（聚焦 2008 ）第 8 讲：二次函数专题讲座 （一）二次函数的解析式的三种形式 （ 1）标准式： y=ax 2 +bx+c （ a≠0 ）；
（ 2）顶点式： y=a （ x+m ） 2 +n （ a≠0 ）；
（ 3）两根式： y=a （ x － x 1）（ x－ x 2 ）（ a ≠ 0 ）
【例 1】已知二次函数 y=f（ x）同时满足条件：（1）f（ 1+x）= f（1－ x）；
（ 2） y=f （ x）的最大值是１５； （ 3） f （ x）＝０的两根立方和等于１７。求 y＝ f （ x）的解析式。
（二）二次函数的基本性质 （ 1）二次函数 f（ x）=a x
2 +bx+c （ a ≠０）的图像是一条抛物线，对称
轴方程为 x ＝－ b ，顶点坐标是（－ b ， 4ac b2 ）。
2a 2a 4ac
当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上， 函数在 ( －∞，－ b ] 上递减，在 [ － b
， 2a 2a
＋∞ ) 上递增。 当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下， 函数在 ( －∞，－ b ] 上递增，在 [ － b
， 2a 2a
＋∞ ) 上递减。
（ 2）直线与曲线的交点问题： ①二次函数 f（ x）=ax 2 +bx+c （ a ≠０），当 ＝ b2 －４ ac＞0 时，图像 与 x 轴有两个交点Ｍ １（ x １，０）Ｍ ２（ x ２，０），于是
｜Ｍ １Ｍ ２ ｜＝｜ x１ － x２｜＝ 。 | a |
②若抛物线 y=ax 2
+bx+c （a ≠0 ）与直线
y=mx+n ，则其交点由二方
程组成的方程组的解来决定，而方程组的解由一元二次方程 ax 2 +bx+c
=mx+n ，即 px 2 +qx+r=0 的解来决定，从而将交点问题归结为判定一元二
次方程的判别式 的符号决定。
特别地，抛物线与 x 轴的交点情况由 ax 2 +bx+c=0 的解的情况决定，
于是也归结为判定一元二次方程 ax 2 +bx+c = 0 的判别式 的符号问题。 当 = b 2 － 4ac>0 时，方程 ax 2 +bx+c=0 有两个不同的实数根，即对
应的抛物线与 x 轴有两个交点，此时二次函数的图像被 x 轴截得的弦长 L=|x 2 － x 1 |= ( x2 x1 ) 2 ( x2 x1 ) 2 4x1 x
2 。
| a |
当 = b 2 － 4ac=0 时，方程 ax 2 +bx+c=0 有两个相等的实数根，即对
应的抛物线与 x 轴只有一个交点，此时抛物线与 x 轴相切。 当 = b 2 － 4ac<0 时，方程 ax 2 +bx+c=0 无实数根，即对应的抛物线
与 x 轴有无交点，此时二次函数的图像恒在 x 轴上方或者下方。 【例２】已知函数 f （ x） =ax2 +bx+c 的图像经过点（１，１） ，（３，
５）且 f（０） ＞０，求 a， b ，c 使该函数的最小值最大。 （三）二次函数闭区间上的最值问题 （１）二次函数 y=f （ x ）在闭区间上必有最值，且它只能在区间的端
点与二次函数图像的顶点处取得最值。 （２）二次函数 y=f （ x ）在闭区间上必有最值受制于对称轴与区间的
相对位置关系，为此有下列四种情形： ①对称轴和区间均是静态的；②对称轴是动态的，但区间是静态的； ③对称轴是静态的，但区间均是动态的；④对称轴和区间均是动态的。 （３）二次函数 y=f （ x ） =ax 2 +bx+c （ a>0 ）在闭区间 [m ，n] 上的最
值： ①若 x b m ，则 y=f （ x）在区间 [m ， n] 上是增函数，此时必有
2a
f （ m ）≤ f （ x）≤ f （ n）； ②若 m x
b n ，则 y=f （ x）的最小值为 [f(x)] min =f( －
b
2a )，但 2a
最大值应视对称轴与区间端点的距离而定； ③若 m x
b m n
2a ，则 y=f （ x）的最大值为 [f(x)] max =f(n) ； ④若 m n b 2 x n，则 y=f （ x）的最大值为 [f(x)]
max =f(m) ；
2 2a b n ，则 y=f （x）在区间 [m ，n] 上是减函数，此时必
（ 3）若 x
2a
有 f（ n ）≤ f （ x）≤ f （ m）。 （４）二次函数在闭区间上的最值求解步骤： ①配方； ②作图； ③截断。 注：关键是关心对称轴是否一定在所给的区间内。 【例３】已知函数 y＝－ x 2 +ax － a ＋ 1
在区间［０，１］上的最大
4 2
值是２，求实数 a 的值。 【例４】（２００３年全国高考试题）已知 a 为实数，函数 y＝ x
2
+ ｜ x
－ a｜＋１， x∈Ｒ。 （１）讨论 y＝ f （ x）的奇偶性；
（２）求 y＝f （x）的最小值。
（四）设 x １ ，x２ 是实系数一元二次方程 ax
2 +bx+c ＝０（ a＞ 0）的两个 实数根，则 x １ ， x２ 的分布范围与二次方程系数之间的关系，如下表所示：
一元二次方程根的分布 图像 充要条件 y ＞ 0 x１ ＜ x２ ＜k f（ k ） f（ k）＞ 0
x1 O x2 kx
－ b ＜k
y f （ k）
k ＜x １＜ x２ x1 O x
k 2
x
2a ＞ 0 f （ k）＞ 0
－ b
＜ k 2a
y x１ ＜ k＜ x２
x１ ， x ２∈（ k １ ，k ２） x １， x２ 有且仅有一个在 （ k １ ，k ２ ）
k x
x1 O x2
f（ k）＜ 0
y Δ≥ 0
x1 x
f （ k1）＞ 0
x2 k2 k 1O f （k 2）＞ 0
k1＜－
b ＜ k
2
f （
2a ）＜0或
y k1
）· f （ k2
f （k1 ） =0
k1
k2
x
1 ＜－
b
＜ k
1 k2
O 2a 2
f （ k2 ） =0
k1 k2
＜－
b
＜ k
2
2 2a
【点拨】 四个二次之间的关系的实质是二次函数、 一元二次不等式、 一 元二次方程和一元二次二项式之间的联系： 一元二次不等式、 一元二次方程
和一元二次二项式均可融汇在二次函数之中。 （ 1）一元二次不等式 ax 2+bx+c ＞ 0 或 ax2 +bx+c ＜ 0 与对应的二次函数
的关系：当 f （ x）=0 时，即为关于 x 的一元二次方程； （ 2）一元二次方程 [f（ x）=0] 与对应的二次函数的关系主要是一元二次方程的根的分布问题，对这类问题的思考应注意以下几个方面：
①二次函数的开口方向； ②方程的根所在区间的端点； ③对称轴； ④判 别式；⑤二次函数的图像与 x 轴的交点。 【例 5】已知集合 A={（ x，y）|x2+mx － y+2=0} 与 B={（ x，y）|x－ y+1=0 ，
0≤ x≤ 2} ，若 A ∩ B≠φ，求实数 m 的取值范围。
【例 6】若对任意实数 x， sin 2x+2kcosx － 2k－2＜ 0 恒成立，求实数 k
的取值范围。
（五）在数学应用题中， 某些量的变化通常是遵循一定规律的， 这些规律就是我们所说的函数， 建立函数模型解决应用题时， 以二次函数最为常见，同时还涉及到二次函数的最值问题。
【例 7】某商场以 100 元 / 件的价格购进一批羊毛衫，以高于进价的同一价格出售，销售有淡季和旺季之分，标价越高，购买的人数越少，我们称刚好无人购买时的最低标价为羊毛衫的最高价格，市场调查发现： （ 1）购买人数是羊毛衫标价的一次函数； （ 2）旺季的最高价格是淡季的最高价格的 3 倍；
2 （ 3）旺季时， 商场以 140 元 / 件的价格出售能获得最大利润， 试问羊毛
衫的标价应定为多少？ 【例 8】已知某企业的原有产品，每年投入 x 万元，可获得的年利润可 表示为函数： P（ x）=－ 1
（x－ 30）2+8（万元）。现开发一个回报率高科
100
技含量高的新产品，根据预测，新产品每年投入 x 万元，可以获得的利润 Q （ x） =－ 99 （100－ x）2+ 257
（ 100－x）（万元）。新产品开发从“十五” 100 5
计划的第一年开始， 用两年的时间完成。 这两年， 每年从 100 万元的生产准
备资金中，拿出 80 万元来投入新产品的开发，从第三年开始，这 100 万元
完全用于新旧两种产品的投入。 （ 1）为了解决资金缺口， 第一年初向银行贷款
1000 万元，利率为 5.5%
（不计复利） ，第五年底一次性就向银行偿还本息共多少万元； （ 2）从新产品投产的第三年开始，从 100 万元的生产准备资金中，新 旧两种产品各应投入多少万元，才能使利润最大？