2004年普通高等学校招生重庆卷理工农医类数学试题本试卷分第Ⅰ部分（选择题）和第Ⅱ部分（非选择题）共150分考试时间120分钟.第Ⅰ部分（选择题共60分）参考公式：如果事件A、B 互斥，那幺P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B 相互独立，那幺P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P，那幺n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k knn P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数y =的定义域是：（）A [1,)+∞B23(,)+∞C23[,1]D 23(,1]2.设复数1Z =+,则22Z Z -=()A –3B 3C -3iD 3i 3.圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为：（）A2B2C 1D 4．不等式221x x +>+的解集是：（）A (1,0)(1,)-+∞B (,1)(0,1)-∞-C (1,0)(0,1)- D (,1)(1,)-∞-+∞ 5．sin163sin 223sin 253sin 313+= (A 12-B 12C 2-D 26．若向量 a与b 的夹角为60 ，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,则向量a 的模为：（）A 2B 4C 6D 127．一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（）A 0a <B 0a >C 1a <-D1a >8．设P 是60 的二面角l αβ--内一点，,PA PB αβ⊥⊥平面平面,A,B为垂足，4,2,PA PB ==则AB 的长为：（）AB C DABCABCA BCABCPPPP9．若数列{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是：（）A 4005B 4006C 4007D 400810．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：()A 43B 53C 2D 7311．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（）A 110B 120C 140D112012．若三棱锥A-BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的面积与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与ABC 组成图形可能是：（）第Ⅱ部分（非选择题共90分）题号二三总分171819202122分数二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13.若在5(1)ax +的展开式中3x 的系数为80-，则_______a =14．曲线23112224y x y x =-=-与在交点处切线的夹角是______（用弧度数作答）15．如图P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形P 2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P 3、P 4、…..P n …,记纸板P n 的面积为n S ，则lim ______n x S →∞=16．对任意实数K ，直线：y kx b =+与椭圆：2cos (02)14sin x y θθπθ⎧=⎪≤≤⎨=+⎪⎩恰有一个公共点，则b 取值范围是_______________三、解答题：本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）求函数44sinc o s c o s y x x x x =+-的取小正周期和取小值；并写出该函数在[0,]π上的单调递增区间。

P 1P 2P 3P 4设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为34，遇到红灯（禁止通行）的概率为14。

假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，ξ表示停车时已经通过的路口数，求：（1）ξ的概率的分布列及期望E ξ;(2)停车时最多已通过3个路口的概率。

19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 的底面是正方形，,,//,PA ABCD AE PD EF CD AM EF⊥⊥=底面(1)证明MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线；(2)若3PA AB =,求直线AC 与平面EAM 所成角的正弦值。

20．（本小题满分12分）设函数()(1)(),(1)f x x x x a a =-->(1)求导数/()f x ;并证明()f x 有两个不同的极值点12,x x ;(2)若不等式12()()0f x f x +≤成立，求a 的取值范围。

D设0p>是一常数，过点(2,0)Q p的直线与抛物线22y px=交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）。

试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程。

22．（本小题满分14分）设数列{}n a满足1112,,(1,2,3.......)n nna a a na+==+=(1)证明na>对一切正整数n成立；(2)令1,2,3......)nb n==,判断1n nb b+与的大小，并说明理由。

2004年普通高等学校招生重庆卷理工农医类数学试题参考答案一、选择题：每小题5分，共60分.1．D 2．A 3．D 4．A 5．B 6．C 7．C8．C9．B10．B11．D12．D二、填空题：每小题4分，共16分.13．－214．4π15．3π16．[－1，3]三、解答题：共74分.17．（本小题12分）解：xx x x y 44cos cos sin 32sin -+=)62sin(22cos 2sin 32sin 3)cos )(sin cos (sin 2222π-=-=+-+=x x x x x x x x 故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；单增区间是[π31,0]，],65[ππ18．（本小题12分）解：（I ）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4用A K 表示“汽车通过第k 个路口时不停（遇绿灯）”，则P （A K ）=4321,,,),4,3,2,1(43A A A A k 且=独立.故,41)()0(1===A P P ξ25681)43()()4(,2562741)43()()3(,6494143()()2(1634143)()1(4432134321232121==⋅⋅⋅====⋅⋅⋅====⋅⋅===⨯=⋅==A A A A P P A A A A P P A A A P P A A P P ξξξξ从而ζ有分布列：25652525681425627364921631410=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE （II ）256175256811)4(1)3(=-==-=≤ξξP P 答：停车时最多已通过3个路口的概率为256175.19．（本小题12分）（I ）证明：因PA ⊥底面，有PA ⊥AB ，又知AB ⊥AD ，故AB ⊥面PAD ，推得BA ⊥AE ，又AM ∥CD ∥EF ，且AM=EF ，证得AEFM 是矩形，故AM ⊥MF.又因AE ⊥PD ，AE ⊥CD ，故AE ⊥面PCD ，而MF ∥AE ，得MF ⊥面PCD ，故MF ⊥PC ，因此MF 是AB 与PC 的公垂线.（II ）解：连结BD 交AC 于O ，连结BE ，过O 作BE 的垂线OH ，垂足H 在BE 上.易知PD ⊥面MAE ，故DE ⊥BE ，又OH ⊥BE ，故OH//DE ，因此OH ⊥面MAE.连结AH ，则∠HAO 是所要求的线AC 与面NAE 所成的角设AB=a ，则PA=3a ，a AC AO 2221==.因Rt △ADE~Rt △PDA ，故中从而在AHO Rt a ED OH a a a a PD AD ED ∆===+==.10221,10)3(2222.10520122102sin ==⨯==a a AO OH HAO 20．（本小题12分）解：（I ）.)1(23)(2a x a x x f ++-=')(,;0)(,;0)(,:)())((3)(,,,04)1(4.0)1(230)(221121212122>'><'<<<'<'--='<>≥+-=∆=++-='x f x x x f x x x x f x x x f x x x x x f x x x x a a a a x a x x f 时当时当时当的符号如下可判断由不妨设故方程有两个不同实根因得方程令因此1x 是极大值点，2x 是极小值点.（II ）因故得不等式,0)()(21≤+x f x f .0)(]2))[(1(]3))[((.0)())(1(212122121221212122213231≤++-++--++≤++++-+x x a x x x x a x x x x x x x x a x x a x x 即又由（I ）知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.3),1(322121a x x a x x 代入前面不等式，两边除以（1+a ），并化简得.0)()(,2,)(212.0252212成立不等式时当因此舍去或解不等式得≤+≥≤≥≥+-x f x f a a a a a 21．（本小题12分）解法一：由题意，直线AB 不能是水平线，故可设直线方程为：p x ky 2-=.又设),(),,(B B A A y x B y x A ，则其坐标满足⎩⎨⎧=-=.2,22px y p x ky 消去x 得04222=--p pky y 由此得⎩⎨⎧-==+.4,22p y y pk y y B A B A ⎪⎩⎪⎨⎧==+=++=+22224)2()(,)24()(4p p y y x x p k y y k p x x B A B A B A B A 因此OB OA y y x x OB OA B A B A ⊥=+=⋅即,0.故O 必在圆H 的圆周上.又由题意圆心H （H H y x ,）是AB 的中点，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=.2,)2(22kp y y y p k x x x B A B B A H 由前已证，OH 应是圆H 的半径，且p k k y x OH H H 45||2422++=+=.从而当k=0时，圆H 的半径最小，亦使圆H 的面积最小.此时，直线AB 的方程为：x=2p.解法二：由题意，直线AB 不能是水平线，故可设直线方程为：ky =x －2p 又设),(),,(B B A A y x B y x A ，则其坐标满足⎩⎨⎧=-=.2,22px y p x ky 分别消去x，y 得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=--.04)2(2,04222222p x k p x p pky y 故得A 、B 所在圆的方程.02)2(2222=-+-+pky x k p y x 明显地，O （0，0）满足上面方程所表示的圆上，又知A 、B 中点H 的坐标为),,)2(()2,2(2kp p k y y x x BA B A +=++故22222)2(||p k p k OH ++=而前面圆的方程可表示为22222222)2()(])2([p k p k pk y p k x ++=-++-故|OH|为上面圆的半径R ，从而以AB 为直径的圆必过点O （0，0）.又22422)45(||p k k OH R ++==，故当k=0时，R 2最小，从而圆的面积最小，此时直线AB 的方程为：x=2p.解法三：同解法一得O 必在圆H 的圆周上又直径|AB|=22)()(B A B A y y x x -+-.44222222222p x x p x x px px x x y y x x B A B A BA B A B A B A =⋅+≥+++=+++=上式当B A x x =时，等号成立，直径|AB|最小，从而圆面积最小.此时直线AB 的方程为x=2p.22．（本小题14分）（I ）证法一：当,1122,11+⨯>==a n 时不等式成立..1)1(2,1.1)1(213221,1.12,122221时成立时时当成立时假设++>+=∴++>++>++=+=+>=++k a k n k a k a a a k n k a k n k kk k k k 综上由数学归纳法可知，12+>n a n 对一切正整数成立.证法二：当n=1时，112321+⨯=>=a .结论成立.假设n=k 时结论成立，即.12+>k a k 当)1(1)(,1>+=+=x xx x f k n 由函数时的单增性和归纳假设有.012132)12112(.3212112:.12112121显然成立而这等价于因此只需证≥+⇔+≥++++≥++++++>+=+k k k k k k k k k a a a k k k 所以当n=k+1时，结论成立.因此，12+>n a n 对一切正整数n 均成立.证法三：由递推公式得,1221212--++=n n n a a a 21212222222112,12a a a a a a n n n ++=++=--- 上述各式相加并化简得)1(2211)1(222121212-+>+++-+=-n a a n a a n n ).,2,1(12,12,1).2(1222 =+>+>=≥+>+=n n a n a n n n n n n 故明显成立时又（II ）解法一：1)1211(1)11(1211+++<++=+=++n nn n n a n a n a b b n n n n n第11页（共11页）..12141)21(12)1(21)12()1(212n n b b n n n n n n n n n <<+-+=++=+++=+故解法二：n a a a n n a n a b b nn n nn n n -++=-+=-++1(11111..0)1()1(1)]1()1([)1()1(1)]12()1([)1)(1(1))()](121([)1(1])1([)1(112n n n n n n n n b b n n a n n n n n n a n n n n n n n n a n n n n n n n n a n n a n n n a n n <<+-++=+-++++=+-+++++=+-+-+≤-+-+=+所以的结论由解法三：n a n a b b nn nn 2212211-+=-++0)1121(11)121212(11)12(11)21(1122222<-++=+-+++<-++=-+++=nn n n n n n n a a n n a a a n n nn n n 故n n n n b b b b <<++1221,因此.I。