第七章《平面向量》测试题
（时间：120分钟；分数：150分）
一、选择题（12小题，每题5分，共60分）
1.下列量：力、位移、速度、加速度、质量、面积中有（ ）个是向量. （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）7
2.四边形ABCD 中若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC
⃗⃗⃗⃗⃗ ,则它一定是（ ） （A ）平行四边形 （B ）矩形 （C ）菱形 （D ）正方形
3.若点M 是AB 的中点，O 为平面上任意一点，下列各式中不正确的是（ ） （A ）AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （B ）AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ （C ）OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) （D ）OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB
⃗⃗⃗⃗⃗ 4.下列命题中正确的是（ ）
（A ）a ⃗ =
|a ⃗ |a
⃗
（B ）a
⃗ |a
⃗ |
=
b
⃗ |b
⃗ | (a ⃗⃗ ,b ⃗ 均为非零向量） （C ）a ⃗⃗ 与b ⃗ 反向且均为非零向量，则|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ |+|b ⃗ | （D ）a ⃗⃗ 与b ⃗ 同向且均为非零向量，则|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ |+|b ⃗ | 5.已知点A （5,3），B （8,0），C （2,0），则∆ABC 是（ ）
（A ）等腰直角三角形 （B ）非等腰直角三角形 （C ）锐角三角形 （D ）钝角三角形
6.已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,1), BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−3), CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,−5)，则向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为（ ） （A ）(−5,7) （B ）(5,−7) （C ）(9,−3) （D ）(−9,3)
7.下列命题：
①已知A (3,5),B (1,−7),则AB 中点坐标为(−1，−1).
②对平面内任意一点O,都有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB
⃗⃗⃗⃗⃗ . ③已知Y ABCD 的三个顶点A (−1，−2) ,B (3,1),C (0,2),则D 点的坐 标为(−3，−2) .
④已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 、Q 为AB 的三等分点，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2QB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 则其中正确命题的个数为（ ）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
8.已知A (0,3) ,B (3,6) ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ,则点P 的坐标为( ) （A ）（4,9） （B ）（1,4） （C ）（3,3） （D ）（6,3）
9.下面各对向量垂直的是（ ）
（A ）a ⃗ =(1,9)与b ⃗ =(−1,2) （B ）c =(√2,√3)与d ⃗ =(−√2,√3) （C ）EF ⃗⃗⃗⃗ =(−2,3)与MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−3) （D ）m ⃗⃗⃗ =(3,4)与n ⃗ =(−4,3) 10.已知EF
⃗⃗⃗⃗ =(3，−1)与MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，−2)，则〈EF ⃗⃗⃗⃗ ,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉等于（ ） （A ）π
2 （B ）π
3 （C ）π
4 （D ）π
5 11.若a ⃗ =(1,1)与b ⃗ =(2,3)，则|3a ⃗ −b ⃗ |等于（ ） （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1
12.已知|a ⃗ −b ⃗ |=√11 ，|a ⃗ |=4，|b ⃗ |=1，则a ⃗ ∙b ⃗ 等于（ ） （A ）4 （B ）2 （C ）-3 （D ）3 二、填空题（6小题，每题5分，共30分）
13.在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 14.设x ⃗ 是未知向量，如果2(x ⃗ −a ⃗ )+(2b ⃗ −x ⃗ )=0⃗ ,则x ⃗ = .
15. 已知2a ⃗ +b ⃗ =(−4,3) , a ⃗ +b ⃗ =(−1,0) ,则a ⃗ = . 16.已知a ⃗ =(3,6) ，b ⃗ =(1，−2) ，且a ⃗ =3b ⃗ −2c ,则c . 17.已知a ⃗ =(2,3) ，b ⃗ =(x ，4) ，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，那么x= .
18.在等腰三角形∆ABC 中，|AB|=|AC|=6，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−18，则底角∠C = .
三、解答题（共60分）
19. （8分）已知向量a ⃗ 和b ⃗ 如图，求（1）2a ⃗ （2）2a ⃗ −b ⃗ .
20. （8分）设a⃗=(−1,3)，b⃗ =(m，2)当m为何值时：
（1）a⃗⊥b⃗ （2）a⃗∥b⃗
21.（10分）已知a⃗=(−1，3),b⃗ =(2，−1)，求
（1）a⃗∙b⃗ （2）〈a⃗ ,b⃗ 〉
22(10分)已知三角形∆ABC的顶点A（1,5）、B（-2,1）、C（5,2），证明：∆ABC是直角三角形.
23.（12分）已知向量a⃗=(cosθ，sinθ),b⃗ =（cos β，sin β），求：
（1）a⃗+b⃗ 与a⃗−b⃗ 垂直
（2）若|ka⃗+b⃗ |=|a⃗−kb⃗ |，求〈a⃗ ,b⃗ 〉
24.（12分）已知A（2,1）、B（3,2）、C（-1,4），
（1）求证：AB⊥AC
（2）当四边形ABMC为矩形时，求点M的坐标.
第七章测试题答案
一、选择题（12小题，每题5分，共60分）
1. B
2.A
3.D
4.D
5.A
6.B
7.B
8.B
9.D 10.C
11.D 12.D
二、填空题（6小题，每题5分，共30分）
13. CB
⃗⃗⃗⃗⃗ 14. 2a⃗−2b⃗ 15. (−3，3)
16. (0，−6) 17. −6 18. 30∘
三、解答题（共60分）
19.（8分）（略）
20. （8分）
（1）m=6；（2）m=−2
3
21. （10分）
a⃗∙b⃗ =(−1,3)∙(2,−1)=−1×2+3×(−1)=−5
cos〈a⃗ ,b⃗ 〉=
√()22√3()2=−√2
2
而0°≤〈a⃗ ,b⃗ 〉≤180°
所以〈a⃗ ,b⃗ 〉=135°
22. （10分）
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3，−4) AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(4，−3)
因为AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−4)∙(4,−3)=−3×4+(−4)×(−3)=0所以AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗
即AB⊥AC
所以∆ABC是直角三角形.
23. （12分）
（1）因为|a⃗|2=cos2θ+sin2θ=1 ,|b⃗ |2
=cos2β+sin2β=1
所以(a⃗+b⃗ )∙(a⃗−b⃗ )=(a⃗)2−(b⃗ )2
=|a⃗|2−|b⃗ |2=0
所以(a⃗+b⃗ )⊥(a⃗−b⃗ )
（2）因为|ka ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −kb ⃗ | 所以|ka ⃗ +b ⃗ |2
=|a ⃗ −kb
⃗ |2 即k 2|a ⃗ |2+|b ⃗ |2
+2ka ⃗ ∙b ⃗ =|a ⃗ |2+k 2|b ⃗ |2
+2ka ⃗ ∙b ⃗ 因为|a ⃗
|2
=|b
⃗ |2=1 所以a ⃗ ∙b ⃗ =0 即a ⃗ ⊥b ⃗ 所以〈a ⃗ ,b ⃗ 〉=90°
24.（12分）
（1）因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3，2) −(2，1)=(1，1) AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，4)−(2，1)=(−3，3) 而 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，1)∙(−3，3)=1×(−3)+1×3=0 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 即 AB ⊥AC
（2）设M （x,y ）
因为四边形ABMC 为矩形 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即 (1，1)=(x ，y)−(−1，4) (x ，y)=(0，5) 所以M （0,5）。