3.1.1平均变化率课时目标 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题．1．函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为____________．习惯上用Δx表示________，即__________，可把Δx看作是相对于x1的一个“__________”，可用__________代替x2；类似地，Δy＝__________，因此，函数f(x)的平均变化率可以表示为________．2．函数y＝f(x)的平均变化率ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1的几何意义是：表示连接函数y＝f(x)图象上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))的割线的________．一、填空题1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________．(填序号)①在[x0，x1]上的平均变化率；②在x0处的变化率；③在x1处的变化率；④以上都不对．2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的增量Δy＝______________.3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则Δy Δx＝________.4．某物体做运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是______________．5．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________．6．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为________．7．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______．8．若一质点M按规律s(t)＝8＋t2运动，则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________．二、解答题9．已知函数f(x)＝x2－2x，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．10．过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx，1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．能力提升11.甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，试问甲、乙二人哪一个跑得快？12．函数f(x)＝x2＋2x在[0，a]上的平均变化率是函数g(x)＝2x－3在[2,3]上的平均变化率的2倍，求a的值．3.1.2 瞬时变化率——导数(二)课时目标 1.知道导数的几何意义.2.用导数的定义求曲线的切线方程．1．导数的几何意义函数y ＝f(x)在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是：________________________________.2．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： (1)求出函数y ＝f(x)在点x 0处的导数f ′(x 0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．一、填空题1．曲线y ＝1x在点P(1,1)处的切线方程是________．2．已知曲线y ＝2x 3上一点A(1,2)，则A 处的切线斜率为________． 3．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程是____________． 4．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为______________．5．曲线y ＝2x －x 3在点(1,1)处的切线方程为________．6．设函数y ＝f(x)在点x 0处可导，且f ′(x 0)>0，则曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处切线的倾斜角的范围是________．7．曲线f(x)＝x 3＋x －2在点P 处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 点的坐标为______________．8．已知直线x －y －1＝0与曲线y ＝ax 2相切，则a ＝________. 二、解答题9．已知曲线y ＝4x在点P(1,4)处的切线与直线l 平行且距离为17，求直线l 的方程．10．求过点(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线方程．能力提升11．已知曲线y＝2x2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．12．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1 (a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．1．利用导数可以解决一些与切线方程或切线斜率有关的问题．2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0) (x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．3.1.2 瞬时变化率——导数(一)课时目标 1.掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义.2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率.3.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法.4.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数．1．瞬时速度的概念作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，把物体在某一时刻的速度叫____________．用数学语言描述为：设物体运动的路程与时间的关系是s ＝f(t)，当Δt 趋近于0时，函数f(t)在t 0到t 0＋Δt 之间的平均变化率f (t 0＋Δt )－f (t 0)Δt趋近于常数，我们这个常数称为______________． 2．导数的概念设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，x 0∈(a ，b)，当Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝____________无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在点x ＝x 0处________，并称该常数A 为______________________________，记作f ′(x 0)． 3．函数的导数若f(x)对于区间(a ，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f ′(x)． 4．瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t 的导数，即v(t)＝________. 5．瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t 的导数，即a(t)＝________.一、填空题1．任一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________．2．设f(x)在x ＝x 0处可导，则当Δx 无限趋近于0时f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx的值为________．3．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是________．4．已知f(x)＝－x 2＋10，则f(x)在x ＝32处的瞬时变化率是________．5．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是________．6．设函数f(x)＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a ＝________. 7．曲线f(x)＝x 在点(4,2)处的瞬时变化率是________．8．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v(t)＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt]内的平均加速度是________，在t ＝1时的瞬时加速度是________． 二、解答题9．用导数的定义，求函数y ＝f(x)＝1x在x ＝1处的导数．10.枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a＝5×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3s．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．能力提升11．已知函数y＝ax2＋bx＋c，求函数在x＝2处的导数．12．以初速度v0 (v0>0)垂直上抛的物体，t秒时间的高度为s(t)＝v0t－12gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度．1．利用定义求函数在一点处导数的步骤：3.2.1 常见函数的导数课时目标 1.理解各个公式的证明过程，进一步理解运用概念求导数的方法.2.掌握常见函数的导数公式.3.灵活运用公式求某些函数的导数．1．几个常用函数的导数： (kx ＋b)′＝______；C ′＝______ (C 为常数)； x ′＝______； (x 2)′＝______； ⎝⎛⎭⎫1x ′＝________. 2(cos x)′＝________一、填空题1．下列结论不正确的是________．(填序号) ①若y ＝3，则y ′＝0；②若y ＝1x，则y ′＝－12x ；③若y ＝－x ，则y ′＝－12x；④若y ＝3x ，则y ′＝3.2．下列结论：①(cos x)′＝sin x ；②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则f ′(3)＝－227.其中正确的有______个．3．设f 0(x)＝sin x ，f 1(x)＝f ′0(x)，f 2(x)＝f ′1(x)，…，f n ＋1(x)＝f ′n (x)，n ∈N ，则f 2 010(x )＝________. 4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为______________． 5．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为_________．6．若函数y ＝f (x )满足f (x －1)＝1－2x ＋x 2，则y ′＝f ′(x )＝________.7．曲线y ＝cos x 在点A ⎝⎛⎭⎫π6，32处的切线方程为__________________．8．曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是__________．二、解答题9．求下列函数的导数．(1)y ＝log 4x 3－log 4x 2； (2)y ＝2x 2＋1x －2x ； (3)y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫2sin 2 x 4－1.10.已知曲线y ＝x 2上有两点A (1,1)，B (2,4)．求： (1)割线AB 的斜率k AB ；(2)在[1,1＋Δx ]内的平均变化率； (3)点A 处的切线斜率k AT ； (4)点A 处的切线方程．能力提升11．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围为__________． 12．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系：p (t )＝p 0(1＋5%)t ，其中p 0为t ＝0时的物价，假定某种商品的p 0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？(注ln 1.05≈0.05，精确到0.01)1．求函数的导数，可以利用导数的定义，也可以直接使用基本初等函数的导数公式． 2．对实际问题中的变化率问题可以转化为导数问题解决．§3.2 导数的运算3.2.2 函数的和、差、积、商的导数课时目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用求导公式和四则运算法则求函数的导数．1．两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的__________，即[f (x )±g (x )]′＝______________.2．两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上________________________________________，即[f (x )·g (x )]′＝________________.特别地[Cf (x )]′＝__________(其中C 为常数)．3．两个函数的商的导数，等于分子的导数与__________减去________________与分子的积，再除以______________．即_______________________________.一、填空题1．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )＝__________.2．曲线y ＝x e x ＋1在点(0,1)处的切线方程是____________．3．已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b ＝________. 4．曲线y ＝x (x －1)(x －2)…(x －6)在原点处的切线方程为__________．5．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．6．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)的值为__________．7．曲线C ：f (x )＝sin x ＋e x＋2在x ＝0处的切线方程为____________．8．某物体作直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在第4秒末的瞬时速度应该为________ m/s. 二、解答题9．求下列函数的导数． (1)y ＝10x ；(2)y ＝x ＋cos x x －cos x；(3)y ＝2x cos x －3x log 2 011x ； (4)y ＝x ·tan x .10.求曲线y ＝x 2＋sin x 在点(π，π2)处的切线方程．能力提升11．已知点P在曲线y＝4e x＋1上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围为__________．12．求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．1．理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件．2．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算．3．1.1 平均变化率知识梳理 1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1x 2－x 1 Δx ＝x 2－x 1 增量 x 1＋Δx f (x 2)－f (x 1) Δy Δx2．斜率 作业设计 1．①2．f (x 0＋Δx )－f (x 0) 3．4＋2Δx解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2×12＋1＝4Δx ＋2(Δx )2， ∴Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx ＝4＋2Δx . 4.s (t ＋Δt )－s (t )Δt解析 由平均速度的定义可知，物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．所以v ＝Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )Δt.5．－1解析 Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1.6．0.41 7．1解析 由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0＝1.8．4.1解析 质点在区间[2,2.1]内的平均速度可由Δs Δt 求得，即v ＝Δs Δt ＝s (2.1)－s (2)0.1＝4.1.9．解 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为： f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝[(－1)2－2×(－1)]－[(－3)2－2×(－3)]2＝－6.函数f (x )在[2,4]上的平均变化率为： f (4)－f (2)4－2＝(42－2×4)－(22－2×2)2＝4.10．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )3－1 ＝3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3， ∴割线PQ 的斜率Δy Δx ＝(Δx )3＋3(Δx )2＋3Δx Δx＝(Δx )2＋3Δx ＋3. 当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率为k ，则k ＝ΔyΔx＝(0.1)2＋3×0.1＋3＝3.31.∴当Δx ＝0.1时割线的斜率为3.31.11．解 乙跑的快．因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小．12．解 函数f (x )在[0，a ]上的平均变化率为 f (a )－f (0)a －0＝a 2＋2aa ＝a ＋2.函数g (x )在[2,3]上的平均变化率为 g (3)－g (2)3－2＝(2×3－3)－(2×2－3)1＝2.∵a ＋2＝2×2，∴a ＝2.3．1.2 瞬时变化率——导数(二)知识梳理1．曲线y ＝f (x )上过点x 0的切线的斜率 作业设计1．x ＋y －2＝0解析 Δy Δx ＝11＋Δx－1Δx ＝－Δx 1＋Δx Δx ＝－11＋Δx，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于－1，∴k ＝－1，∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. 2．6解析 ∵y ＝2x 3， ∴Δy Δx ＝2(x ＋Δx )3－2x 3Δx＝2(Δx )3＋6x (Δx )2＋6x 2Δx Δx＝2(Δx )2＋6x Δx ＋6x 2.∴当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于6x 2，∴点A (1,2)处切线的斜率为6. 3．x －y －2＝0解析 Δy Δx ＝4(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－4x ＋x 3Δx＝4－(Δx )2－3x 2－3x (Δx )，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于4－3x 2，∴f ′(－1)＝1.所以在点(－1，－3)处的切线的斜率为k ＝1， 所以切线方程是y ＝x －2. 4．4x －y －3＝0解析 与直线x ＋4y －8＝0垂直的直线l 为4x －y ＋m ＝0，即y ＝x 4在某一点的导数为4，而y ′＝4x 3，所以y ＝x 4在(1,1)处导数为4，此点的切线方程为4x －y －3＝0. 5．x ＋y －2＝0解析 Δy Δx＝2－(Δx )2－3x 2－3x (Δx )，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于2－3x 2，∴y ′＝2－3x 2，∴k ＝2－3＝－1.∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.6.⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 k ＝f ′(x 0)>0，∴tan θ>0，∴θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 7．(1,0)或(－1，－4)解析 设P (x 0，y 0)，由f (x )＝x 3＋x －2， ΔyΔx＝(Δx )2＋3x 2＋3x (Δx )＋1， 当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于3x 2＋1.∴f ′(x )＝3x 2＋1，令f ′(x 0)＝4， 即3x 20＋1＝4，得x 0＝1或x 0＝－1， ∴P (1,0)或(－1，－4)． 8.14解析 Δy Δx ＝a (x ＋Δx )2－ax 2Δx＝2ax ＋a Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2ax ＋a Δx 无限趋近于2ax ， ∴f ′(x )＝2ax .设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝2ax 0,2ax 0＝1，且y 0＝x 0－1＝ax 20，解得x 0＝2，a ＝14. 9．解 Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝4x ＋Δx －4xΔx＝－4Δx x Δx (x ＋Δx )＝－4x (x ＋Δx )， 当Δx 无限趋近于0时，－4x (x ＋Δx )无限趋近于－4x 2，即f ′(x )＝－4x2.k ＝f ′(1)＝－4，切线方程是y －4＝－4(x －1)， 即为4x ＋y －8＝0，设l ：4x ＋y ＋c ＝0，则17＝|c ＋8|42＋12，∴|c ＋8|＝17，∴c ＝9，或c ＝－25，∴直线l 的方程为4x ＋y ＋9＝0或4x ＋y －25＝0.10．解 (2,0)不在曲线y ＝1x 上，令切点为(x 0，y 0)，则有y 0＝1x 0.①又Δy Δx ＝1x ＋Δx －1x Δx ＝－1x (x ＋Δx )， 当Δx 无限趋近于0时，－1x (x ＋Δx )无限趋近于－1x 2.∴k ＝f ′(x 0)＝－1x 20.∴切线方程为y ＝－1x 20(x －2)．而y 0x 0－2＝－1x 20.②由①②可得x 0＝1，故切线方程为x ＋y －2＝0.11．解 Δy Δx ＝2(1＋Δx )2－2Δx＝4Δx ＋2(Δx )2Δx＝4＋2Δx ，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于4，∴f ′(1)＝4.∴所求直线的斜率为k ＝－14.∴y －2＝－14(x －1)，即x ＋4y －9＝0.12．解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3， ∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 3.1.2 瞬时变化率——导数(一)课时目标 1.掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义.2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率.3.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法.4.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数．1．瞬时速度的概念作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，把物体在某一时刻的速度叫____________．用数学语言描述为：设物体运动的路程与时间的关系是s ＝f(t)，当Δt 趋近于0时，函数f(t)在t 0到t 0＋Δt 之间的平均变化率f (t 0＋Δt )－f (t 0)Δt趋近于常数，我们这个常数称为______________． 2．导数的概念设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，x 0∈(a ，b)，当Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝____________无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在点x ＝x 0处________，并称该常数A 为______________________________，记作f ′(x 0)． 3．函数的导数若f(x)对于区间(a ，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f ′(x)． 4．瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t 的导数，即v(t)＝________. 5．瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t 的导数，即a(t)＝________.一、填空题1．任一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________．2．设f(x)在x ＝x 0处可导，则当Δx 无限趋近于0时f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx的值为________．3．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是________．4．已知f(x)＝－x 2＋10，则f(x)在x ＝32处的瞬时变化率是________．5．函数y＝x＋1x在x＝1处的导数是________．6．设函数f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝________.7．曲线f(x)＝x在点(4,2)处的瞬时变化率是________．8．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt]内的平均加速度是________，在t＝1时的瞬时加速度是________．二、解答题9．用导数的定义，求函数y＝f(x)＝1x在x＝1处的导数．10.枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a＝5×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3s．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．能力提升11．已知函数y＝ax2＋bx＋c，求函数在x＝2处的导数．12．以初速度v0 (v0>0)垂直上抛的物体，t秒时间的高度为s(t)＝v0t－12gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度．3．1.2 瞬时变化率——导数(一)知识梳理1．瞬时速度 瞬时速度 2.f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx可导 函数f (x )在点x ＝x 0处的导数4．S ′(t ) 5.v ′(t ) 作业设计 1．3解析 Δs Δt ＝s (Δt )－s (0)Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt＝3－Δt ，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于3.2．－f ′(x 0)解析 ∵f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝f (x 0)－f (x 0－Δx )－Δx＝－f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx，∴当Δx 无限趋近于0时，原式无限趋近于－f ′(x 0)． 3．at 0解析 Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝12a Δt ＋at 0，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于at 0.4．－3解析 ∵Δf Δx ＝f ⎝⎛⎭⎫32＋Δx －f ⎝⎛⎭⎫32Δx＝－Δx －3，当Δx 无限趋近于0时，ΔfΔx无限趋近于－3.5．0解析 ΔyΔx ＝(1＋Δx )＋11＋Δx －2Δx＝(1＋Δx )2＋1－2(1＋Δx )Δx (1＋Δx )＝(Δx )2Δx (1＋Δx )＝Δx 1＋Δx， 当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于0.6．1解析 ∵f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝a (－1＋Δx )3－a (－1)3Δx＝a (Δx )2－3a Δx ＋3a .∴当Δx 无限趋近于0时，ΔfΔx无限趋近于3a ，即3a ＝3，∴a ＝1. 7.14解析 Δf Δx ＝f (4＋Δx )－f (4)Δx ＝4＋Δx －2Δx＝14＋Δx ＋2，∴当Δx 无限趋近于0时，Δf Δx 无限趋近于14.8．4＋Δt 4解析 在[1,1＋Δt ]内的平均加速度为Δv Δt ＝v (1＋Δt )－v (1)Δt＝Δt ＋4，当Δt 无限趋近于0时，ΔvΔt无限趋近于4. 9．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx1＋Δx ·(1＋1＋Δx )∴ΔyΔx ＝－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )， ∴当Δx 无限趋近于0时，－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )无限趋近于－12，∴f ′(1)＝－12.10．解 运动方程为s ＝12at 2.因为Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，所以Δs Δt ＝at 0＋12a Δt .所以当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于at 0. 由题意知，a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ， 所以at 0＝8×102＝800 (m/s)．即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.11．解 ∵Δy ＝a (2＋Δx )2＋b (2＋Δx )＋c －(4a ＋2b ＋c ) ＝4a Δx ＋a (Δx )2＋b Δx ， ∴Δy Δx ＝4a Δx ＋a (Δx )2＋b Δx Δx＝4a ＋b ＋a Δx ， 当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于4a ＋b .所以函数在x ＝2处的导数为4a ＋b .12．解 ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝⎛⎭⎫v 0t 0－12gt 20 ＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt ， 当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于v 0－gt 0.故物体在时刻t 0处的瞬时速度为v 0－gt 0.3．2.1 常见函数的导数知识梳理1．k 0 1 2x －1x22.1．②解析 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x －12)′＝－1232x -＝－12x x .2．1解析 直接利用导数公式．因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误；sin π3＝32，而⎝⎛⎭⎫32′＝0，所以②错误；⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，则f ′(3)＝－227， 所以③正确． 3．－sin x解析 f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )＝cos x ，f 2(x )＝f ′1(x )＝－sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝－cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝sin x ，….由此继续求导下去，发现四个一循环，从0到2 010共2 011个数，2 011＝4×502＋3，所以f 2 010(x )＝f 2(x )＝－sin x . 4．(－1，－1)或(1,1)解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1， 则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5.110523解析 s ′＝155t 4.当t ＝4时，s ′＝15·1544＝110523.6．2x解析 ∵f (x －1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2， ∴f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x .7．x ＋2y －3－π6＝0解析 ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴k ＝－sin π6＝－12，∴在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝⎛⎭⎫x －π6， 即x ＋2y －3－π6＝0.8.⎝⎛⎭⎫12，14解析 设切点坐标为(x 0，x 20)，则tan π4＝f ′(x 0)＝2x 0，∴x 0＝12.∴所求点为⎝⎛⎭⎫12，14.9．解 (1)∵y ＝log 4x 3－log 4x 2＝log 4x ，∴y ′＝(log 4x )′＝1x ln 4.(2)∵y ＝2x 2＋1x －2x ＝2x 2＋1－2x 2x ＝1x .∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2. (3)∵y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫2sin 2 x 4－1 ＝2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2sin 2 x 4 ＝2sin x 2cos x2＝sin x .∴y ′＝(sin x )′＝cos x .10．解 (1)k AB ＝4－12－1＝3.(2)平均变化率Δy Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx＝2Δx ＋(Δx )2Δx＝2＋Δx .(3)y ′＝2x ，∴k ＝f ′(1)＝2， 即点A 处的切线斜率为k AT ＝2.(4)点A 处的切线方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0. 11．(－∞，0)解析 ∵f ′(x )＝5ax 4＋1x，x ∈(0，＋∞)，∴由题知5ax 4＋1x ＝0在(0，＋∞)上有解．即a ＝－15x5在(0，＋∞)上有解．∵x ∈(0，＋∞)，∴－15x5∈(－∞，0)．∴a ∈(－∞，0)．12．解 ∵p 0＝1，∴p (t )＝(1＋5%)t ＝1.05t . 根据基本初等函数的导数公式表，有 p ′(t )＝(1.05t )′＝1.05t ·ln 1.05.∴p ′(10)＝1.0510·ln 1.05≈0.08(元/年)．因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．3.2.2 函数的和、差、积、商的导数课时目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用求导公式和四则运算法则求函数的导数．1．两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的__________，即[f (x )±g (x )]′＝______________.2．两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上________________________________________，即[f (x )·g (x )]′＝________________.特别地[Cf (x )]′＝__________(其中C 为常数)．3．两个函数的商的导数，等于分子的导数与__________减去________________与分子的积，再除以______________．即_______________________________.一、填空题1．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )＝__________.2．曲线y ＝x e x ＋1在点(0,1)处的切线方程是____________．3．已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b ＝________. 4．曲线y ＝x (x －1)(x －2)…(x －6)在原点处的切线方程为__________．5．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．6．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)的值为__________．7．曲线C ：f (x )＝sin x ＋e x＋2在x ＝0处的切线方程为____________．8．某物体作直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在第4秒末的瞬时速度应该为________ m/s.二、解答题9．求下列函数的导数．(1)y ＝10x ；(2)y ＝x ＋cos x x －cos x； (3)y ＝2x cos x －3x log 2 011x ；(4)y ＝x ·tan x .10.求曲线y ＝x 2＋sin x 在点(π，π2)处的切线方程．能力提升11．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围为__________．12．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．1．理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件．2．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算．3．2.2 函数的和、差、积、商的导数知识梳理1．和(或差) f ′(x )±g ′(x )2．第一个函数乘第二个函数的导数 f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x ) C ·f ′(x )3．分母的积 分母的导数 分母的平方 [f (x )g (x )]′＝g (x )f ′(x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0) 作业设计1．3x 2＋3x ·ln 3解析 (ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝13的错误． 2．x －y ＋1＝0解析 y ′＝e x ＋x e x ，当x ＝0时，导数值为1，故所求的切线方程是y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.3．18解析 ∵f ′(x )＝4x 3＋2ax －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)＝－13f ′(－1)＝－27⇒⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－13，－4－2a －b ＝－27. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝13. ∴a ＋b ＝5＋13＝18. 4．y ＝720x解析 y ′＝(x －1)(x －2)…(x －6)＋x [(x －1)(x －2)…(x －6)]′，所以f ′(0)＝1×2×3×4×5×6＋0＝720.故切线方程为y ＝720x .5.12e 2 解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴在(2，e 2)处的切线斜率为e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1.∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2. 6．1解析 ∵f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，∴f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x .∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22. ∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝11＋2＝2－1.故f ⎝⎛⎭⎫π4＝(2－1)×22＋22＝1. 7．2x －y ＋3＝0解析 由f (x )＝sin x ＋e x ＋2得f ′(x )＝cos x ＋e x ，从而f ′(0)＝2，又f (0)＝3，所以切线方程为y ＝2x ＋3.8.12516解析 ∵s ′＝2t －3t2， ∴当第4秒末，v ＝8－316＝12516(m/s)． 9．解 (1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10.(2)y ′＝(x ＋cos x )′(x －cos x )－(x ＋cos x )(x －cos x )′(x －cos x )2＝(1－sin x )(x －cos x )－(x ＋cos x )(1＋sin x )(x －cos x )2＝－2(cos x ＋x sin x )(x －cos x )2. (3)y ′＝(2x )′cos x ＋(cos x )′2x －3[x ′log 2 011 x ＋(log 2 011x )′x ]＝2x ln 2·cos x －sin x ·2x －3[log 2 011 x ＋⎝⎛⎭⎫1x log 2 011 e x ] ＝2x ln 2·cos x －2x sin x －3log 2 011 x －3log 2 011 e.(4)y ′＝(x tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′(cos x )2＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x (cos x )2＝sin x cos x ＋x (cos 2x ＋sin 2x )(cos x )2＝12sin 2x ＋x (cos x )2＝sin 2x ＋2x 2cos 2x . 10．解 f ′(x )＝2x ＋cos x .故曲线在点(π，π2)的切线斜率为2π－1，所以切线为y －π2＝(2π－1)(x －π)，即(2π－1)x －y －π2＋π＝0.11．[3π4，π) 解析 y ′＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋2＋1ex ， ∵e x ＋1ex ≥2，∴－1≤y ′<0，即－1≤tan α<0，∴α∈⎣⎡⎭⎫3π4，π.12．解 依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)．∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12. 切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14.∴所求的最短距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.。