第三章答案1. (6分)已知齐次状态方程Ax x=&的状态转移矩阵)(t Φ如下，求其逆矩阵)(1t -Φ和系统矩阵A 。

⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=Φ--------2t t 2t t 2t t 2t t 3e 2e 3e3e 2e 2e 2e 3e )t (。

解： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=-Φ=Φ-2t t 2t t 2t t 2t t 13e 2e 3e3e 2e 2e 2e 3e )t ()t ( （3分） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Φ==4-3-21|)t (A 0t & （3分） 2. (8分)求定常控制系统的状态响应。

()()()()()()0101,0,0,11210x t x t u t t x u t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+≥== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭&解：11t tt Att tt t tt e te te e e t t tee te -------+⎛⎫+⎛⎫== ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ （4分）0()()(0)()()10t t t t t x t t x Bu t d e te e d te e e τττττττττ------=Φ+Φ-⎡⎤⎡⎤+⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰ （4分）3．(3分) 已知齐次状态方程Ax x =&的状态转移矩阵)(t Φ如下，求其系统矩阵A 。

⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=Φ--------2t t 2tt 2t t 2tt 3e 2e 3e3e 2e 2e 2e 3e )t (。

解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Φ==4-3-21|)t (A 0t & （3分） 4．(8分)已知系统的状态方程为：u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111101&， 初始条件为1)0(1=x ，0)0(2=x 。

求系统在单位阶跃输入作用下的响应。

解：解法1：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=Φ--t t t e te e s s L t 01101)(11； （4分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰---t t t t t t t t t t t ttte e te e te e d e e t e e tee x 212111)(00100τττττ。

（4分） 解法2：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=+-=-s s s s s s s s s s x s Bu A s s x 21)1(111)1(11)1(1)}0()({)I ()(22221；⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-t t te e s x L x 212)]([1。

5．(8分) 已知系统的状态空间描述为[]12034110x x u y x⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦=& 1）求系统的状态转移矩阵。

2）初始条件为[](0)01Tx =，求系统在()()1u t t =作用下的系统输出()y t 。

解：1）111112344242(1)(2)(1)(2)1()3131(1)(2)(1)(2)(1)(2)3222321212()()33231212t s sI A s s s s s s s sI A s s s s s s s s e es s s s t L sI A L s s s s -------⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦+⎡⎤⎢⎥+++++⎡⎤⎢⎥-=⋅=⎢⎥----++⎢⎥⎣⎦⎢⎥++++⎣⎦⎡⎤--⎢⎥-++++⎡⎤Φ=-==⎢⎥⎣⎦--⎢⎥++⎢⎥++++⎣⎦2222223323tt t t tt t e e e e e e -------⎡⎤-⎢⎥-+-+⎣⎦(5分)2）[]22220022222322222()()(0)()()23232112231312322222()10()t t tt t t t t t ttt t t t tt e e e e x t t x Bu t d d e e e e e e e e e e e e e e y t x t e ττττττττ-------------------⎡⎤⎡⎤--=Φ+Φ-=+⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤-++-+⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+---⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦==-⎰⎰1+（3分）或[]2111221()[()(0)()()]3122()10()1t t t e x t L sI A x sI A BU s e y t x t e ------⎡⎤-+⎢⎥=-+-=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦==-+ 6．(8分) 已知系统的状态空间描述为[]01023110x x u y x⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦=& 1）求系统的状态转移矩阵。

2）初始条件为[](0)01Tx =，求系统在()()1u t t =作用下的系统输出()y t 。

解：123s sI A s -⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦（1分）13131(1)(2)(1)(2)1()22(1)(2)(1)(2)(1)(2)s s s s s s sI A s s s s s s s s -+⎡⎤⎢⎥+++++⎡⎤⎢⎥-=⋅=⎢⎥--++⎢⎥⎣⎦⎢⎥++++⎣⎦（2分）2211122211121212()()22122221212t tt t t tt t e ee e s s s s t L sI A L e e e e s s s s -----------⎡⎤--⎢⎥⎡⎤--++++⎡⎤Φ=-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦---+-+⎢⎥⎣⎦++⎢⎥++++⎣⎦（2分）222200222222()()(0)()()22111122222t t tt t t t t t t t t t t t t e e e e x t t x Bu t d d e e e e e e e e e e e e e e ττττττττ------------------⎡⎤⎡⎤--=Φ+Φ-=+⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤-++-+-⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦-⎣⎦⎣⎦⎰⎰（2分）[]2111022t y x e -==-+（1分）或 2111211()[()(0)()()]22t te x t L sI A x sI A BU s e -----⎡⎤-+⎢⎥=-+-=⎢⎥⎣⎦（2分）[]2111022t y x e -==-+ （1分）7．（3分）设状态转移矩阵333311()()24()1()2t tt t t t t t e e e e t e e e e ----⎡⎤+-+⎢⎥Φ=⎢⎥⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦，试确定其矩阵A 。

解： 33033011(3)(3)1124()1413(3)2t t t t t t tt t t e e e e A t e e e e --=--=⎡⎤-++⎢⎥⎡⎤=Φ==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥+-+⎢⎥⎣⎦& 8．(10分) 已知系统的状态空间描述为[]01023231x x u y x⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦=& 若初始条件为[](0)01Tx =，求系统在()()1u t t =作用下的系统输出()y t 。

解：1）121111233131(1)(2)(1)(2)1()22(1)(2)(1)(2)(1)(2)211121212()()22121212t t t s sI A s s s s s s s sI A s s s s s s s s e e e s s s s t L sI A L s s s s --------⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦+⎡⎤⎢⎥+++++⎡⎤⎢⎥-=⋅=⎢⎥--++⎢⎥⎣⎦⎢⎥++++⎣⎦⎡⎤--⎢⎥--++++⎡⎤Φ=-==⎢⎥⎣⎦--⎢⎥++⎢⎥++++⎣⎦222222t t t t t e e e e e -----⎡⎤⎢⎥-+-+⎣⎦(6分)2）[]222200222222()()(0)()()224211222()31()23t t tt t t t t t t t t t t t t t e e e e x t t x Bu t d d e e e e e e e e e e e e e e y t x t e ττττττττ-------------------⎡⎤⎡⎤--=Φ+Φ-=+⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤--++-+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦==-+⎰⎰ （4分）或用另一种方法[]1111()[()(0)()()]()31()23t t t e x t L sI A x sI A BU s e y t x t e ------⎡⎤-+=-+-=⎢⎥⎣⎦==-+ （4分）9．（3分）设状态转移矩阵22223222()3323t tt t t tt t e e e e t e e e e --------⎡⎤--Φ=⎢⎥-+-+⎣⎦，试确定其矩阵A 。

解： 012()34t A t =⎡⎤=Φ=⎢⎥--⎣⎦& （3分） 10．(10分) 已知系统的状态空间描述为[]01023110x x u y x⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦=& 初始条件为[](0)01Tx =，求系统在()()1u t t =作用下的系统输出()y t 。

解：（1）121111233131(1)(2)(1)(2)1()22(1)(2)(1)(2)(1)(2)211121212()()22121212t t t s sI A s s s s s s s sI A s s s s s s s s e e e s s s s t L sI A L s s s s --------⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦+⎡⎤⎢⎥+++++⎡⎤⎢⎥-=⋅=⎢⎥--++⎢⎥⎣⎦⎢⎥++++⎣⎦⎡⎤--⎢⎥--++++⎡⎤Φ=-==⎢⎥⎣⎦--⎢⎥++⎢⎥++++⎣⎦222222t t t t t e e e e e -----⎡⎤⎢⎥-+-+⎣⎦（6分）（2）[]2222002222222()()(0)()()22111122222111022t t tt t t t t t t t t t t t t t e e e e x t t x Bu t d d e e e e e e e e e e e e e e y x e ττττττττ-------------------⎡⎤⎡⎤--=Φ+Φ-=+⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤-++-+-⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦-⎣⎦⎣⎦==-+⎰⎰ （4分） 或用另一种方法[]21112211()[()(0)()()]22111022t tt e x t L sI A x sI A BU s e y x e ------⎡⎤-+⎢⎥=-+-=⎢⎥⎣⎦==-+（4分）11. (10分)已知系统的状态空间描述及初始条件如下：[]01010651u,y ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦x x x & ()()120001x ,x ==求当u =1(t )时，系统的输出y 。