a jh
(
y
0 h
y
0 j
)
(
s
0 jh
)
2
, b jh
(x
0 h
x
0 j
)
(s
0 jh
)
2
自由测角网中没有固定点，因此每个水平角为两水平方向之
差。三个坐标点的坐标未知数必同时出现在误差方程中，故
系数阵中的每一行元素结构总是形如
(a jh a jk ) (bjh bjk ) a jh bjh a jk bjk
• 参考： Xu P L. A General Solution in Geodetic Nonlinear Rank-defect Models [ J ] . Bollettino di Geodesia e Scienze Affini , 1997 ,56 (1) :1225.
• /special/opencourse/daishu.h tml 讲师：Gilbert Strang 职业：麻省理工学院 教授
1
0
1
0 1
0
m
m
m
GT
0
y10
1
0
m
x10
y
0 2
1 0
m
x
0 2
y
0 m
1
m xm0
H H
HH
H H
此时
1 0 0
G TG 0 1 0 I
0 0 1
➢ 由于测边网中的观测方程为非线性方程，在线性 化处理中，总假定坐标改正数为微小量，因此仅 取其一次项（即线性）。所以在假定坐标近似值 时，应尽量逼近坐标平差值，以减少因线性化所 带来的误差。一般可先假定任一点的坐标，再根 据相应的观测值推算网中其余点的近似坐标。
3、测角网
对于自由测角网，其系数阵A的秩亏数为４，即缺少两个 位置基准（X，Y）、一个方位基准和一个尺度基准。测角网 的误差方程式为
vi ( a jh a jk )ˆx j ( b jh b jk )ˆy j a jh ˆxh b jh ˆyh a j k ˆxk b jk ˆyk li
各类自由网S和G的确定
赵超英
主要内容
➢秩亏自由网平差的三种解法回顾 ➢各类自由网S的确定 ➢S与基准的关系
秩亏自由网平差的解法分类
①求N的最小范数逆 ----Mittermayer（1971）
③附加条件法 ④伪观测法 ⑦坐标转换法
----Mittermayer（1972）
----Pelzer（1974）
A的行列式等于0，有非零解，特征值0对应的特征向量有四 个，除与水平网相同的三个特征向量外，还有一个尺度基准 对应的特征向量：
x10
y10
x
0
m
y
0
m
T
1
ST
42m
0 y10 x10
0
1 x10 y10
1
0 y20 x20
0 1 1 0 x20 ym0 y20 xm0
0
1
xm0 ym0
1 0
0 1
0 0
1 0
0 1
0 0
1 0
0 1
0 0
33m 0 0 1 0 0 1 0 0 1
其对应的Ｇ矩阵形式如下：
1 0 0 1 0 0 1 0 0
A的行列式等于0，有非零解，特征值0对应的特征向量有三个， 分别是：
1 0 1 0T
0 1 0 1T
y10 x10 ym0 xm0 T
满足AS=0，由上述特征向量可得S为：
1 0 1 0 1 0
S
T
0
1
0
1 0
1
32m
y10
x10
y2
将S标准化，可得G矩阵形式如下：
1 1
1
1
1 1
A
nt
1
1
可以推出法方程系数阵N=ATA，形式如下：
2 1 1 0 0
S T 1 1 1
1
2
1
0
AS 0
N 1
0 1 2 1
0
0
1
2
NS 0
GT 1 1 1 1
t
2、测边网、边角网
对于自由测边网，其系数阵A的秩亏数为3，即缺少两个位置 基准（X，Y）和一个方位参数。测边网误差方程的一般形式为
原理类似
----e.g. Xu PL（1999？2000？）
解法一：最小二乘最小范数解法
NXˆ AT Pl 0
Xˆ T Xˆ min
Xˆ r Nm AT Pl
Xˆ r N AT Pl
解法三：伪观测法
Ol
A ST
Xˆ
r
Xˆ N 1C Q C (N SST )1 AT Pl
解法四：附加条件法
NQ11 I S( S T S )1 S T
可以证明
Q11
N
N
m
ST
d u
Xˆ r
u1
0
Xˆ T Xˆ min
主要内容
➢秩亏自由网平差的三种解法回顾 ➢各类自由网S的确定 ➢S与基准的关系
各类自由网S和G的确定
1、水准网
d=1。由于误差方程系数阵A中的每一行元素总是出现两个基
本元素+1和-1，其元素结构总是形如:
1 0 0 1 0 0 0 0 0 A 0 1 0 0 1 0 0 0 0 33m 0 0 1 0 0 1 0 0 0
因此，参照水准网情况，可写出GPS网的S矩阵形式如下：
1 0 0 1 0 0 1 0 0
S
T
0
1
0
0
1
0
0
1
0
33m 0 0 1 0 0 1 0 0 1
S
T
将S标准化，可得G矩阵形式如下：
1
m
0
GT
y10
H
x10
H
0
1
m
1
0
m
x10
y
0 2
H
H
y10
x20
HH
0 1
m
1 0
m
x20 ym0
H
H
y20
x
0 m
H
H
0
1
m
x
0 m
H
y
0 m
H
4、GPS网（1）
GPS网的观测量为基线，隐含旋转参数和尺度参数，GPS自由
网的秩亏数为３，必要起始数据是网中一点的三维坐标。 GPS网可以简单看成是三维方向的水准网，某基线向量的观 测方程为：
vik aik xˆi bik yˆi aik xˆk bik yˆ k lik
aik
xi0 xk0 si0k
, bik
yi0
y
0 k
si0k
自由测边网中没有固定点，因此每条边的两端点坐标未知数
必同时出现在误差方程中，故系数阵中的每一行元素结构总
是形如
Ai aik bik aik bik
V
n1
A
nu
Xˆ r
u1
l
n1
ST
d u
Xˆ r
u1
0
NQ11 I S( S T S )1 S T Xˆ r Q11AT Pl
证明三种解法的等价性（一）
Xˆ r Q11AT Pl
S T Q11 0
QXˆ r Xˆ r Q11 AT PQll PAQ11 Q11NQ11 Q11 Q11S( S T S )-1 S T Q11