第 1 页 共 7 页 粮食产量模型的建立
一、 问题提出
在已知1981-1996年每一年粮食的产量基本情况下，要求应用数学思想，和联系在粮食生产过程中，都将会受到国家政策因素、种植粮食面积的增长因素、自然因素、杂交水稻的改良与推广因素等影响的实际情况，综合建立数学模型，根据模型预测未来值，有助于国家粮食生产计划。
二、问题重述及分析
由于农民在生产粮食过程中，经验的不断积累，科学种植手段的不断完善，政府计划的良好政策，土地的不断改良等都将会影响粮食年生产量的增加；在某时政府政策因素、社会经济因素、自然因素等都将会使粮食生产过程中产生一定的波动。
根据题目数据，应用Excel办公软件描述出这些数据的离散图，根据离散图可以看出粮食产量与年限的大致增长情况，与以上分析大致吻合。
分析得到粮食产量是随着年限的增加而有所上浮，证明总体情况是良好的。粮食的增长在起步时的增长速度是很快，随着年限的增加上浮率就会变低（就如一个人的成绩在九十分时要上涨，那幅度也是很小的）。那么它必然不是直线增长，再根据上浮率逐渐减小，可以假设它是一个向下凹的图形，在没有没有其他重要因素的影响下（例如超级杂交水稻的普及），只由农民生产粮食的经验积累、土地改良条件下，粮食生产最终逼近一个最优值，并不是无穷增大。根据一元二次方程性质（存在最优值），综合假设要建立的模型为一个一元二次方程（模型一）。
题目只给出了1981-1996年每一年粮食的产量情况，再从离散图可以看出应用MATLAB数学软件中曲线拟合的最小二乘法来模拟假设的方程。但是所给的值太少，那拟合出的方程就不会精确。因此应用MATLAB数学软件中的差值法，把每一年分成十分，算出一百五十个值；再根据这一百五十个值来拟合假设函数更为精确。
在这过程中国家政策因素、种植粮食面积的增长因素、自然因素、杂交水稻的改良与推广因素等都会影响粮食生产量的浮动。根据可以得出主要因素为国家政策因素与杂交水稻的改良与推广因素对粮食产量的影响最大。特别是超级杂交水稻的推行将会使粮食产量预期最优值更大，将会超过上面一元二次函数的最大值。那么，所建立的模型一就不符合以后粮食生产值的预测。而每段粮食突破工程的生产规律都将相似，所以根据粮食生产分段突破工程法建立模型二。
对粮食产量问题影响的因素还有很多，在小范围内是不会有很大影响的，但是超过一定值时就不可忽略，因此这方面也要随时关注，必要时也是影响预期结果的。
三、模型假设
（一）应用Excel办公软件描述已知数据，再根据实际生活中粮食生产的情况，可以推出粮食生产过程是趋于一个一元二次函数图形的发展形式（粮食生产量最优值趋近于函数最大值）。
（二）在生产因素影响中，经过具体分析主要的因素是超级杂交水稻的推行与普及，它将会在很大程度上影响并超过上述模型一所得的最大值。那么，我们在应用模型一来求解N年后的预期值，那将是不精确的，同时证明模型一具有局限性。而每段粮食突破工程的生产规律都将相似，所以我们要根据不同粮食产量突破工程的具体情况综合建立分段突破模型二。
第 2 页 共 7 页 四、符号说明
t 拟合模型时对应的时间
Y 拟合模型时对应的产值
T1 模型一中真实时间
K 变化最优值的关系
Z 变化最优值时实现的时间关系
Y1 预期突破值
Ymax 模型一最优值
t max 实现模型一最优值的时间
t1 开始实施的时间
t2
预期实现突破值的时间
a 、b、 c 模型一待定系数
f（） 函数符号
五、建立模型
（一）根据题目数据，应用Excel办公软件描述出这些数据的离散图如下：
产量00.511.522.533.544.5519751980198519901995200020052010产量
由离散图分析我们得到粮食产量随时间增长大致成正比例关系，由于在粮食生产过程中国家政策因素、种植粮食面积的增长因素、自然因素、杂交水稻的改良与推广因素等都会影响粮食生产量浮动，所以与离散图的情况相吻合。
在应用MATLAB数学软件拟合方程式，由于题目所给数据量少与分散，拟合出的值不是很精确，因此要先应用MATLAB数学软件插值法，把每年均分为十份，再插出一百五十个数值，再应用拟合出模型一。
MATLAB数学软件插值法插出数值为：（附件-2）
值的个数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
时间 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
产量值 2.857 2.854 2.851 2.848 2.845 2.842 2.839 2.836 2.833 2.83
值的个数 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
第 3 页 共 7 页 时间 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
产量值 2.852 2.874 2.896 2.918 2.94 2.962 2.984 3.006 3.028 3.05
值的个数 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
时间 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3
产量值 3.077 3.104 3.131 3.158 3.185 3.212 3.239 3.266 3.293 3.32
值的个数 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
时间 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4
产量值 3.309 3.298 3.287 3.276 3.265 3.254 3.243 3.232 3.221 3.21
值的个数 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
时间 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5
产量值 3.214 3.218 3.222 3.226 3.23 3.234 3.238 3.242 3.246 3.25
值的个数 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
时间 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6
产量值 3.279 3.308 3.337 3.366 3.395 3.424 3.453 3.482 3.511 3.54
值的个数 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
时间 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 7
产量值 3.547 3.554 3.561 3.568 3.575 3.582 3.589 3.596 3.603 3.61
值的个数 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
时间 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 8
产量值 3.656 3.702 3.748 3.794 3.84 3.886 3.932 3.978 4.024 4.07
值的个数 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
时间 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 9
产量值 4.042 4.014 3.986 3.958 3.93 3.902 3.874 3.846 3.818 3.79
值的个数 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
时间 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 10
产量值 3.802 3.814 3.826 3.838 3.85 3.862 3.874 3.886 3.898 3.91
值的个数 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
时间 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 11
产量值 3.921 3.932 3.943 3.954 3.965 3.976 3.987 3.998 4.009 4.02
值的个数 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
时间 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 12
产量值 4.012 4.004 3.996 3.988 3.98 3.972 3.964 3.956 3.948 3.94
值的个数 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130
第 4 页 共 7 页 时间 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8 12.9 13
产量值 3.953 3.966 3.979 3.992 4.005 4.018 4.031 4.044 4.057 4.07
值的个数 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140
时间 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 14
产量值 4.098 4.126 4.154 4.182 4.21 4.238 4.266 4.294 4.322 4.35
值的个数 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150
时间 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 15
产量值 4.35 4.35 4.35 4.35 4.35 4.35 4.35 4.35 4.35 4.35
MATLAB数学软件拟合得曲线为：（附件-3）
由MATLAB数学软件同时算的：
p =
Columns 1 through 2
-0.00280706722732804 0.144376759134609
Column 3 2.76522882278252
推出一元二次函数模型一（2Yatbtc ） 为：
20.0028070672273284*0.144376759134609*2.76522882278252Ytt