已知抛物线y=41x 2，点M (－4，t ) 为抛物线上一点，过点M 作抛物线的两条弦MD 和MC ，且MD MC ，判断直线DC 是否经过定点?并说明理由.己知抛物线y=－x2＋2a x－a2－a＋1的顶点A在直线l上.(1)求直线l的解析式.(2)如图2，当a= －1时，过原点任作一条直线与抛物线交于G、F两点.若···线上存在点D，使∠GDF= 90°，求D点坐标.如图1，已知抛物线C 1 ：y= ax 2 ＋bx ＋c 与x 轴交于A (－316，0)，B (6，0)两点，与y 轴正半轴交于点C ,且tan ∠ ABC =34. (1)求该抛物线C 1的解析式.（2）如图2，将原抛物线C 1绕着某点旋转180°，得到的新抛物线C 2的顶点为坐标原点，点F (0，1)，点Q 是y 轴负半轴上一点，过Q 点的直线PQ 与抛物线C 2在第二象限有唯一公共点P ， 过P 分别作PG ⊥PQ 交y 轴与G , PT //y 轴， 求证:∠TPG= ∠FPG .已知抛物线y=－21 x2 点P (0，1)为y 轴上一点，E 为抛物线上y 轴左侧的一个动点，从点E 发出的光线－沿EP 方向经过y 轴上反射后与此抛物线交于另一点F ，则当点E 的位置发生变化时，直线EF 是否经过某个定点?如果是，请求出此定点的坐标，如果不是，说明理由.练习6抛物线y= 21x 2 － 6与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C . 如图，直线y=－2x ＋m 交抛物线于M 、N 两点，点P 是第四象限抛物线上一点，连接MP ，NP ，NP 延长线交x 轴于点D ，若∠MPN = 2∠ADP ，点P 的坐标.例题：如图1, 抛物线y=ax 2 ＋4ax ＋43交x 轴于A 、B (A 在B 的左侧)，过A 点的直线y=kx ＋3k (k>41)交抛物线于另一点C (x 1，y 1), 交y 轴于M .(1) 直接写出A 点坐标，并求a 的值.(2) 连BC ，作BD BC 交A C 于D ，若CB=5BD ，求k 的值.(3) 设P (－1，－2)，如图2，连CP 交抛物线于另一点E (x 2，y 2)，连AE 交y 轴于N .请你探究OM·ON 的值的变化情况，若变化，求其变化范围 ；若不变，求其值.已知抛物线y=41x 2，点M (－4，t ) 为抛物线上一点，过点M 作抛物线的两条弦MD 和MC ，且MD MC ，判断直线DC 是否经过定点?并说明理由.解：将M (－4，t ) 代入y=41x 2，t =4， M (－4，4)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，过点M 作l //y 轴，过点C 作CE//x 轴，过点D 作DF l 于F ，MD CM ， ∠CMD=90°， ∠FDM ＋∠DMF=∠DMF ＋∠CME ，∠FDM=∠CME ， 又 ∠MFD=∠CEM=90°Rt △DMF ∽Rt △MEC ， ME DF =EC FM，即 1244y x =4412 x y ，点C ，D 在抛物线上， 2124144x x =4441122 x x ，整理得4(x 1＋x 2)－x 1x 2=80，设直线CD 的解析式为y=kx ＋b ，联立bkx y x y 241，整理得 x 2－4kx －4b=0，x 1＋x 2=4k ， x 1x 2=－4b ， 4×4k －(－4b )=80 ，整理得 b=20－4k ，直线CD 的解析式为y=kx ＋b=kx ＋20－4k=k (x －4)＋20直线CD 过定点(4，20)己知抛物线y=－x 2＋2a x －a 2 －a ＋ 1的顶点A 在直线l 上.(1)求直线l 的解析式.解：抛物线y=－x 2＋2ax －a 2 －a ＋1=－(x －a )2－a ＋1的顶点在A 在直线l 上，则 y=－x ＋1(2)求证:不论a 为何值，抛物线与直线l 的交点的距离恒为定值.解：联立y=－x 2＋2ax －a 2 －a ＋1， y=－x ＋1，－x 2＋2ax －a 2 －a ＋1=－x ＋1x 2－(2a ＋ 1)x －a 2 －a=0，x 1＋x 2=(2a ＋ 1)，x 1x 2=－a 2 －a ，(x 1－x 2)2=1，(y 1－y 2)2=1，抛物线与直线l 的交点的距离恒为定值1(3)如图2，当a= － 1时，过原点任作一条直线与抛物线交于G 、F 两点.若···线上存在点D ，使∠GDF= 90°，求D 点坐标.解：将a= － 1代入，得 y=－x 2－2x ＋1，设直线FG ：y=kx ，联立，122x x y kx y ， x 2＋(2＋k )x －1= 0， x F ＋x G =－2－k ，x F ·x G =－1，由图中2个三角形相似知，F D F D y y x x =DG G D x x y y ， 又y D －y F =－x D 2－2x D ＋x F 2＋2x F =(x F －x D )(x F ＋x D ＋2)，同理y D －y G =(x G －x D )(x G ＋x D ＋2)， 21 D F x x =(x G ＋x D ＋2)， (x F ＋x D ＋2)(x G ＋x D ＋2)=－1， (x F ＋x D )(x G ＋x D )＋2(x F ＋x D )＋2(x G ＋x D )=－1， x F· x G ＋x F·x D ＋x D·x G ＋·x D 2＋2(x F ＋x G ＋2x D )=－1 － 1＋x D (x F ＋x G )＋·x D 2＋2(x F ＋x G )＋4x D =－1，x D 2＋x D (－2－k )＋2(－2－k )＋4x D =－4，x D 2＋2x D －k (x D ＋2)=0， 与k 无关，x D =－2，D (－2，1)，如图1，已知抛物线C 1 ：y= ax 2 ＋bx ＋c 与x 轴交于A (－316，0)，B (6，0)两点，与y 轴正半轴交于点C ,且tan ∠ ABC =34. (1)求该抛物线C 1的解析式. 解：由 B (6，0)可得OB=6， tan ∠ ABC =OB OC =6OC =34， OC=8， 点C 的坐标为(0，8)， 点A ，B ，C 在抛物线C 1上8063603169256c c b a c b a ，a=－41，b=61，c=8， 抛物线C 1的解析式为y= －41x 2 ＋61x ＋8； (2)如图2，将原抛物线C 1绕着某点旋转180°，得到的新抛物线C 2的顶点为坐标原点，点F (0，1)，点Q 是y 轴负半轴上一点，过Q 点的直线PQ 与抛物线C 2在第二象限有唯一公共点P ， 过P 分别作PG ⊥PQ 交y 轴与G , PT //y 轴， 求证:∠TPG= ∠FPG .解： 抛物线C 1绕着某点旋转180°，得到的新抛物线C 2的顶点为坐标原点，新抛物线C 2的解析式为y= 41x 2 ，设P (m ，41tn 2 )， 直线PQ 的解析式为y=kx ＋n (k≠0 )，由点是y 轴负半轴上一点，过Q 的直线PQ 与抛物线C 2在第二象限又唯一公共点P ， 得 nkx y x y 241 ， 41x 2 －kx －n=0， △=(－k )2－4×41×(－n )=0， n=－k 2， 直线PQ 的解析式为y=kx ＋n=kx －k 2， P (2k ，k 2)，Q (0 ，－k 2 )设直线PG 的解析式为y=41x ＋p ，将P 点的坐标代入可得p=k 2－2，则G (0 ，k 2－2)， GF=k 2－1，FQ=k 2－1， GF=FQ ，即点F 是Rt △GPQ 斜边上中点， FP=FG ，∠FPG=∠FGP ，又 PT//y 轴， ∠TPG=∠FGP ， ∠TPG=∠FPG .已知抛物线y=－21 x2 点P (0，－1)为y 轴上一点，E 为抛物线上y 轴左侧的一个动点，从点E 发出的光线沿EP 方向经过y 轴上反射后与此抛物线交于另一点F ，则当点E 的位置发生变化时，直线EF 是否经过某个定点?如果是，请求出此定点的坐标，如果不是，说明理由.解：设E (a ，－21 a 2 )，F (b ，－21b 2 ) 分别过E 、F 作y 轴EM y 轴、FM y 轴∠EPM=NPF ，∠EMP=NFP=90° ,△EPM ∽△NPF ,22110a a =b b 01212 又 设直线EF 为 y=kx+n ，将E (a ，－21 a 2 )，F (b ，－21b 2 )代入，求直线方程 化简，当x=0 ，y=1 所以直线EF 经过(0，1)练习6抛物线y= 21x 2 － 6与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C . 如图，直线y=－2x ＋m 交抛物线于M 、N 两点，点P 是第四象限抛物线上一点，连接MP ，NP ，NP 延长线交x 轴于点D ，若∠MPN = 2∠ADP ，点P 的坐标.解： ∠MPN = 2∠ADP ， ∠PED = ∠PDE ，过点P 作PQ//x 轴 ，过点M 作MF PQ 于F ，过点N 作NG PQ 于G ，∠MPF = ∠PED ，∠NPF = ∠PDE ， ∠MPF = ∠NPG△MPF ∽ △NPG ，NG MF =PG PF ，即N P P M y y y y =N P M P x x x x ， 又 y M －y P =21x M 2－ 6－ (21x P 2－ 6)=21(x M ＋x P )(x M －x P )， y P －y N =21(x P ＋x N )(x P －x N )， N P P M y y y y =))((21))((21N P N P P M P M x x x x x x x x =N P M P x x x x ，化简得x M ＋x N =－ 2x P 联立：y= 21x 2 － 6，y=－2x ＋m ，得 21x 2 ＋2x －m － 6=0， x M ＋x N =－ 4， － 2x P =－ 4，x P =2， P (2，－ 4).例题：如图1, 抛物线y=ax 2 ＋4ax ＋43交x 轴于A 、B (A 在B 的左侧)，过A 点的直线y=kx ＋3k (k>41)交抛物线于另一点C (x 1，y 1), 交y 轴于M .(1) 直接写出A 点坐标，并求a 的值.(2) 连BC ，作BD BC 交A C 于D ，若CB=5BD ，求k 的值.(3) 设P (－1，－2)，如图2，连CP 交抛物线于另一点E (x 2，y 2)，连AE 交y 轴于N .请你探究OM·ON 的值的变化情况，若变化，求其变化范围 ；若不变，求其值.解：(1) 直线y=kx ＋3k (k>41)过点A ， y=0， 0=kx ＋3k ，解得 x=－3， A (－3，0)， 把点A 的坐标代入y=ax 2 ＋4ax ＋43，解得：a=41； (2) 联立直线和抛物线解析式的：434132x x y k kx y ，解得C (4k －1，4k 2＋2k )， 如图1，作DF x 轴于F ，CG x 轴于G ，则△BDF ∽△CBG ， CB=5BD ，BG=5DF ，设BF=m ，则CG=5m ，DF=2k －km ，BG=5(2k －km )，kk m km k k 2455101142，解得，k 1=－23，k 1=1 (3 )直线PC 解析式为y=ax ＋a －2 ，与抛物线y=ax 2 ＋4ax ＋43联立消去y 得： x 2 －4(a －1)x ＋11－4a=0， x 1＋x 2=4(a －1)=4a －14，x 1x 2=11－4a ， OA OM ·OA ON =A x x y 11·A x x y 22=)3)(3()3)(1(41)3)(1(41212211 x x x x x x =161(x 1＋1)(x 2＋1) =161(11－4a ＋4a －4＋1)=21 OM·ON=21OA 2=29。