记作 y, f ( x), dy 或 df ( x) . dx dx
即 y lim f ( x x) f ( x)
x 0
x
或 f ( x) lim f ( x h) f ( x) .
h0
h
注意: f (x0 ) f (x) . xx0
★ 单侧导数
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题
如图, 求 t0时刻的瞬时速度,
取一邻近于t
的时刻
0
t
,
运动时间
t
,
平均速度 v
s t
s s0 t t0
g 2 (t0
t).
当 t t0时, 取极限得
瞬时速度 v lim g(t0 t)
tt0
2
gt0 .
t0
t t
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
得增量y f (x0 x) f (x0 ); 如果y与
x之比当x 0时的极限 : lim y 存在, x0 x
则称函数y f (x)在点 x0处可导, 并称这个
极限为函数 y f (x)在点 x0处的导数,
记为 y xx0 ,
dy dx
或
x x0
df ( x) dx
, x x0
即
y
x x0
N 沿曲线C M , x x0 , x x0
x x0
切线MT的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
x x0
二、导数的定义
定义
设函数 y f (x)在点 x0的某个邻域内
有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量 x (点
x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取
例3 求函数 y xn (n为正整数)的导数.
解 ( x n ) lim ( x h)n x n
h0
h
lim[nx n1 n(n 1) x n2h hn1 ] nx n1
播放
y
如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线.
y f (x)
N
T
CM
极限位置即
o
x0
xx
MN 0, NMT 0. 设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y).
割线MN的斜率为 tan y y0 f ( x) f ( x0 ) ,
t0
2t
t0
2t
4A
f
'
(
x0
)存在，是lim x0
f (x0 x) f (x0 x) 存在的（） x
（1）充要条件，（2）必要条件，
（3）充分条件，（4）既不充分，也不必要。
f
'
(
x0
)存在，lim x0
f (x0 x) f (x0 x) x
lim [ f (x0 x) f (x0 )][ f (x0 x) f (x0 )]
x)
lim
h0
sin(
x
h) h
sin
x
lim
h0
cos(
x
h) 2
sin h
2
cos x.
2
即
(sin x) cos x.
ห้องสมุดไป่ตู้
(sin x) x cos x x
4
4
2. 2
(sin x) x0 cosx x0 1
(sin
x)
x0
lim
x0
sin
x
x
sin
0
lim
x0
sin x
x
1
sin x ～ x(x 0)
lim
x0
y x
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
其它形式
f
( x0 )
lim
h0
f
( x0
h) h
f (x0 ) .
f ( x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) . x x0
f
( x0
)
lim
x x0
f
(动） f (定) 动定
.
若x0 0,
f '(0) lim f (x) f (0)
例：f
(x0 )
A, 求 lim t 0
f (x0 2t) t
f (x0 2t)
解：lim f (x0 2t) f (x0 2t)
t0
t
lim [ f (x0 2t) f (x0 )][ f (x0 2t) f (x0 )]
t 0
t
2 lim f (x0 2t) f (x0 ) 2 lim f (x0 2t) f (x0 )
A反映了变化的快慢程度.
★ 如果函数 y f ( x)在开区间I 内的每点 处都可导, 就称函数 f ( x)在开区间I 内可导.
★ 如果 f ( x)在开区间a, b内可导，且 f(a)及
f(b)都存在，就说 f ( x) 在闭区间a, b上可导.
★ 对于任一 x I,都对应着 f (x)的一个确定的 导数值.这个函数叫做原来函数 f ( x) 的导函数.
x0
x
f
(x)
不连续，f
(x)
f
(0)
0 1
x有理数 x无理数
lim f (x) 1不存在 x0 x
选（3）
两个极限不存在，它们和差极限可能存在。
三、由定义求导数
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 (3) 求极限
y f ( x x) f ( x);
x0
x
lim [ f (x0 x) f (x0 )] lim [ f (x0 x) f (x0 )]
x0
x
x0
x
2 f '(x0 ) 存在(充分条件)
反例：f
(
x)
1 0
x有理数 x无理数
当x0 0时
0 x有理数 f (x) f (x) 0 x无理数
lim f (x0 x) f (x0 x) 0
x0
x
若x0 0,且f (x0 ) 0 则 f '(0) lim f (x)
x0 x
关于导数的说明：
★点导数是因变量在点x0处的变化率, 它反映 了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.
y
x x0
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
A
y Ax (x)
x一定，A越大，y越大, y变化越大
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
★ 函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
x
x
y lim y .
x0 x
例1 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.
解
f ( x) lim h0
f ( x h) h
f ( x) lim C h0
C h
0.
即 (C ) 0.
例2 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
h
解
(sin