3、1、1平均变化率课时目标1、理解并掌握平均变化率得概念、2、会求函数在指定区间上得平均变化率、3、能利用平均变化率解决或说明生活中得实际问题．1．函数f(x)在区间[x1，x2]上得平均变化率为____________．习惯上用Δx表示________，即__________，可把Δx瞧作就是相对于x1得一个“__________”，可用__________代替x2；类似地，Δy＝__________，因此，函数f(x)得平均变化率可以表示为________．2．函数y＝f(x)得平均变化率ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1得几何意义就是：表示连接函数y＝f(x)图象上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))得割线得________．一、填空题1．当自变量从x0变到x1时，函数值得增量与相应自变量得增量之比就是函数________．(填序号)①在[x0，x1]上得平均变化率；②在x0处得变化率；③在x1处得变化率；④以上都不对．2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数得增量Δy＝______________、3．已知函数f(x)＝2x2－1得图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则Δy Δx＝________、4．某物体做运动规律就是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内得平均速度就是______________．5．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间得平均变化率就是________．6．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0、1时，Δy得值为________．7．过曲线y ＝2x 上两点(0,1)，(1,2)得割线得斜率为______．8．若一质点M 按规律s(t)＝8＋t 2运动，则该质点在一小段时间[2,2、1]内相应得平均速度就是________． 二、解答题9．已知函数f(x)＝x 2－2x ，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上得平均变化率． 10．过曲线y ＝f(x)＝x 3上两点P(1,1)与Q(1＋Δx ，1＋Δy)作曲线得割线，求出当Δx ＝0、1时割线得斜率．能力提升 11、甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，试问甲、乙二人哪一个跑得快？ 12．函数f(x)＝x 2＋2x 在[0，a]上得平均变化率就是函数g(x)＝2x －3在[2,3]上得平均变化率得2倍，求a 得值．1．做直线运动得物体，它得运动规律可以用函数s ＝s(t)描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体得位移(即位置)改变量就是Δs ＝s(t 0＋Δt)－s(t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 得比就就是这段时间内物体得平均速度v ，即v ＝ΔsΔt＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt 、2．求函数f(x)得平均变化率得步骤：(1)求函数值得增量Δy ＝f(x 2)－f(x 1)；(2)计算平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1、3、1、2 瞬时变化率——导数(二)课时目标 1、知道导数得几何意义、2、用导数得定义求曲线得切线方程．1．导数得几何意义函数y ＝f(x)在点x 0处得导数f ′(x 0)得几何意义就是：________________________________、2．利用导数得几何意义求曲线得切线方程得步骤： (1)求出函数y ＝f(x)在点x 0处得导数f ′(x 0)；(2)根据直线得点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．一、填空题1．曲线y ＝1x在点P(1,1)处得切线方程就是________．2．已知曲线y ＝2x 3上一点A(1,2)，则A 处得切线斜率为________． 3．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处得切线方程就是____________．4．若曲线y ＝x 4得一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 得方程为______________． 5．曲线y ＝2x －x 3在点(1,1)处得切线方程为________．6．设函数y ＝f(x)在点x 0处可导，且f ′(x 0)>0，则曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处切线得倾斜角得范围就是________．7．曲线f(x)＝x 3＋x －2在点P 处得切线平行于直线y ＝4x －1，则P 点得坐标为______________．8．已知直线x －y －1＝0与曲线y ＝ax 2相切，则a ＝________、 二、解答题9．已知曲线y ＝4x 在点P(1,4)处得切线与直线l 平行且距离为17，求直线l 得方程．10．求过点(2,0)且与曲线y ＝1x 相切得直线方程．能力提升11．已知曲线y ＝2x 2上得点(1,2)，求过该点且与过该点得切线垂直得直线方程． 12．设函数f(x)＝x 3＋ax 2－9x －1 (a<0)．若曲线y ＝f(x)得斜率最小得切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 得值．1．利用导数可以解决一些与切线方程或切线斜率有关得问题．2．利用导数求曲线得切线方程，要注意已知点就是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则切线方程为y －f(x 0)＝f ′(x 0) (x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f(x 0))，表示出切线方程，然后求出切点．3、1、2 瞬时变化率——导数(一)课时目标 1、掌握用极限形式给出得瞬时速度及瞬时变化率得精确定义、2、会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻得瞬时速度及瞬时变化率、3、理解并掌握导数得概念，掌握求函数在一点处得导数得方法、4、理解并掌握开区间内得导数得概念，会求一个函数得导数．1．瞬时速度得概念作变速直线运动得物体在不同时刻得速度就是不同得，把物体在某一时刻得速度叫____________．用数学语言描述为：设物体运动得路程与时间得关系就是s ＝f(t)，当Δt 趋近于0时，函数f(t)在t 0到t 0＋Δt 之间得平均变化率f (t 0＋Δt )－f (t 0)Δt趋近于常数，我们这个常数称为______________． 2．导数得概念设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，x 0∈(a ，b)，当Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝____________无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在点x ＝x 0处________，并称该常数A 为______________________________，记作f ′(x 0)． 3．函数得导数若f(x)对于区间(a ，b)内任一点都可导，则f(x)在各点得导数也随着自变量x 得变化而变化，因而也就是自变量x 得函数，该函数称为f(x)得导函数，记作f ′(x)． 4．瞬时速度就是运动物体得位移S(t)对于时间t 得导数，即v(t)＝________、 5．瞬时加速度就是运动物体得速度v(t)对于时间t 得导数，即a(t)＝________、一、填空题1．任一作直线运动得物体，其位移s 与时间t 得关系就是s ＝3t －t 2，则物体得初速度就是________．2．设f(x)在x ＝x 0处可导，则当Δx 无限趋近于0时f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx得值为________．3．一物体得运动方程就是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时得瞬时速度就是________．4．已知f(x)＝－x 2＋10，则f(x)在x ＝32处得瞬时变化率就是________．5．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处得导数就是________．6．设函数f(x)＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a ＝________、 7．曲线f(x)＝x 在点(4,2)处得瞬时变化率就是________．8．已知物体运动得速度与时间之间得关系就是：v(t)＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt]内得平均加速度就是________，在t ＝1时得瞬时加速度就是________． 二、解答题9．用导数得定义，求函数y ＝f(x)＝1x在x ＝1处得导数． 10、枪弹在枪筒中可以瞧作匀加速直线运动，如果它得加速度就是a ＝5×105 m /s 2，枪弹从枪口射出时所用得时间为1、6×10－3 s ．求枪弹射出枪口时得瞬时速度．能力提升11．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，求函数在x ＝2处得导数．12．以初速度v 0 (v 0>0)垂直上抛得物体，t 秒时间得高度为s(t)＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处得瞬时速度．1．利用定义求函数在一点处导数得步骤： (1)计算函数得增量：Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)． (2)计算函数得增量与自变量增量Δx 得比ΔyΔx、(3)计算上述增量得比值当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于A 、2．导数得物理意义就是物体在某一时刻得瞬时速度．3、2、1 常见函数得导数课时目标 1、理解各个公式得证明过程，进一步理解运用概念求导数得方法、2、掌握常见函数得导数公式、3、灵活运用公式求某些函数得导数．1．几个常用函数得导数： (kx ＋b)′＝______； C ′＝______ (C 为常数)； x ′＝______； (x 2)′＝______；⎝⎛⎭⎫1x ′＝________、 2．基本初等函数得导数公式：(x α)′＝________(α为常数) (a x )′＝________ (a>0，且a ≠1) (log a x)′＝1xlog a e ＝________ (a>0，且a ≠1)(e x )′＝________ (ln x)′＝________ (sin x)′＝________ (cos x)′＝________一、填空题1．下列结论不正确得就是________．(填序号) ①若y ＝3，则y ′＝0； ②若y ＝1x，则y ′＝－12x ；③若y ＝－x ，则y ′＝－12x；④若y ＝3x ，则y ′＝3、2．下列结论：①(cos x)′＝sin x ；②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则f ′(3)＝－227、其中正确得有______个．3．设f 0(x)＝sin x ，f 1(x)＝f ′0(x)，f 2(x)＝f ′1(x)，…，f n ＋1(x)＝f ′n (x)，n ∈N ，则f 2 010(x )＝________、4．已知曲线y ＝x 3在点P 处得切线斜率为k ，则当k ＝3时得P 点坐标为______________． 5．质点沿直线运动得路程s 与时间t 得关系就是s ＝5t ，则质点在t ＝4时得速度为_________．6．若函数y ＝f (x )满足f (x －1)＝1－2x ＋x 2，则y ′＝f ′(x )＝________、 7．曲线y ＝cos x 在点A ⎝⎛⎭⎫π6，32处得切线方程为__________________．8．曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4得点就是__________．二、解答题9．求下列函数得导数． (1)y ＝log 4x 3－log 4x 2；(2)y ＝2x 2＋1x －2x ； (3)y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫2sin 2 x 4－1、 10、已知曲线y ＝x 2上有两点A (1,1)，B (2,4)．求： (1)割线AB 得斜率k AB ； (2)在[1,1＋Δx ]内得平均变化率； (3)点A 处得切线斜率k AT ； (4)点A 处得切线方程． 能力提升11．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴得切线，则实数a 得取值范围为__________． 12．假设某国家在20年期间得年均通货膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系：p (t )＝p 0(1＋5%)t ，其中p 0为t ＝0时得物价，假定某种商品得p 0＝1，那么在第10个年头，这种商品得价格上涨得速度大约就是多少？(注ln 1、05≈0、05，精确到0、01)1．求函数得导数，可以利用导数得定义，也可以直接使用基本初等函数得导数公式． 2．对实际问题中得变化率问题可以转化为导数问题解决．§3、2 导数得运算3、2、2 函数得与、差、积、商得导数课时目标 1、理解函数得与、差、积、商得求导法则、2、理解求导法则得证明过程，能够综合运用求导公式与四则运算法则求函数得导数．1．两个函数得与(或差)得导数，等于这两个函数得导数得__________，即[f (x )±g (x )]′＝______________、2．两个函数得积得导数，等于第一个函数得导数乘第二个函数，加上________________________________________，即[f (x )·g (x )]′＝________________、特别地[Cf (x )]′＝__________(其中C 为常数)．3．两个函数得商得导数，等于分子得导数与__________减去________________与分子得积，再除以______________．即_______________________________、一、填空题1．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )＝__________、2．曲线y ＝x e x ＋1在点(0,1)处得切线方程就是____________．3．已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b ＝________、 4．曲线y ＝x (x －1)(x －2)…(x －6)在原点处得切线方程为__________．5．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处得切线与坐标轴所围成得三角形得面积为________． 6．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)得值为__________．7．曲线C ：f (x )＝sin x ＋e x ＋2在x ＝0处得切线方程为____________．8．某物体作直线运动，其运动规律就是s ＝t 2＋3t(t 得单位就是秒，s 得单位就是米)，则它在第4秒末得瞬时速度应该为________ m/s 、 二、解答题9．求下列函数得导数． (1)y ＝10x ；(2)y ＝x ＋cos x x －cos x；(3)y ＝2x cos x －3x log 2 011x ； (4)y ＝x ·tan x 、10、求曲线y ＝x 2＋sin x 在点(π，π2)处得切线方程． 能力提升11．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处得切线得倾斜角，则α得取值范围为__________．12．求抛物线y ＝x 2上得点到直线x －y －2＝0得最短距离．1．理解与掌握求导法则与公式得结构规律就是灵活进行求导运算得前提条件． 2．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数得几何意义，利用公式进行计算．3．1、1 平均变化率知识梳理1、f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 x 2－x 1 Δx ＝x 2－x 1 增量 x 1＋Δx f (x 2)－f (x 1) Δy Δx2．斜率 作业设计 1．①2．f (x 0＋Δx )－f (x 0) 3．4＋2Δx解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2×12＋1＝4Δx ＋2(Δx )2， ∴Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx ＝4＋2Δx 、 4、s (t ＋Δt )－s (t )Δt解析 由平均速度得定义可知，物体在t 到t ＋Δt 这段时间内得平均速度就是其位移改变量与时间改变量得比．所以v ＝Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )Δt、 5．－1 解析Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1、 6．0、41 7．1解析 由平均变化率得几何意义知k ＝2－11－0＝1、8．4、1解析 质点在区间[2,2、1]内得平均速度可由Δs Δt 求得，即v ＝Δs Δt ＝s (2、1)－s (2)0、1＝4、1、9．解 函数f (x )在[－3，－1]上得平均变化率为： f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝[(－1)2－2×(－1)]－[(－3)2－2×(－3)]2＝－6、函数f (x )在[2,4]上得平均变化率为： f (4)－f (2)4－2＝(42－2×4)－(22－2×2)2＝4、10．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )3－1 ＝3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3， ∴割线PQ 得斜率Δy Δx ＝(Δx )3＋3(Δx )2＋3ΔxΔx ＝(Δx )2＋3Δx ＋3、 当Δx ＝0、1时，割线PQ 得斜率为k ， 则k ＝ΔyΔx ＝(0、1)2＋3×0、1＋3＝3、31、∴当Δx ＝0、1时割线得斜率为3、31、11．解 乙跑得快．因为在相同得时间内，甲跑得路程小于乙跑得路程，即甲得平均速度比乙得平均速度小．12．解 函数f (x )在[0，a ]上得平均变化率为f (a )－f (0)a －0＝a 2＋2aa ＝a ＋2、函数g (x )在[2,3]上得平均变化率为 g (3)－g (2)3－2＝(2×3－3)－(2×2－3)1＝2、∵a ＋2＝2×2，∴a ＝2、3．1、2 瞬时变化率——导数(二)知识梳理1．曲线y ＝f (x )上过点x 0得切线得斜率 作业设计 1．x ＋y －2＝0解析 Δy Δx ＝11＋Δx－1Δx ＝－Δx 1＋Δx Δx ＝－11＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于－1，∴k ＝－1，∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0、 2．6解析 ∵y ＝2x 3， ∴Δy Δx ＝2(x ＋Δx )3－2x 3Δx ＝2(Δx )3＋6x (Δx )2＋6x 2Δx Δx＝2(Δx )2＋6x Δx ＋6x 2、∴当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于6x 2，∴点A (1,2)处切线得斜率为6、 3．x －y －2＝0解析 Δy Δx ＝4(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－4x ＋x 3Δx＝4－(Δx )2－3x 2－3x (Δx )，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于4－3x 2，∴f ′(－1)＝1、所以在点(－1，－3)处得切线得斜率为k ＝1， 所以切线方程就是y ＝x －2、 4．4x －y －3＝0解析 与直线x ＋4y －8＝0垂直得直线l 为4x －y ＋m ＝0，即y ＝x 4在某一点得导数为4，而y ′＝4x 3，所以y ＝x 4在(1,1)处导数为4，此点得切线方程为4x －y －3＝0、 5．x ＋y －2＝0 解析ΔyΔx＝2－(Δx )2－3x 2－3x (Δx )， 当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于2－3x 2，∴y ′＝2－3x 2，∴k ＝2－3＝－1、∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0、 6、⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 k ＝f ′(x 0)>0，∴tan θ>0，∴θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2、 7．(1,0)或(－1，－4)解析 设P (x 0，y 0)，由f (x )＝x 3＋x －2， ΔyΔx＝(Δx )2＋3x 2＋3x (Δx )＋1， 当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于3x 2＋1、∴f ′(x )＝3x 2＋1，令f ′(x 0)＝4， 即3x 20＋1＝4，得x 0＝1或x 0＝－1， ∴P (1,0)或(－1，－4)． 8、14解析 Δy Δx ＝a (x ＋Δx )2－ax 2Δx＝2ax ＋a Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2ax ＋a Δx 无限趋近于2ax ， ∴f ′(x )＝2ax 、设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝2ax 0,2ax 0＝1， 且y 0＝x 0－1＝ax 20，解得x 0＝2，a ＝14、 9．解 Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝4x ＋Δx －4xΔx＝－4Δx x Δx (x ＋Δx )＝－4x (x ＋Δx )，当Δx 无限趋近于0时，－4x (x ＋Δx )无限趋近于－4x 2，即f ′(x )＝－4x2、k ＝f ′(1)＝－4，切线方程就是y －4＝－4(x －1)， 即为4x ＋y －8＝0， 设l ：4x ＋y ＋c ＝0，则17＝|c ＋8|42＋12， ∴|c ＋8|＝17， ∴c ＝9，或c ＝－25，∴直线l 得方程为4x ＋y ＋9＝0或4x ＋y －25＝0、 10．解 (2,0)不在曲线y ＝1x 上，令切点为(x 0，y 0)，则有y 0＝1x 0、①又Δy Δx ＝1x ＋Δx －1x Δx ＝－1x (x ＋Δx )， 当Δx 无限趋近于0时，－1x (x ＋Δx )无限趋近于－1x 2、∴k ＝f ′(x 0)＝－1x 20、∴切线方程为y ＝－1x 20(x －2)．而y 0x 0－2＝－1x 20、②由①②可得x 0＝1， 故切线方程为x ＋y －2＝0、 11．解 Δy Δx ＝2(1＋Δx )2－2Δx＝4Δx ＋2(Δx )2Δx＝4＋2Δx ，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于4，∴f ′(1)＝4、∴所求直线得斜率为k ＝－14、∴y －2＝－14(x －1)，即x ＋4y －9＝0、12．解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1) ＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2、 3、1、2 瞬时变化率——导数(一)课时目标 1、掌握用极限形式给出得瞬时速度及瞬时变化率得精确定义、2、会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻得瞬时速度及瞬时变化率、3、理解并掌握导数得概念，掌握求函数在一点处得导数得方法、4、理解并掌握开区间内得导数得概念，会求一个函数得导数．1．瞬时速度得概念作变速直线运动得物体在不同时刻得速度就是不同得，把物体在某一时刻得速度叫____________．用数学语言描述为：设物体运动得路程与时间得关系就是s ＝f(t)，当Δt 趋近于0时，函数f(t)在t 0到t 0＋Δt 之间得平均变化率f (t 0＋Δt )－f (t 0)Δt趋近于常数，我们这个常数称为______________． 2．导数得概念设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，x 0∈(a ，b)，当Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝____________无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在点x ＝x 0处________，并称该常数A 为______________________________，记作f ′(x 0)． 3．函数得导数若f(x)对于区间(a ，b)内任一点都可导，则f(x)在各点得导数也随着自变量x 得变化而变化，因而也就是自变量x 得函数，该函数称为f(x)得导函数，记作f ′(x)． 4．瞬时速度就是运动物体得位移S(t)对于时间t 得导数，即v(t)＝________、 5．瞬时加速度就是运动物体得速度v(t)对于时间t 得导数，即a(t)＝________、一、填空题1．任一作直线运动得物体，其位移s 与时间t 得关系就是s ＝3t －t 2，则物体得初速度就是________．2．设f(x)在x ＝x 0处可导，则当Δx 无限趋近于0时f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx 得值为________．3．一物体得运动方程就是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时得瞬时速度就是________．4．已知f(x)＝－x 2＋10，则f(x)在x ＝32处得瞬时变化率就是________．5．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处得导数就是________．6．设函数f(x)＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a ＝________、 7．曲线f(x)＝x 在点(4,2)处得瞬时变化率就是________．8．已知物体运动得速度与时间之间得关系就是：v(t)＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt]内得平均加速度就是________，在t ＝1时得瞬时加速度就是________． 二、解答题9．用导数得定义，求函数y ＝f(x)＝1x在x ＝1处得导数．10、枪弹在枪筒中可以瞧作匀加速直线运动，如果它得加速度就是a ＝5×105 m /s 2，枪弹从枪口射出时所用得时间为1、6×10－3 s ．求枪弹射出枪口时得瞬时速度． 能力提升11．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，求函数在x ＝2处得导数．12．以初速度v 0 (v 0>0)垂直上抛得物体，t 秒时间得高度为s(t)＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处得瞬时速度．1．利用定义求函数在一点处导数得步骤： (1)计算函数得增量：Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)． (2)计算函数得增量与自变量增量Δx 得比ΔyΔx、(3)计算上述增量得比值当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于A 、2．导数得物理意义就是物体在某一时刻得瞬时速度．3．1、2 瞬时变化率——导数(一)知识梳理1．瞬时速度 瞬时速度2、f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 可导 函数f (x )在点x ＝x 0处得导数4．S ′(t ) 5、v ′(t ) 作业设计 1．3解析 Δs Δt ＝s (Δt )－s (0)Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt ＝3－Δt ，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于3、2．－f ′(x 0)解析 ∵f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝f (x 0)－f (x 0－Δx )－Δx＝－f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx，∴当Δx 无限趋近于0时，原式无限趋近于－f ′(x 0)． 3．at 0 解析Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝12a Δt ＋at 0， 当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于at 0、4．－3 解析 ∵ΔfΔx＝f ⎝⎛⎭⎫32＋Δx －f ⎝⎛⎭⎫32Δx＝－Δx －3，当Δx 无限趋近于0时，ΔfΔx 无限趋近于－3、5．0解析 ΔyΔx ＝(1＋Δx )＋11＋Δx －2Δx＝(1＋Δx )2＋1－2(1＋Δx )Δx (1＋Δx )＝(Δx )2Δx (1＋Δx )＝Δx 1＋Δx， 当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于0、6．1解析 ∵f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝a (－1＋Δx )3－a (－1)3Δx＝a (Δx )2－3a Δx ＋3a 、 ∴当Δx 无限趋近于0时，ΔfΔx无限趋近于3a ， 即3a ＝3，∴a ＝1、7、14 解析Δf Δx ＝f (4＋Δx )－f (4)Δx ＝4＋Δx －2Δx＝14＋Δx ＋2，∴当Δx 无限趋近于0时，Δf Δx 无限趋近于14、 8．4＋Δt 4解析 在[1,1＋Δt ]内得平均加速度为Δv Δt ＝v (1＋Δt )－v (1)Δt＝Δt ＋4，当Δt 无限趋近于0时，ΔvΔt无限趋近于4、 9．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx－11＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx1＋Δx ·(1＋1＋Δx )∴Δy Δx ＝－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )， ∴当Δx 无限趋近于0时， －11＋Δx ·(1＋1＋Δx )无限趋近于－12，∴f ′(1)＝－12、10．解 运动方程为s ＝12at 2、因为Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，所以Δs Δt ＝at 0＋12a Δt 、所以当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于at 0、 由题意知，a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1、6×10－3s ，所以at 0＝8×102＝800 (m/s)．即枪弹射出枪口时得瞬时速度为800 m/s 、11．解 ∵Δy ＝a (2＋Δx )2＋b (2＋Δx )＋c －(4a ＋2b ＋c ) ＝4a Δx ＋a (Δx )2＋b Δx ，∴Δy Δx ＝4a Δx ＋a (Δx )2＋b Δx Δx ＝4a ＋b ＋a Δx ， 当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于4a ＋b 、所以函数在x ＝2处得导数为4a ＋b 、 12．解 ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝⎛⎭⎫v 0t 0－12gt 20 ＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt ， 当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于v 0－gt 0、故物体在时刻t 0处得瞬时速度为v 0－gt 0、3．2、1 常见函数得导数知识梳理1．k 0 1 2x －1x 22、1．②解析 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x －12)′＝－1232x -＝－12x x 、2．1解析 直接利用导数公式．因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误； sin π3＝32，而⎝⎛⎭⎫32′＝0，所以②错误；⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，则f ′(3)＝－227， 所以③正确． 3．－sin x解析 f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )＝cos x ， f 2(x )＝f ′1(x )＝－sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝－cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝sin x ，…、由此继续求导下去，发现四个一循环，从0到2 010共2 011个数，2 011＝4×502＋3，所以f 2 010(x )＝f 2(x )＝－sin x 、 4．(－1，－1)或(1,1)解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1， 则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)． 5、110523解析 s ′＝155t 4、当t ＝4时，s ′＝15·1544＝110523、 6．2x解析 ∵f (x －1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2，∴f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x 、7．x ＋2y －3－π6＝0 解析 ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴k ＝－sin π6＝－12， ∴在点A 处得切线方程为y －32＝－12⎝⎛⎭⎫x －π6， 即x ＋2y －3－π6＝0、 8、⎝⎛⎭⎫12，14解析 设切点坐标为(x 0，x 20)，则tan π4＝f ′(x 0)＝2x 0，∴x 0＝12、 ∴所求点为⎝⎛⎭⎫12，14、9．解 (1)∵y ＝log 4x 3－log 4x 2＝log 4x ，∴y ′＝(log 4x )′＝1x ln 4、 (2)∵y ＝2x 2＋1x －2x ＝2x 2＋1－2x 2x ＝1x、 ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2、 (3)∵y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎫2sin 2 x 4－1 ＝2sin x 2⎝⎛⎭⎫1－2sin 2 x 4 ＝2sin x 2cos x 2＝sin x 、∴y ′＝(sin x )′＝cos x 、10．解 (1)k AB ＝4－12－1＝3、 (2)平均变化率Δy Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx＝2Δx ＋(Δx )2Δx＝2＋Δx 、 (3)y ′＝2x ，∴k ＝f ′(1)＝2，即点A 处得切线斜率为k AT ＝2、(4)点A 处得切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0、11．(－∞，0)解析 ∵f ′(x )＝5ax 4＋1x，x ∈(0，＋∞)， ∴由题知5ax 4＋1x＝0在(0，＋∞)上有解． 即a ＝－15x5在(0，＋∞)上有解． ∵x ∈(0，＋∞)，∴－15x5∈(－∞，0)．∴a ∈(－∞，0)． 12．解 ∵p 0＝1，∴p (t )＝(1＋5%)t ＝1、05t 、根据基本初等函数得导数公式表，有p ′(t )＝(1、05t )′＝1、05t ·ln 1、05、∴p ′(10)＝1、0510·ln 1、05≈0、08(元/年)．因此，在第10个年头，这种商品得价格约以0、08元/年得速度上涨．3、2、2 函数得与、差、积、商得导数课时目标 1、理解函数得与、差、积、商得求导法则、2、理解求导法则得证明过程，能够综合运用求导公式与四则运算法则求函数得导数．1．两个函数得与(或差)得导数，等于这两个函数得导数得__________，即[f (x )±g (x )]′＝______________、2．两个函数得积得导数，等于第一个函数得导数乘第二个函数，加上________________________________________，即[f (x )·g (x )]′＝________________、特别地[Cf (x )]′＝__________(其中C 为常数)．3．两个函数得商得导数，等于分子得导数与__________减去________________与分子得积，再除以______________．即_______________________________、一、填空题1．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )＝__________、2．曲线y ＝x e x ＋1在点(0,1)处得切线方程就是____________．3．已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b ＝________、4．曲线y ＝x (x －1)(x －2)…(x －6)在原点处得切线方程为__________．5．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处得切线与坐标轴所围成得三角形得面积为________．6．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)得值为__________． 7．曲线C ：f (x )＝sin x ＋e x ＋2在x ＝0处得切线方程为____________．8．某物体作直线运动，其运动规律就是s ＝t 2＋3t(t 得单位就是秒，s 得单位就是米)，则它在第4秒末得瞬时速度应该为________ m/s 、二、解答题9．求下列函数得导数．(1)y ＝10x ；(2)y ＝x ＋cos x x －cos x； (3)y ＝2x cos x －3x log 2 011x ；(4)y ＝x ·tan x 、10、求曲线y ＝x 2＋sin x 在点(π，π2)处得切线方程．能力提升11．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处得切线得倾斜角，则α得取值范围为__________．12．求抛物线y ＝x 2上得点到直线x －y －2＝0得最短距离．1．理解与掌握求导法则与公式得结构规律就是灵活进行求导运算得前提条件．2．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数得几何意义，利用公式进行计算．3．2、2 函数得与、差、积、商得导数知识梳理1．与(或差) f ′(x )±g ′(x )2．第一个函数乘第二个函数得导数 f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x ) C ·f ′(x )3．分母得积 分母得导数 分母得平方 [f (x )g (x )]′＝g (x )f ′(x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0) 作业设计1．3x 2＋3x ·ln 3解析 (ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝13得错误． 2．x －y ＋1＝0解析 y ′＝e x ＋x e x ，当x ＝0时，导数值为1，故所求得切线方程就是y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0、3．18解析 ∵f ′(x )＝4x 3＋2ax －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)＝－13f ′(－1)＝－27⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＝－13，－4－2a －b ＝－27、∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝13、 ∴a ＋b ＝5＋13＝18、 4．y ＝720x解析 y ′＝(x －1)(x －2)…(x －6)＋x [(x －1)(x －2)…(x －6)]′，所以f ′(0)＝1×2×3×4×5×6＋0＝720、故切线方程为y ＝720x 、 5、12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴在(2，e 2)处得切线斜率为e 2，∴曲线在点(2，e 2)处得切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2、当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1、∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2、 6．1解析 ∵f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，∴f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x 、∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22、 ∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝11＋2＝2－1、 故f ⎝⎛⎭⎫π4＝(2－1)×22＋22＝1、 7．2x －y ＋3＝0解析 由f (x )＝sin x ＋e x ＋2得f ′(x )＝cos x ＋e x ，从而f ′(0)＝2，又f (0)＝3，所以切线方程为y ＝2x ＋3、8、12516解析 ∵s ′＝2t －3t2， ∴当第4秒末，v ＝8－316＝12516(m/s)． 9．解 (1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10、(2)y ′＝(x ＋cos x )′(x －cos x )－(x ＋cos x )(x －cos x )′(x －cos x )2＝(1－sin x )(x －cos x )－(x ＋cos x )(1＋sin x )(x －cos x )2＝－2(cos x ＋x sin x )(x －cos x )2、 (3)y ′＝(2x )′cos x ＋(cos x )′2x －3[x ′log 2 011 x ＋(log 2 011x )′x ]＝2x ln 2·cos x －sin x ·2x －3[log 2 011 x ＋⎝⎛⎭⎫1x log 2 011 e x ]＝2x ln 2·cos x －2x sin x －3log 2 011 x －3log 2 011 e 、(4)y ′＝(x tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′(cos x )2＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x (cos x )2＝sin x cos x ＋x (cos 2x ＋sin 2x )(cos x )2＝12sin 2x ＋x (cos x )2＝sin 2x ＋2x 2cos 2x 、 10．解 f ′(x )＝2x ＋cos x 、故曲线在点(π，π2)得切线斜率为2π－1， 所以切线为y －π2＝(2π－1)(x －π)， 即(2π－1)x －y －π2＋π＝0、11．[3π4，π) 解析 y ′＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋2＋1e x ， ∵e x ＋1e x ≥2，∴－1≤y ′<0，即－1≤tan α<0， ∴α∈⎣⎡⎭⎫3π4，π、12．解 依题意知与直线x －y －2＝0平行得抛物线y ＝x 2得切线得切点到直线x －y －2＝0得距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)．∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12、 切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14、∴所求得最短距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728、。