5、逐项可导性。若 k ( z ) 在B上一致收敛，且每一项 k ( z )
k 1
在B上解析，则有：
d ( k ( z ))
k 1
dz
6、外尔斯特拉斯M-判别法
d (k ( z )) dz k 1

若在区域B内，k ( z ) M k ( M k 0) 且 则
M
a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 )2 .....
即级数的和可用连续函数的回路积分来表示，且连续函数的 回路积分可在积分号下求任意多次导数，说明该级数的和是 一个解析函数。 3、级数在收敛圆内部可以逐项求导任意多次。（证明略）
§3、3 泰勒级数展开
一、解析函数以幂级数展开问题 1、解析函数在收敛圆内可以展开幂级数 证明略
绝对收敛，
k 1 k
反之，若
lim 若
lim
k k
1 1
，模级数 k 发散，复级数
k 1

k 1
k
发散， 不定
k 1 k
，模级数 k
k 1
不定，复级数

k 1
k
即判断
k 1 lim 1 k k
三、级数绝对收敛性的常用判别法：
k 1
则称级数
u 收敛。
k k
这时极限S称为这级数的和
这时极限S称为这级数的和
s u1 u2 u3 ......
反之，称为发散。
s 1 2 3 ......
反之，称为发散。
（3）复数项级数Cauchy收敛原理 级数 k 收敛的充分必要条件为
k
第三章 幂 级 数 展 开
重点
1、求幂级数收敛半径的方法
2、复变函数Taylor展开条件与展开方法
3、复变函数Laurant展开条件与展开方法
4、极点阶的确定及留数的求法。
§3.1
复数项级数
一、复数项级数定义及其收敛判据
1. 复数项级数定义：

k 1

k
1 2 3 .....
( z 1) n （并讨论z= 0， z= 2时的情况） ② n n 1
1 当z= 2时，级数为: n 1 n

-------调和级数，是发散级数
调和级数发散的速度慢的让人有些不可思议， 调和级数的前1000项的和约为7.485， 在收敛圆周上不 前100万项的和约为14.357， 能确定级数的敛 前10亿项的和约为21， 散性 前一万亿项和越为28， 当它的和超过100时， 如果每一项在纸带上只占1毫米，我们必须 使用 1043毫米长的纸带，这大约是1025 光年， 而宇宙估计尺寸只有 1012光年， 因此也难怪大家都会认为它是收敛
如果 lim
k
ak 1 ( z z0 )k 1 ak ( z z0 )k
ak z z0 lim k a k 1
ak 1 lim z z0 1 幂级数绝对收敛 k a k
收敛半径
即
ak R lim k a k 1
2）Cauchy法求收敛半径
三、幂级数性质
1、幂级数在收敛圆内：绝对且一致收敛 证明 收敛圆半径为R, 做比收敛圆稍微缩小的圆周CR1 ,半径为R1
a ( z z 0)
k
k

a R
k
k 1
对 a k R1 构成的常数项级数 ak R1 k 0
k

k
ak 1 1 ak 1 R1k 1 lim R1 R1 1 有 lim k k a k a R R1 k k
n
1 n3 n 1
是一个收敛级数（P级 数） P为实数项级数
则复数项级数 z 3 绝对收敛 （在圆周 z =1上）
n 1
n
( z 1) n （并讨论z= 0， z= 2时的情况） ② n n 1
1 ak k
ak k 1 1 R lim lim lim(1 ) 1 k a k k k k k 1
2
0
2
两边积分，并应用Cauchy公式
1 (z ) = 2iห้องสมุดไป่ตู้c

R1
a0 ( ) 1 d + d 2 i c R 1 ( z ) z
2
1 2i
c
a1 ( z0 ) d z
R1
1 2 i
a2 ( z0 ) cR1 z d
1 是发散级数 在收敛圆周 z 1 1 上，其模级数为： n n 1 n ( z 1) 所以不能确定级数 n 的敛散性，需讨论 n 1 1 交错级数，由莱布尼次准则 当z = 0时，级数为： (1) n n 知级数收敛 n 1
交错级数的审敛准则(莱布尼兹准则)： 如果 且 ，则级数 收敛
a R lim a
k
k
1
k 1
z 1 的圆内收敛
1 1 z z z .... 2 1 z
2 4 6
( z 1)
？
( z 1)
t z2
1 2 3 k k 1 z z z .... = (1) z 1 z k 0
例3 求下列级数的收敛半径； 1）

k k k
k
也是绝对收敛的
⑵ 性质
a. 如果级数 k 绝对收敛，则该 级数收敛。
k
c.改变绝对收敛级数的各项 先后次序，其和不变。 和相同

1,2 ,.i , j....k
1,2 ,. j ,i....k
……
，
——充分条件
2）一致收敛及其性质：
⑴ 一致收敛定义： 如果级数是定义在区域B（或边界线L）上，则在区域B （或L）上的各点z，对于给定的小正数 ，存在与z无关的
说明： ⑴每一项均为复数 ⑵实数项级数是复数项级数的特例 ⑶一个复数项级数可转化为两个实数项级数来讨论

k 1

k
u k i vk
k 1
k 1


2、复数项级数的收敛判据---Cauchy收敛判据
⑴实数项级数的收敛定义 若实数项级数 u k 的部分和序列

(2)复实数项级数的收敛定义 若复数项级数 k 的部分和序列
k 0

k
收敛，
( z) 在B内一致且绝对收敛
k 1 k
三、级数绝对收敛性的常用判别法：
, ⒈达朗贝尔（ d Alembent）判别法
对于级数

k 1
k
k
1 2 ...k k 1 ...
k
如果（至少当n充分大时），有 lim 则级数
k
k 1 1 模一项比一项小. k
n 1
z n
n 3
（并讨论在收敛圆周上的情况）
( z 1) n 2） （并讨论z= 0， z= 2时的情况） n n 1
解：
1 ① ak 3 k
ak R lim k a k 1
lim
k
1 (k 1) lim(1 ) k k
3 3 k
3
1
在圆周 z = 1上，其模级数为：
d, ⒈达朗贝尔（ Alembent）判别法
⒉(Cauchy)判别法： 如果（至少当n充分大时），有 k 则级数 k 是绝对收敛的
k
k 1 lim 1 k k

k
1
k 反之， k 1

k 1
k
k 发散， k
1
， k 敛散性不定。
k 1
lim k k 1
故 ak R1 收敛
k k 0

则级数 ak ( z z 0) 绝对且一致收敛 k 0
k

？
P34 M判定法
2、幂级数在收敛圆内部是解析函数（无奇点，处处可导） 证明略 由于级数在收敛圆内一致且绝对收敛，则说明级数 在偏小的 c R 上一致收敛，则它可在 c R 上逐项积分
1
1
( ) = a + a1 ( z0 ) + a ( z 0) … 1 1 两边乘以 2 i z 1 a0 1 a1( z0 ) 1 a2 ( z0 )2 1 ( ) 2i z 2i z 2i z 2i z
lim
k k
ak z z0
1 幂级数绝对收敛。若＞1发散。 1 R lim 收敛半径 k k ak
k
对同一级数而言，两种方法给出的收敛半径相同。
z z0 R： 收敛圆
z z0 R
z z0 R z z0 R
ak (z z 0 ) k 收敛 在收敛圆内部，
二、绝对收敛与一致收敛的概念及性质 1) 绝对收敛：
⑴ 定义
由复数级数的各项模组成的新级数 常用判断级数绝对值收敛的 方法来判断级数的收敛 b. 如果级数
和 是绝
k k
k k
k 或写为 u k v k 收敛 k
2 2
对收敛的，则它们的乘积
k
则称这个级数 k 为绝对收敛级数 k
正整数N，使得n >N时，对于任意的自然数p恒有：
k n 1

n p
k
( z)
成立。
则称级数 k ( z ) 为一致收敛。
k 1
说明：
1、一致收敛是对区域B或L而言。或者说是对复函数而言的。
2、复变函数项级数在B或L上一致收敛
在B或L上的各点z，此复变函数项级数 k ( z ) 都收敛
k
§3.2 幂 级 数