n(z 2)n2 , 0 z 2 1 n1
3 用级数展开法计算闭合环路积分
在罗朗展开式中的系数项中. 令 n 1 ，得到
c1
1 2πi
i
C
f
( )d
1 2πi
i
C
f
(z)dz
或
i C f (z)dz 2πic1
其中 C 为圆环域 R1 | z z0 | R2 内的任一简单闭曲线，其中 f (z) 在此圆环域内解析.由此可见，计算积分可转化为求被积函数
的罗朗展开式中 z1 项的系数 c1 .
1
i 例 计算积分
ze z dz
|z|2 1 z
1
【解】函数 f (z) ze z 在1 | z | 内解析，而 1 z
| z | 2 在此环域内，故可把函数在环域
1 z R（R 2) 内展开,注意到| 1 | 1 有 z
1
1
1
ze z
ez
ez
f
一、定义：
若函数 f(z) 在某点z0不可导，而在z0的任意邻域 内除z0外连续可导，则称z0为f(z)的孤立奇点；
举例
若在z0的无论多小的邻域内总可以找到z0以外的
不可导点，则称z0为f(z)的非孤立奇点。
孤立奇点的例子
1 , e1/ z , z
1 1 z2
1 非孤立奇点的例子 sin(1/ z)
(1) 0 z 1; (2)1 z 2;
(3) 2 z ; (4) 0 z 1 1.
【解】(1)先把 f (z) 用部分分式来表示：
f
(z)
1 z2
11 z 1 1 z
1 2
1 1
z
，由于
z
1，从而
z 2
1，利用
2
1 1 z z2 zn 1 z
z 1
可得
11 21 z
1 2
1
(z)
1
z
z 1
1
1
z 1
(1 z1 z2 )(1 z1 (2!z)2 )
(1
2 z
5 2z2
)
故 c1 2 ，从而
1
ze z
|z|2 1 z dz 2πic1 4πi
作业：p47（新教材） (2)、 (4)、 (6)、 (10) 、(12)、(14)
第五节 孤立奇点的分类
（2）显然
lim
z z0
f
(z)
a0
即函数在可去奇点的邻域上是有界的；
（3）定义新的函数，则奇点可去
g(z)
f (z) a0 z
z z0
z0
例： sin z
z
2、极点的特征
（1）在环域 0 z z0 R上的洛朗级数
f (z) an (z z0 )n nm
（2）显然 lim f (z) zz0 m叫极点的阶：单极点，二阶极点。
z4 ) 4!
1 z2
1 z
1 2!
1 z 3!
1 z2 4!
两种方法相比，其繁简程度显而易见. 因此，以后在
求函数的罗朗展开式时，通常不用公式去求系数 cn ，而常
采用间接展开法.
例 2 函数 f (z)
1
在下列圆环域内是处处
(z 1)(z 2)
解析的，将函数 f (z) 在这些区域内展开成罗朗级数.
利用公式计算 cn ，那么就有
i cn
1 2πi
C
e
n3
d
其中 C 为圆环域内的任意一条简单曲线.
由于在给定圆环域内的解析函数是唯一的，所以常常
也可采用间接展开法，即利用基本展开公式以及逐项求
导、逐项积分、代换方法等将函数展开成罗朗级数。 如
上例
ez z2
1 z2
(1
z
z2 2!
z3 3!
z 2
z2 22
zn 2n
,
2
z 1 2
所以
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f
(
z
)
(1
z
z
2
)
1 2
1
z 2
z2 22
1 2
3 z 7 z2 , 0 48
z
1
结果中不含 z 的负幂次项，原因在于 f (z) 1 在 z 1内是解
(z 1)(z 2)
析的.
(2) 由于1 z 2 ，从而 1 1, z 1，所以
1 1 z2
,
1
z 12 (z 3)
3、本性奇点的特征
（1）在环域 0 z z0 R 上的洛朗级数
f (z) an (z z0 )n n
（2） lim f (z) z z0 不存在
这里a-1具有特殊的作用，被称为f(z)在点z=z0处的留数
三、孤立奇点的分类
可去奇点：主要部分不存在； m阶极点：主要部分有有限m项； 本性奇点：主要部分有无穷多项。
1、可去奇点的特征
（1）在环域 0 z z0 R 上的洛朗级数为：
f (z) a0 a1(z z0 ) a2 (z z0 )2 L
1 , 1 , ,0, , 1 , 1
2
2
二、孤立奇点邻域的Laurent级数展开
在区域 0<|z-z0|<R 内的单值解析函数 f(z) 可展开成
f (z) an (z z0 )n n
其中正幂部分 an (z z0 )n 是该级数的解析部分 n0 负幂部分 an (z z0 )n 是该级数的主要部分 n1
n
f (z) 1 1
1
1
(z 1)n
1
z 2 z 1 1 (z 1) z 1 n0
z 1
(0 z 1 1)
例3
将函数
f
(z)
1 (z 2)(z 3)2
在 0 z 2 1内展开成罗朗级数.
【解】因在 0 z 2 1内展开，所以展开的级数形式应为 cn (z 2)n . n
因为
1 1 1 z 3 (z 2) 1 1 (z 2)
(z 2)n , z 2 1 n0
而
1
(z 3)2
1 z 3
n0
(
z
2)n
1 2(z 2) n(z 2)n1 , z 2 1
所以
f
(z)
z
1
2
(z
1 3)2
1 2 3(z 2) n(z 2)n2 z2
2 罗朗级数展开方法实例
罗朗级数展开定理给出了将一个在圆 环域内解析的函数展开成罗朗级数的一般
方法，即求出 cn 代入即可，这种方法称为 直接展开法. 但是，当函数复杂时，求 cn 往
往是很麻烦的.
例1
把函数
f (z)
ez z2
在以 z 0
为中心的圆环域 0 z 内展开成罗朗级数.
【解】 直接法展开
z2
f
(z)
z
1
2
z
1 1
1 2
1 1
z
1 z
1 1 1
2
z
11
1 1 z z2
zn
z n1
z
24
8
,
1 z 2
(3)由于 z 2，所以 2 1, 1 2 1，所以
z zz
f
(z)
z
1 2
1 z 1
1 1 z 1 2
1 z
1 1 1
1 z2
3 z3
7 z4
z
z
( z 2)
(4) 由 0 z 1 1可知，展开的级数形式应为 cn (z 1)n ，所以