f x0 x
x
f x0 lim x x0
f x f (x0 ) ,
x x0
右导数:
类似定义右导数
f x0
lim x0
f x0 x
x
f x0
lim
x x0
f x f (x0 ) .
x x0
函数 f 在 x0处可导 函数f在x0 处左右导数
都存在，且f x0 f x0
解: f x
lim
f x h
f x
x hn
lim
xn
h0
h
h0
h
lim
C
1 n
x
n1
h
C
2 n
x
n
2
h
2
hn
h0
h
lim
h0
nx n1
C
2 n
x n2h
hn1
nxn1
即: ( x n ) nx n1
一般地,当 n 为任意实数 时,上面的公式也成立.
( x ) lim ( x h) x
若函数 f 在区间 I 内的每一点处都可导(若I包含 端点，则在左端点右可导，右端点处左可导）， 则称函数 f 在区间I上可导。
此时对区间I内的任一点x ,都对应着 f 的一个确定的
导数值,于是就构成了I上一个新的函数,这个函数称为
原来函数
f 的导函数,记为
f ( x), df ( x) , y( x)或 dy
h0
h
1 h 1
lim x 1
x
x 1
h0
h
x
x 1 (
x
( 1 )
为任意实数） x
1 x2
( x ) 1 2x
例 3. 求f (x) sin x 的导数,及它在 x 0, 处的导数.
2
解: f x lim f x h f x
lim
h0
sinx
h
h
s in x
为f在x0处 的 导 数， 记 作
f x0
或 df ( x)
dx
x x0
y x x0
dy ,
dx x x0
若极限不存在,则称 f 在 x0 处不可导。
注
1.
f
x0
lim
x 0
f x0 x
x
f x0
lim f x f x0 lim f x0 h f x0
x x0
x x0
h0
h
导数f x0 也称为f
在x
的变化率
0
2.为方便起见， 当 lim f x0 x f x0 时,
x0
x
也称 f 在点 x0 处的导数为无穷大.
3. 左导数:
若左极限 lim
f x0 x f x0 存在，
x0
x
此极限值称为左导数，并称f 在 x0 处左可导，记作：
f x0
lim x 0
dx
dx
即: f x lim y lim f x h f x
x0 x h0
h
例1. 求函数 f x c( c为常数)的导数.
解: f x lim f ( x h) f ( x) lim c c 0
h0
h
h0 h
即: (c) 0
例2. 求 f ( x) x n( n为正整数 ) 的导数.
解: f x lim f x h f x lim loga x h loga x
h0
h
h0
h
lim
h0
1 x
log
a
1
h
h x
1 x
1 ln a
即:
log a x
1x x ln a
特别地: ln x 1
x
例 5. (a x ) a x ln a (a 0,a 1),(e x ) e x .
式极限存在,记为 K ,即:
K
y
lim
x0 x
lim x0
f x0 x
x
f x0
(2). 变速直线运动的瞬时速度问题
设一物体作变速直线运动，运动的位置函数
为 s s(t ) ,求在时刻 t 0的瞬时速度 V (t0 )。
在时刻 t 0 到 t0 t 的时间间隔内,平均速度
V S St0 t St0
t
t
如果当 t 0 时,上式的极限存在,则
V (t0 )
lim
t 0
S t
lim
t 0
S t 0
t
t
St0
定义1.1 （导数）
设函数y f ( x)在N ( x0 )内有定义，x0 x N ( x0 )
如果极限
lim y lim f x0 x f x0
x0 x x0
x
存 在 ， 则 称 函 数f在x0处 可 导， 并 称 该 极 限 值
自变量的变化引起函数值的变化，两个基本问题：
1. 函数随自变量变化的变化速度（比率）问题， 即函数对自变量的变化率问题。
2. 自变量的微小变化导致函数变化多少的问题。
此为导数与微分的问题，本章的两个基本问题
第一节 导数的概念
1 导数的定义
(1). 切线问题: 求曲线y f (x)在点( x0 , y0 ) 处的
lim
2 cos
x
h sin 2
h 2
h0
h
h0
h
h
limcos x h sin 2 cos x
h0
2 h
即: sin x cos x 2
f (0) cos x 1, x0
f
(
2
)
cos
x
x
2
0.
类似可得: cos x sin x
例 4. 求 f x log a x a 0, a 1 的导数.
切线
所谓曲线 L 在其上点M 0 处的切线,是指当 L上
另一点 M 沿曲线 L 趋向点M 0 时,割线
MM 0 的极限 位置 M 0T
y
M
y T
f (x0 )
M0
x
o
x0
x0 x x
割线 MM 0 的斜率:
K y f x0 x f x0
x
x
当点 M趋于点 M 0 时,x 0 .如果当 x 0 时,上
f ( x ) f ( x x
x)
f ( x )
(2)求极限lim f ( x 2x) f ( x x)
x0
x
例9 已 知 函 数f ( x)在( , )有 定 义 ， 在x 0处
可 导 ， 且f (0) k, 又 对 任 意x1, x2 ( , )有 f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ),证 明f ( x)在( , )内 可 导 ， 且f ( x) kf ( x).
x
注：左右导数是研究分段函 数在分段点
可导与否的有效工具。
例 7.
设f x
x 2 sin 1 ,
x
,
x 0求
f 0 .
解:
f 0
lim
0 ,
f 0 x
f 0
x0
x2 lim
sin 1 x
lim x sin 1
x0
x
x0
x
x0
x0.例8 设来自 ( x)在x0处可导，(1)证 明 ：lim x0
例
6.
设
f
x
sin x ln(1
x)
x0 ,
求 f 0 .
x0
解:
y x
f 0 x
x
sinx
f
0
x ln(1 x)
x
x 0 x 0
y
s in x
lim lim
1,
x0 x x0 x
f (0) lim y 1
y
ln(1 x)
x0 x
lim lim
1,
x x0
x 0