
h0
2
cos x
即
(sin x) cos x
类似可证得 (cos x) sin x
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例4. 求函数
的导数.
解:
lim f (x h) f (x) lim ln(x h) ln x
练习：习题2.1 题1
1 4 : lim x0
f
x
x0 2x
f
x0 x
A,
得 lim f x0 2x f x0 x 1 ,
x0
x
A
lim f x0 2x f x0 x
x0
x
= lim f x0 2x f x0 f x0 x f x0
若 lim y , 也称 x0 x
在 的导数为无穷大 .
若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导.
此时导数值构成的新函数称为导函数.
记作: y ; f (x) ; dy ; d f (x) . dx dx
注意:
f (x0 )
f (x) xx0
d f (x0 ) dx
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曲线 C : y f (x) 在 M 点处的切线斜率
y y f (x) N
f (x0)
说明: 在经济学中, 边际成本率,
CM
o x0
T
xx
边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.
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y f (x) f (x0 ) x x x0
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x0不可导.
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例7. 问曲线
哪一点有垂直切线 ? 哪一点处
的切线与直线
平行 ? 写出其切线方程.
解:
1
x
2 3
3
y x0 ,
故在原点 (0 , 0) 有垂直切线
令
1 33
1 x2
1, 3
得
x 1,
对应 y 1 ,
则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线
1
平行的切线方程分别为
三、 导数的几何意义
y y f (x)
曲线
若 若 若
在点
tan f (x0 )
曲线过
曲线过
的切线斜率为
CM
上升; 下降;
o x0
y
切线与 x 轴平行, 称为驻点;
T
x
(x0 , y0 )
若
切线与 x 轴垂直 .
o y
x0 x
曲线在点
处的
切线方程:
o
x0
x
法线方程:
( f (x0 ) 0 )
t
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2. 曲线的切线斜率
y
曲线
在 M 点处的切线
割线 M N 的极限位置 M T
(当
时)
切线 MT 的斜率
o
y f (x)
N
CM
T
x0 x x
lim tan
割线 M N 的斜率 tan
f (x) f (x0 ) x x0
k
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
率 问
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限 题
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二、导数的定义
定义1 . 设函数
在点 的某邻域内有定义 ,
若
lim f (x) f (x0 ) lim y
xx0 x x0
x0 x
y f (x) f (x0 ) x x x0
存在, 则称函数
在点 处可导, 并称此极限为
在点 的导数. 记作:
y xx0 ;
f (x0 ) ;
dy dx
x
x0
;
d f (x) dx x x0
即
y
x x0
f (x0 )
lim y x0 x
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运动质点的位置函数 s f (t) 在 t0 时刻的瞬时速度
f (t0 )
o t0
f (t) s
t
f (t0 )
例1. 求函数
(C 为常数) 的导数.
解: y lim f (x x) f (x)
x0
x
即
例2. 求函数
解:
lim f (x) f (a) lim xn an
xa x a
xa x a
lim ( xn1 a xn2 a2 xn3 an1)
xa
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2. 设
存在 , 则
lim
h0f( Fra bibliotek0h) h
f
(x0 )
___f_(_x_0_)_ .
3. 已知
则
k0
4. 若 可导?
解: 由题设
时, 恒有
问 是否在
故在 可导, 且
由夹逼准则
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