（聚焦 2008 ）第 8 讲：二次函数专题讲座（一）二次函数的解析式的三种形式（1）标准式： y=ax 2 +bx+c （ a≠0 ）；（2）顶点式： y=a （ x+m ）2 +n （ a≠0 ）；（3）两根式： y=a （ x － x 1）（ x－ x 2）（ a ≠ 0 ）【例 1】已知二次函数y=f（ x）同时满足条件：（1）f（ 1+x）= f（1－ x）；（2） y=f （ x）的最大值是１５；（ 3） f （ x）＝０的两根立方和等于１７。
求 y＝ f （ x）的解析式。
（二）二次函数的基本性质（ 1）二次函数f（ x）=a x2 +bx+c （ a ≠０）的图像是一条抛物线，对称轴方程为 x ＝－b，顶点坐标是（－b，4ac b2）。
2a2a4ac当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上，函数在(－∞，－b] 上递减，在 [ －b，2a2a＋∞ ) 上递增。
当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下，函数在(－∞，－b] 上递增，在 [ －b，2a2a＋∞ ) 上递减。
（ 2）直线与曲线的交点问题：①二次函数f（ x）=ax 2 +bx+c（ a ≠０），当＝ b2－４ ac＞0时，图像与 x 轴有两个交点Ｍ１（x１，０）Ｍ２（x２，０），于是｜Ｍ１Ｍ２｜＝｜ x１－ x２｜＝。
| a |②若抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）与直线y=mx+n，则其交点由二方程组成的方程组的解来决定，而方程组的解由一元二次方程ax 2 +bx+c =mx+n ，即 px 2 +qx+r=0的解来决定，从而将交点问题归结为判定一元二次方程的判别式的符号决定。
特别地，抛物线与x 轴的交点情况由ax 2 +bx+c=0的解的情况决定，于是也归结为判定一元二次方程ax 2 +bx+c = 0的判别式的符号问题。
当 = b 2 － 4ac>0 时，方程 ax 2 +bx+c=0 有两个不同的实数根，即对应的抛物线与 x 轴有两个交点，此时二次函数的图像被x 轴截得的弦长L=|x 2 － x 1 |= ( x 2x 1 ) 2( x 2 x 1 ) 2 4x 1 x 2。
| a |当 = b 2 － 4ac=0 时，方程 ax 2 +bx+c=0有两个相等的实数根，即对 应的抛物线与 x 轴只有一个交点，此时抛物线与x 轴相切。
当 = b 2 － 4ac<0 时，方程 ax 2 +bx+c=0无实数根，即对应的抛物线与 x 轴有无交点，此时二次函数的图像恒在x 轴上方或者下方。
【例２】已知函数f （ x ） =ax 2 +bx+c 的图像经过点（１，１） ，（３，５）且 f （０） ＞０，求 a ， b ，c 使该函数的最小值最大。
（三）二次函数闭区间上的最值问题（１）二次函数 y=f （ x ）在闭区间上必有最值，且它只能在区间的端点与二次函数图像的顶点处取得最值。
（２）二次函数 y=f （ x ）在闭区间上必有最值受制于对称轴与区间的相对位置关系，为此有下列四种情形：①对称轴和区间均是静态的；②对称轴是动态的，但区间是静态的；③对称轴是静态的，但区间均是动态的；④对称轴和区间均是动态的。
（３）二次函数y=f （ x ） =ax 2 +bx+c （ a>0 ）在闭区间 [m ，n] 上的最值：①若 xb m ，则 y=f （ x ）在区间 [m ， n] 上是增函数，此时必有2af （ m ）≤ f （ x ）≤ f （ n ）；②若 mx b n ，则 y=f （ x ）的最小值为 [f(x)] min =f( －b2a )，但2a最大值应视对称轴与区间端点的距离而定；③若 m x bmn2a，则 y=f （ x ）的最大值为 [f(x)] max =f(n) ；④若mnb 2xn ，则 y=f （ x ）的最大值为 [f(x)] max =f(m) ；22abn ，则 y=f （x ）在区间 [m ，n] 上是减函数，此时必（ 3）若 x2a有 f （ n ）≤ f （ x ）≤ f （ m ）。
（４）二次函数在闭区间上的最值求解步骤： ①配方； ②作图； ③截断。
注：关键是关心对称轴是否一定在所给的区间内。
【例３】已知函数y ＝－ x 2+ax －a＋1在区间［０，１］上的最大42值是２，求实数a 的值。
【例４】（２００３年全国高考试题）已知a 为实数，函数y ＝ x 2+ ｜ x－ a ｜＋１， x ∈Ｒ。
（１）讨论 y ＝ f （ x ）的奇偶性；（２）求 y ＝f （x ）的最小值。
（四）设 x １ ，x ２ 是实系数一元二次方程ax 2 +bx+c ＝０（ a ＞ 0）的两个实数根，则 x １ ， x ２ 的分布范围与二次方程系数之间的关系，如下表所示：一元二次方程根的分布图像充要条件y＞ 0x １ ＜ x ２ ＜kf （ k ）f （ k ）＞ 0x 1 Ox 2 kx－ b ＜kyf （ k ）k ＜x １＜ x ２x 1Oxk2x2a＞ 0f （ k ）＞ 0－b＜ k 2ayx １ ＜ k ＜ x ２x １ ， x ２∈（ k １ ，k ２）x １， x ２ 有且仅有一个在（ k １ ，k ２ ）kxx 1 Ox 2f （ k ）＜ 0yΔ≥ 0x 1xf （ k 1）＞ 0x 2 k 2k 1Of （k 2）＞ 0k 1＜－ b＜ k 2f （2a ）＜0或yk 1 ）· f （k 2f （k 1 ） =0k 1 k 2x1 ＜－b ＜k1k 2O2a2f （ k 2 ） =0k 1 k 2＜－ b ＜ k 222a【点拨】 四个二次之间的关系的实质是二次函数、一元二次不等式、 一元二次方程和一元二次二项式之间的联系：一元二次不等式、 一元二次方程和一元二次二项式均可融汇在二次函数之中。
（ 1）一元二次不等式 ax 2+bx+c ＞ 0 或 ax 2 +bx+c ＜ 0 与对应的二次函数的关系：当 f （ x ）=0 时，即为关于 x 的一元二次方程；（ 2）一元二次方程 [f （ x ）=0] 与对应的二次函数的关系主要是一元二次方程的根的分布问题，对这类问题的思考应注意以下几个方面：①二次函数的开口方向； ②方程的根所在区间的端点； ③对称轴； ④判别式；⑤二次函数的图像与 x 轴的交点。
【例 5】已知集合 A={（ x ，y ）|x 2+mx － y+2=0} 与 B={（ x ，y ）|x － y+1=0 ，0≤ x ≤ 2} ，若 A ∩ B ≠φ，求实数 m 的取值范围。
【例 6】若对任意实数x ， sin 2x+2kcosx － 2k －2＜ 0 恒成立，求实数 k的取值范围。
（五）在数学应用题中， 某些量的变化通常是遵循一定规律的， 这些规律就是我们所说的函数， 建立函数模型解决应用题时， 以二次函数最为常见，同时还涉及到二次函数的最值问题。
【例 7】某商场以 100 元 / 件的价格购进一批羊毛衫，以高于进价的同一价格出售，销售有淡季和旺季之分，标价越高，购买的人数越少，我们称刚好无人购买时的最低标价为羊毛衫的最高价格，市场调查发现：（ 1）购买人数是羊毛衫标价的一次函数；（ 2）旺季的最高价格是淡季的最高价格的3 倍；2（ 3）旺季时， 商场以 140 元 / 件的价格出售能获得最大利润，试问羊毛衫的标价应定为多少？【例 8】已知某企业的原有产品，每年投入x 万元，可获得的年利润可表示为函数： P （ x ）=－1（x － 30）2+8（万元）。
现开发一个回报率高科100技含量高的新产品，根据预测，新产品每年投入x 万元，可以获得的利润 Q（ x ） =－99（100－ x ）2+257（ 100－x ）（万元）。
新产品开发从“十五”1005计划的第一年开始， 用两年的时间完成。
这两年， 每年从 100 万元的生产准备资金中，拿出80 万元来投入新产品的开发，从第三年开始，这100 万元完全用于新旧两种产品的投入。
（ 1）为了解决资金缺口， 第一年初向银行贷款1000 万元，利率为 5.5%（不计复利） ，第五年底一次性就向银行偿还本息共多少万元； （ 2）从新产品投产的第三年开始，从100 万元的生产准备资金中，新旧两种产品各应投入多少万元，才能使利润最大？（ 3）从新旧 品的五年最高 利 中拿出 70%来，能否 清 行的 款？（六）二次函数是一 非常重要的函数，它的 性和最 等特性决定了它与不等式的内在 系，二次函数与不等式的巧妙 合是高考命 的一个新 向。
【例 9】 二次函数f （ x ）=x 2 +bx+c （ b 、 c ∈ R ），不 α、β 任何数恒有f （ sin α）≥ 0， f （2+cos β）≤ 0。
（ 1）求 ： b+c=-1 ；（ 2）求 ： c ≥3；（ 3）若 f （ sin α）的最大8，求 b 、 c 的 。
【分析】（ 1）依据 意f （ sin α）≥ 0，f （ 2+cos β）≤ 0 于α、β任何 数恒成立， 不妨令sin α=1、 cos β=－ 1，b+c+1≥ 0， b+c+1≤ 0，即 b+c=－ 1。
（ 2）由 -1 ≤ cos β≤ 1 可以取 cos β =1，于是 f （ 3）=3b+c+9≤ 0⋯⋯⋯⋯ （ 1），又 b=－ 1－ c ，从而代入（ 1）得， 6≤ 2c ，即 c ≥3。
（ 3）f （sin α） =sin 2α+bsin α +c=（ sin α + b）2+c-b 2，于是由 b+c=2 4－ 1 且 c ≥3 得， b ≤－ 4，即b ≥ 2，且－ 1≤ sin α≤ 1，从而当 sin α=－ 12， f （ sin α） =8，所以 1－ b+c=8。
故 b=-4 ， c=3。
注意：本 是利用三角函数的有界性。
【例 10】已知二次函数 y= f （ x ）=ax 2 +bx+c 的 像 点（－1，0），是否存在常数 a 、b 、c ，使不等式 x ≤ f （ x ）≤x 21一切 数x 都成立？2（ 1）求 f （ 1）的 ；（ 2）求 y=f （ x ）的解析式；（ 3） n 1 ＞ 2n 。
k 1f ( k) n 2（七）二次函数的图像问题：（1 ）y=ax 2 +bx+c （ abc ≠ 0 ），尽管如此，但由于二次函数的二次项的系数 a 相等，所以二次函数图像形状，开口方向完全相同，只不过位置不同而已，从而系数 a 决定二次函数的图像形状和开口方向，且 a 的符号决定开口方向， |a|决定抛物线开口的大小，即当 a ＞0 时， a 越大，抛物线张口越小； a 越小，抛物线张口越大；当 a ＜0 时， |a|越大，抛物线张口越小；|a|越大，抛物线张口越小。