2
2
=
20.88 MPa
τθ
=
11.56 − 91.25 sin(2× 20°) 2
=
−25.6 MPa
10－7 承受内压的铝合金制的圆筒形薄壁容器平均直径 D＝515.6 mm、壁厚 δ＝7.6 mm。已知内压 p = 3.5MPa，材料的 E = 75 GPa，ν = 0.33。试求圆筒的半径改变量。
=
50.97 MPa
τθ
=
45.63 − 91.25 sin(2 × 20°) 2
=
−14.66 MPa
*3．同时承受轴向载荷和内压（图 a、图 b 叠加）：
σ x = 45.63 − 34.07 = 11.56 MPa
σ y = 91.25 MPa
σθ
= 11.56 + 91.25 + 11.56 − 91.25 cos(2 × 20°)
σy
σx τ xy
习题 10－9 图
解：
1．
σ = σ x +σ y 2
±
σ (
x
−σ 2
y
)2
+τ
2 xy
= 40 ± 60
σ 1 = 100 MPa， σ 2 = 0， σ 3 = −20 MPa
σ r3 = σ 1 −σ 3 = 120 MPa
σ r4 =
1 (1002 + 202 +1202 ) = 111.4 MPa 2
σy
解：
σx
σσzz
τ xxyy
习题 10－8 图
1． σ r3 = σ 1 − σ 3 = 135MPa < [σ ] 强度满足。 2． σ r1 = σ 1 = 30MPa = [σ ] 强度满足。
10－9 对于图示平面应力状态，各应力分量的可能组合有以下几种情形，试按第三强
8
度理论和第四强度理论分别计算此几种情形下的计算应力。 1． σ x = 40MPa， σ y = 40 MPa， τ xy = 60 MPa； 2． σ x = 60MPa， σ y = −80 MPa， τ xy = −40 MPa； 3． σ x = −40 MPa， σ y = 50 MPa， τ xy = 0； 4． σ x = 0， σ y = 0， τ xy = 45 MPa。
75 ×103
10－8 构件中危险点的应力状态如图所示。试选择合适的强度理论，对以下两种情形 作强度校核：
1．构件为钢制 σ x = 45MPa， σ y = 135MPa， σ z = 0，τ xy = 0，许用应力 [σ ] = 160MPa。 2．构件材料为灰铸铁 σ x = 20MPa， σ y = -25MPa， σ z = 30MPa，τ xy = 0，[σ ] = 30MPa。
（2）
由（1）、（2）知，显然不存在。
2．当 r＜OC
1 2
(240
−140) 2
+
4τ
2 xy
>
240 +140 2
即 | τ xy | ＜183.3MPa 时
⎪⎧σ ⎨
1
=
240
+ 140 2
+
1 2
⎪⎩σ 3 = 0
(240
−140) 2
+
4τ
2 xy
τ max
= σ1 −σ3 2
=
380 + 1 44
7
习题 10－7 图
解：
σm
=
3.5× (254× 2 + 4× 7.6
7.6)
=
59.36
MPa
σt
=
3.5× (254× 2 + 7.6) 2× 7.6
= 118.72
MPa
εt
=
2π(r
+ Δr) − 2πr 2πr
=
Δr r
Δr
=
εt
⋅r
=
1 E
[σ t
−νσ m ]⋅ r
= 1 (118.72 − 0.33× 59.36) × 254 = 0.336mm
(b)
习题 10－1 图
1.6 MPa
1.6 MPa
15º 4 MPa
4 MPa
x
-15º
τ x′y′ σx′
x′
(a)
(a1)
习题 10－1a 解图
1．平行于木纹方向的剪应力：
τ
x′y′
=
−4 − (−1.6) 2
sin(2 × (−15°)) +
0 ⋅ cos(2× (−15°))
=
0.6
MPa
2 xy
> 240 +140 2
5
140 MPaτ xyFra bibliotek240 MPa
习题 10－5 图
即 | τ xy |> 183.3MPa 时
（1）
⎧σ ⎩⎨σ
1 3
=
240
+ 140 2
±
1 2
(240
− 140) 2
+
4τ
2 xy
τ max
= σ1 −σ3 2
=
1 2
100 2
+
4τ
2 xy
< 160
解得 | τ xy | <152MPa
MPa
τ xy = −τ yx = −57.7 Mpa
10－4 构件微元表面 AC 上作用有数值为 14MPa 的压应力，其余受力如图所示。试求 σ x 和 τ xy 。
A
τ xy
σx
14 MPa
1.0 0.7
B
C
92 MPa
解：
习题 10－4 图
cos 2α = 2cos2 α −1
= 2⎜⎜⎝⎛
= −30.09 MPa
τθ
=
−34.07 2
sin(2× 20°)
=
−10.95 MPa
2．只承受内压（图 b）：
σx
=
pD 4δ
=
5× (300 − 8) 4×8
= 45.63 MPa
σy
=
pD 2δ
=
5× (300 − 8) 2×8
= 91.25 MPa
σθ
=
45.63 + 91.25 2
+
45.63 − 91.25 cos(2 × 20°) 2
C
C
C
D
FC
D
D
y
T
zy
zy
z
计算简图
弯矩图
扭矩图
习题 10－10 图
T = FPr
FP
=T r
= 5000 N
受力图（a）
FAy
=
FCy
=
1 2
FP
= 2500
N
危险面 B：
Mx = 500N·m
M z = FCy × 0.15 = 375 N·m
不计剪力影响
σ r3 =
M
2 z
+
M
2 x
≤ [σ ]
A
σx
τ xy
B
60º C
100 MPa 习题4 10－3 图
解：
−100 = σ x −100 + 0 − (σ x −100) ⋅ cos(2× 60°)
2
2
0.75σ x = −25 ∴ σ x = −33.3 MPa
τ yx
=
0 − [−33.3 −100] sin(2 × 60°) = 57.7 2
6
x x′
x x′
σx σx′ 20º
σx σx′ 20º
τ x′y′
σy
σy
σx
σx
(a)
(b)
习题 10－6 图
解： 1． 只承受轴向载荷（图 a）：
σx
= FP πDδ
= 250×103 π× (300 − 8)×8
= 34.07 MPa（压）
σθ
=
−34.07 2
+
−34.07 cos(2× 20°) 2
范钦珊教育教学工作室
FAN Qin-Shan ,s Education & Teaching Studio
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工程力学习题详细解答
教师用书
(第 10 章)
2011-10-1
1
习题 10－1 习题 10－2 习题 10－3 习题 10－4 习题 10－5 习题 10－6 习题 10－7 习题 10－8 习题 10－9 习题 10－10 习题 10－11 习题 10－12
(a)
A
C
D
B
x
400 500
FP1
z
100
300
200
y
FP1
(b) z
Me
A
C
B
x
Me
FP2
y
100
300
D 200
Mz(kN·m) 0.61
(c)
O
z y
(d)
O
My(kN·m)
0.195
0.244
x
0.78 x
Mx(kN·m)
1.463
(e)
O
x
z
习题 10－11 图
解：轴的受力与内力（忽略剪力）图如图b所示。其中
Me
=
7.02
N n
= 7.02 2.5 12
= 1.463kN ⋅ m
FP1
=