选修（1-1）第三章导数及其应用课题：§3.1 变化率与导数学习目标：1. 了解函数的平均变化率、瞬时变化率的概念；2. 理解导数的概念，理解、掌握导数的几何意义3. 会利用定义求函数在某一点附近的平均变化率及导数；4. 会利用定义求函数在某点处的切线方程.学习过程：一、变化率问题[开篇思考]：阅读开篇语，了解课程目标1. 微积分的创立与自然科学中的哪些问题的处理直接相关？2. 导数的研究对象是什么？[问题探究一]：气球膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢。

从数学的角度如何描述这种现象? 阅读教材P72并思考：（1）问题中涉及到的两个变量分别是、，这两个变量间的函数关系是；（2）“气球的半径增加得越来越慢”的意思是“”，从数学角度进行描述就是“”，即气球的平均膨胀率就是.（3）运用上述数学解释计算一些具体的值当空气容量从0增加到1L时，气球半径r增加了，气球的平均膨胀率为；当空气容量从1L增加到2L时，气球半径r增加了，气球的平均膨胀率为；当空气容量从2L增加到2.5L时，气球半径r增加了，气球的平均膨胀率为；当空气容量从2.5L增加到4L时，气球半径r增加了，气球的平均膨胀率为；可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐.（4）思考：当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是[问题探究二]：高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系105.69.4)(2++-=ttth如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？阅读教材P73并思考：若用运动员在某段时间[]21,tt内的平均速度v描述其运动状态，那么：（1）v= ；（2）算一算：在5.00≤≤t这段时间内，v=在21≤≤t这段时间内，v=在49650≤≤t这段时间内，v=[新知]：设()y f x=，1x是数轴上的一个定点，在数轴x上另取一点2x，1x与2x的差记为x∆，即x∆=或者2x= ，x∆就表示从1x到2x的变化量或增量；相应地，函数的变化量或增量记为y∆，即y∆= ；如果它们的比值yx∆∆，则上式就表示为，此比值就称为平均变化率. 平均变化率：_______________ = ______反思：所谓平均变化率也就是的增量与的增量的比值.[试一试]：例：已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：（1）[1，]1.1 （2）[1，]2 （3）[1，]x ∆+1[思考]：当x ∆越来越小时，函数)(x f 在区间[1，]x ∆+1上的平均变化率有怎样的变化趋势？ [变式]： 已知函数2()f x x x =-+的图象上一点(1-，)2-及邻近一点(x ∆+-1，)y ∆+-2，则y x∆∆=[学习小结]：1. 函数()f x 的平均变化率是2. 求函数()f x 的平均变化率的步骤：（1）求函数值的增量 ；（2）计算平均变化率 . [作业]：形成练习P 41-42 练习21 函数的平均变化率 [再思考]：计算[问题探究二]中运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，思考以下问题： （1）运动员在这段时间内使静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 二、导数的概念[探究]：计算[问题探究二]运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： （1）运动员在这段时间内使静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程：[知识回顾]：什么是函数)(x f y =的平均变化率？如何求平均变化率？[想一想]：既然用平均速度不能精确描述运动员的运动状态，那该如何求运动员在某一时刻的速度呢？回答下列问题：1．什么是瞬时速度？2. 当t ∆趋近于0时,平均速度v 有什么样的变化趋势？3. 运动员在某一时刻0t 的瞬时速度怎样表示？[认识与理解]：求瞬时速度一物体的运动方程是23t s +=，则在2=t 时刻的瞬时速度是[新知]：1. 函数)(x f y =的瞬时变化率怎样表示？2. 什么是函数)(x f y =在0x x =处的导数？如何表示？其本质是什么？[试一试]：例1．（1）用定义求函数23x y =在1=x 处的导数.（2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．例2．阅读教材P 75例1,计算第h 3时和第h 5时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.[学习小结]：1．瞬时速度、瞬时变化率的概念2．函数)(x f y =在0x x =处的导数及其本质 [作业]：形成练习P 43-44练习22 导数的概念三、导数的几何意义（阅读教材P 74-75）[思考与探究一]：曲线的切线及切线的斜率如图3.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时，割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的 . [想一想]：（1）割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？（2）切线PT 的斜率k 为多少？（3）此处切线的定义与以前学过的切线的定义有什么不同？[新知1]：导数的几何意义：图3.1-21. 函数)(x f y =在0x x =处的导数等于即 0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆2. 函数)(x f y =在0x x =处的切线方程是 .3. 求曲线在某点P 处的切线方程的基本步骤: ① 求出点的坐标))(,(00x f x P ；② 求出函数在点=x 0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆，得到曲线在点))(,(00x f x P 的切线的斜率； ③ 利用点斜式求切线方程. [新知2]：导函数：1. 什么是函数)(x f y =的导函数？2. 函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系？[试一试]：例1:（1）求曲线1)(2+==x x f y 在点)2,1(P 处的切线方程.例2：在曲线2x y =上过哪一点的切线平行于直线54+=x y ？例3：（1）试描述函数()f x 在1,0,2,4,5---=x 附近的的变化情况.（2）已知函数()f x 的图象,试画出其导函数()f x '图象的大致形状.[练一练]：（1）求函数23)(x x f =在点1=x 处的切线方程.（2）设曲线2)(x x f =在点0P 处的切线斜率是3，则点0P 的坐标是[学习小结]：1. 导数的几何意义是什么？2. 函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系？3. 求曲线在某点P 处的切线方程的基本步骤:[作业]：1. 形成练习P 44-45 练习23 导数的几何意义； 2. 学探诊 测试十一[课后思考]：1. 本节知识内容有哪些？你学会了什么？2. 你还有哪些困惑？快快去解决.课题： §3.2 导数的计算学习目标：1．会利用导数的定义推导函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式； 2．掌握基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，会求简单函数的导数.学习过程：一、几个常用函数的导数 [开篇语]：我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们先来求几个常用的函数的导数． [思考与探究]：阅读教材P 81-82，利用导数的定义，尝试自己推导函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数 [练一练1] ：利用导数的定义函数3x y =的导数二、基本初等函数的导数公式及导数运算法则 [记一记1]：基本初等函数的导数公式1. =')(c _________2. =')(αx ________ （α为有理数） =')1(x_________3. =')(x e _________ =')(xa _________(1,0≠>a a )4. =')(ln x __________ =')(log x a ________(1,0≠>a a )5. =')(sin x _________ =')(cos x _________ [练一练2]例1：求下列函数的导数（1）3x y = （2）x x y = （3） 21x y =（4）2cos 2sin 2xx y = （5）xy 1=例2：（1）求x y 1=在点)21,2(处的切线方程（2）求x y ln =在2e x =处的切线方程（3）求x y sin =在点)21,6(πA 处的切线方程（4）设曲线22)(x x f =在点0P 处的切线斜率是3，则点0P 的坐标是（5）在曲线2x y =上过哪一点的切线平行于直线54+=x y ？（6）求过点()8,2--P 所作的3x y =的切线方程___________.[记一记2]：导数运算法则：设函数)(),(x g x f 是可导函数，1. ='±))()((x g x f _________________.2. ='⋅))()((x g x f _________________. []=')(x cf _____________.3. ='))()((x g x f _________________. [练一练3]：练1. 求下列函数的导数： （1）x xy 3log 1+=； （2）2x y e =；（3）522354y x x x =-+-； （4）3cos 4sin y x x =-.练2. 求下列函数的导数：（1）32log y x x =+； （2）n xy x e =； （3）31sin x y x-=练3.（1）设曲线11x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a 的值.（2）（2013年江西）若曲线1y x α=+(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α的值.[提高篇]1.（朝阳一模）已知函数()()x a x a x x f ln 22++-=，其中R a ∈，求曲线()x f y = 在点()()2,2f 处的切线的斜率为1，求a 的值.（如改为已知切线方程）2. （2012北京）已知函数()()012>+=a ax x f ，()bx x x g +=3.若曲线()x f y =与曲线()x g y =在它们的交点()c ,1处具有公共切线，求b a ,的值.[学习小结]：1．对于简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类 简单函数的导数.2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则。