[
]
两边对时间求导数
3 &x & & mx&& = mgx − 2k (2 x + λ s ) x 2
注意到在静平衡位置满足 所以微分方程为
mg = 2kλ s
3 m&& + 4kx = 0 x 2
返回首页
Theory of Vibration with Applications
4.1 牛顿定律和普遍定理
返回首页
4.2 拉格朗日（Lagrange）运动方程 拉格朗日（Lagrange）
4.2.4 完整的保守系统的拉格朗日运动方程
例4-5 图示系统，摆的支点在水平方向受到弹性约束，其总 刚度为k，摆的质量为m，摆长为l。试用拉格朗日方程求出系 统的运动方程。 解： （1）选择x及θ 为广义坐标。 （2）动能及势能
4.1.4 普遍定理的综合应用
在有限路程中主动力的功为
∑ Wx0 − x = −mg ( x0 − x) +
1 2 k (2 x0 + λ s ) − (2 x + λ s ) 2 2
[
]
由动能定理的积分形式
T − T0 = ∑Wx0 − x
1 3 2 1 2 2 & ⋅ mx − T0 = − mg ( x 0 − x ) + k (2 x 0 + λ s ) − (2 x + λ s ) 2 2 2
∑ (F
n i =1
Theory of Vibration with Applications
x i δ xi
+ F y i δ y i + Fz i δ z i = 0
返回首页
)
4.2 拉格朗日（Lagrange）运动方程 拉格朗日（Lagrange）
4.2.2 达朗贝尔（D’Alembert）原理 达朗贝尔（ ）
& ϕ 其中， 为圆盘的角速度，IA = mr2/2是圆盘对质心的转动惯量。
圆盘作不滑动的滚动时，存在有 ϕ r = θ& ( R − r ) &
T=
Theory of Vibration with Applications
& ϕ=
R−r & θ r
3 R − r &2 mr 2 θ 4 r
d T = Σ δWF
其中
δWiF 表示作用在质点系上主动力的元功
dT
表示质点系动能的微分
Theory of Vibration with Applications
返回首页
4.1 牛顿定律和普遍定理
4.1.3 刚体平面运动微分方程
刚体的平面运动可简化为具有相同质量的平面图形在固定平面 内的运动。 内的运动。 应用质心运动定理和相对质心动量矩定理得
Theory of Vibration with Applications
返回首页
4.1 牛顿定律和普遍定理
4.1.4 普遍定理的综合应用
无重量不可伸长的细绳绕过质量为m、 例4-2无重量不可伸长的细绳绕过质量为 、半径 无重量不可伸长的细绳绕过质量为 R为的均质圆盘。弹簧刚度为 ，与细绳相连，如 为的均质圆盘。弹簧刚度为k，与细绳相连， 为的均质圆盘 图所示，列写该系统的运动微分方程。 图所示，列写该系统的运动微分方程。
图4-5摆振系统
Theory of Vibration with Applications
返回首页
4.2 拉格朗日（Lagrange）运动方程 拉格朗日（Lagrange）
4.2.4 完整的保守系统的拉格朗日运动方程
例4-6 图示的刚体由四根拉伸弹簧支承，被 限制在图示平面内运动。图示位置为平衡位 置。且质量为m，转动惯量IO。试导出微幅运 动微分方程。 解：取刚体质心O点偏离平衡位置的x、y和 刚体绕质心的转角θ为广义坐标，即
4.1 牛顿定律和普遍定理
4.1.4 普遍定理的综合应用
动量定理、动量矩定理、 动量定理、动量矩定理、动能定理从不同的角度建立 了质点系的运动变化与其受力之间的关系， 了质点系的运动变化与其受力之间的关系，称为质系的 普遍定理。 普遍定理。 各个定理都是从不同的方面提出了建立运动微分方程 的方法，从而为解决动力学的基本问题提供了依据。 的方法，从而为解决动力学的基本问题提供了依据。
两边对时间求导数
系统微幅振动时的运动方程
Theory of Vibration with Applications
返回首页
第4章 振动系统的运动微分方程
4.2
拉格朗日运动方程
Theory of Vibration with Applice）运动方程 拉格朗日（Lagrange）
4.2.3 完整的保守系统的拉格朗日运动方程
拉格朗日方程提供了解决有限自由度完整系统运动的一 个普遍的简单而又统一的方法。 个普遍的简单而又统一的方法。 在t1与t2区间的虚位移δqi是任意的，而且δqi彼此独立的。 因此，得到著名的拉格朗日方程 拉格朗日方程
∫ ∑ (Q δq )dt − ∫ ∑
t2 t2 t1 i =1 i i t1 i =1
Theory of Vibration with Applications
返回首页
第4章 振动系统的运动微分方程
4.1
牛顿定律和普遍定理
Theory of Vibration with Applications
返回首页
4.1 牛顿定律和普遍定理
4.1.1 质点的运动微分方程 4.1.2 质点系动能定理的微分形式 4.1.3 刚体平面运动微分方程 4.1.4 普遍定理的综合应用
Theory of Vibration with Applications
返回首页
4.1 牛顿定律和普遍定理
4.1.1 质点的运动微分方程
牛顿第二定律， 牛顿第二定律，质点在惯性坐标系中的运动微分方程有 以下几种形式
m
d2r dt dt
2
= ΣF
d2x d2 y d2z m 2 = ΣFx , m 2 = ΣFy , m 2 = ΣFz dt dt dt
这就是摆的运动方程。 当微幅振动时，取cosθ ≈1，sinθ = 0，并可略去高阶项， 则可简化为
& m&& + mlθ& + kx = 0 x & m&& + mlθ& + mgθ = 0 x
两式相减得到 mgθ = kx 得到运动方程
mg & + l θ& + gθ = 0 k
设初始条件为 t = 0
x = x0
& & x = x0
在有限路程中主动力的功为
∑Wx0 − x = −mg ( x0 − x) +
Theory of Vibration with Applications
1 2 k (2 x 0 + λ s ) − (2 x + λ s ) 2 2
[
]
返回首页
4.1 牛顿定律和普遍定理
返回首页
2
4.1 牛顿定律和普遍定理
4.1.4 普遍定理的综合应用
系统的势能 W = mg ( R − r )(1 − cosθ ) ≈ mg ( R − r )θ 2
T − T0 = ∑Wx0 − x
3 & m( R − r ) 2 θ& + mg ( R − r )θ = 0 2
1 2
由动能定理的积分形式
Theory of Vibration with Applications
返回首页
4.1 牛顿定律和普遍定理
4.1.2 质点系动能定理的微分形式
设质点系由n个质点组成 ， 在理想约束的条件下， 设质点系由 个质点组成， 其 在理想约束的条件下 ， 质点 个质点组成 系动能的微分等于作用在质点系的主动力的元功之和。 系动能的微分等于作用在质点系的主动力的元功之和。有
4.1.4 普遍定理的综合应用
例4-4 图示系统中，半径为 r 的均匀圆盘 在槽内作不滑动的滚动。已知圆盘质量为 m ， 槽的半径为R。建立系统的运动方程。
图4-4圆盘微幅振动
解：若选择θ 为广义坐标，则系统微幅振动时的动能为
1 &] 2 + 1 I ϕ 2 T = m[( R − r )θ A & 2 2
Theory of Vibration with Applications
返回首页
4.1 牛顿定律和普遍定理
4.1.4 普遍定理的综合应用
x取任意值时，系统的动能为
&2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 x & T = mvC + J C ω = mx + ⋅ mR 2 2 2 2 2 2 R
1 3 2 & T = ⋅ mx 2 2
根据虚功原理，可以得出达朗贝尔原理的另一种叙述方式： 在具有理想约束的质点系中，在任一瞬时，作用于各质点上 的主动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所作虚功之和等于 零。这就是动力学普遍方程，即
δW + δWin = 0
Theory of Vibration with Applications
返回首页
4.2 拉格朗日（Lagrange）运动方程 拉格朗日（Lagrange）
解：系统具有一个自由度，建立广义坐标x，坐标原点位于 系统具有一个自由度，建立广义坐标 ， 弹簧具有静伸长时圆盘中心的静平衡位置， 弹簧具有静伸长时圆盘中心的静平衡位置，坐标正方向如 图中所示。 图中所示。 x取任意值时，系统的动能为 取任意值时， 取任意值时