2015-2016学年第一学期立体几何测试高二理科数学参考公式：圆柱的表面积公式：rl r S ππ222+=，圆锥的表面积公式：rl r S ππ+=2台体的体积公式h S S S S V )(31''++=，球的表面积公式：24r S π= 圆台的表面积公式Rl rl R r S π+π+π+π=22，球的体积公式：334r V π=一、选择题（每小题5分，共60分） 1．下列四个几何体中，是棱台的为( )2．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是( )3．给出下列命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行； ②若直线a ，b ，c 满足a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若直线l 1，l 2是异面直线，则与l 1，l 2都相交的两条直线是异面直线． 其中假命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为( ) A ．96 B ．136 C ．152 D ．1925．若棱长为1的正方体的各棱都与一球面相切，则该球的体积为( ) A .3π2 B .2π3 C .2π12 D .π66．对于直线m ，n 和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( ) A ．m ⊥n ，m ∥α，n ∥β B ．m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂αC ．m ∥n ，n ⊥β，m ⊂αD ．m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A ．10π＋96 B ．9π＋96 C ．8π＋96 D ．9π＋808．m,n 是空间两条不同直线,α,β是空间两个不同平面,下面有四种说法: 其中正确说法的个数为 ( )①m ⊥α,n ∥β,α∥β⇒m ⊥n; ②m ⊥n,α∥β,m ⊥α⇒n ∥β; ③m ⊥n,α∥β,m ∥α⇒n ⊥β; ④m ⊥α,m ∥n,α∥β⇒n ⊥β. A.1 B.2 C.3 D.49、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）3560.A3580.B 200.C 240.D10．如图,网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A.1727B.59C.1027D.1311．如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )A .B .C .6D .412.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =,则此棱锥的体积为（ ）A.63 D.2二、填空题（每小题5分，共20分）13．某一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．14.正四棱台的上底为边长为2的正方形，下底为边长为4的正方形，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长为3，则此四棱台的体积为，15. 己知棱长为2，各面均为等边三角形的四面体S-ABC的四个顶点都在一个球面上，则该四面体的表面积为__________,该球的体积为___________AH HB=,AB⊥平面α,H为垂足,α截16．已知H是球O的直径AB上一点,:1:2球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为______。
三、解答题(17题10分，其余各题12分，共70分)17．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．求： (1)该几何体的体积V ；(2)该几何体的侧面积S ．18、如图3，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．（1）求证：BC ⊥平面PAC（2）若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ．19．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA 的中点。
（1）求证：1//AC 平面BDE 。
（2）求直线1AC 与平面D D AA 11所成角余弦值。
20．如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，045=∠ABC ,OA ABCD ⊥底面,2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC （1）证明：直线MN OCD平面‖；（2）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；21. 如图，正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且3AE =，6AB =．（1）求证：AB ⊥平面ADE ； （2）求凸多面体ABCDE 的体积．22．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO =OB =．（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证：C A ⊥平面DP O ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值； （Ⅲ）若BC =E 在线段PB 上， 求CE OE +的最小值．ABCD E参考答案1-5:CCBCB 2-10:CCBCC 11-12:CA10．..2710π54π34-π54π.342π944.2342π.546π96321C v v 故选积之比削掉部分的体积与原体体积，高为径为，右半部为大圆柱，半，高为小圆柱，半径加工后的零件，左半部体积，，高加工前的零件半径为==∴=∙+∙=∴=∙=∴π11.12. 【解析】ABC ∆的外接圆的半径r =点O 到面ABC 的距离d ==. SC 为球O 的直径⇒点S 到面ABC的距离为2d =此棱锥的体积为11233ABC V S d ∆=⨯==另:1236ABC V S R ∆<⨯=排除,,B C D 13. 8－2π314.732815. 34 ,π6 16.17．由已知该几何体是一个四棱锥P －ABCD ，如图所示． 由已知，AB ＝8，BC ＝6，高h ＝4，由俯视图知底面ABCD 是矩形，连接AC 、BD 交于点O ，连接PO ，则PO ＝4，即为棱锥的高．作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥BC 于N ，连接PM 、PN ，则PM ⊥AB ，PN ⊥BC ． ∴PM ＝PO 2＋OM 2＝42＋32＝5， PN ＝PO 2＋ON 2＝42＋42＝42．(1)V ＝13Sh ＝13×(8×6)×4＝64．(2)S 侧＝2S △P AB ＋2S △PBC ＝AB ·PM ＋BC ·PN ＝8×5＋6×42＝40＋242．18、证：(1)∵PA ⊥平面ABC ．BC ⊂平面ABC∴BC ⊥PA∵AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点 ∴ＢＣ⊥ＡＣ又PA ⋂ＡＣ＝Ａ,ＰＡ⊂平面PAC,ＡＣ⊂平面PAC∴BC ⊥平面PAC(2) 由（1）知BC ⊥平面PAC ,又AE ⊂平面PAC∴AE ⊥ BC 又∵AE ⊥PCBC ⋂PC=C,BC ⊂平面PBC ．PC ⊂平面PBC ．∴平面AEF ⊥平面PBC ． 19.证：(1)连接AC 交BD 于O,连接EO ∵AC 与BC 是正方形ABCD 的对角线 ∴点O 的AC 的中点,又E 的1AA 的中点， ∴OE //C A 1又OE ⊂平面BDE ,C A 1⊄平面BDE∴1//AC 平面BDE 。
(2)连接D A 1∵CD ⊥平面11A ADD ,∴D A 1是C A 1在平面11A ADD 的射影∴D CA 1∠是直线D A 1与平面11A ADD 所成的角，设正方体1111ABCD A BC D -的边长为a在直角三角形D CA 1中，D A 1=a 2 ,C A 1=a 3,cos D CA 1∠=C A D A 11=3632=aa .. 20． (1)取OD 中点E ，连接ME ，CE 。
因为M 为OA 中点，所以ME 是三角形OAD 的中位线所以ADME21//=因为底面ABCD 是菱形，N 为BC 中点，所以ADBN21//=所以MEBN =//所以四边形MNCE 是平行四边形所以MN//CE又因为OCD MN 面⊄，OCD CE 面⊂所以OCD MN 面//。
(2)连接MC ，AC 因为AB//CD 所以CDM ∠为所求角或其补角。
在三角形ABC 中，2222*2112-=-+=AC ， 232-=MC ，22=MD ，12=CD ，所以211*2*22312cos =+-+=∠CDM ， 所以060=∠CDM ,所以所求角为06021. 证明：（1）∵AE ⊥平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，∴AE ⊥CD ．在正方形ABCD 中，CD AD ⊥，∵ADAE A =，∴CD ⊥平面ADE ．∵AB CD ，∴AB ⊥平面ADE ．（2）解法1：在Rt △ADE 中，3AE =，6AD =，∴DE ==过点E 作EF AD ⊥于点F ，∵AB ⊥平面ADE ，EF ⊂平面ADE ， ∴EF AB ⊥． ∵AD AB A =，∴EF ⊥平面ABCD ． ∵AD EF AE DE ⋅=⋅，∴362AE DE EF AD ⋅⨯===又正方形ABCD 的面积36ABCD S =， ∴13ABCDE E ABCD ABCD V V S EF -==⋅1363=⨯= 故所求凸多面体ABCDE的体积为解法2：在Rt △ADE 中，3AE =，6AD =，∴DE ==连接BD ，则凸多面体ABCDE 分割为三棱锥B CDE -和三棱锥B ADE -． 由（1）知，CD ⊥DE．∴11622CDE S CD DE ∆=⨯⨯=⨯⨯= 又AB CD ，AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，∴AB平面CDE ．∴点B 到平面CDE 的距离为AE 的长度． ∴11333B CDECDE V S AE -∆=⋅=⨯= ∵AB ⊥平面ADE ，∴11633B ADE ADE V S AB -∆=⋅==． ∴ABCDE B CDE B ADE V V V --=+== 故所求凸多面体ABCDE 的体积为 22．（15年福建文科）A BCDEFABC DE分析：（Ⅰ）要证明C A ⊥平面D P O ，只需证明AC 垂直于面D P O 内的两条相交直线．首先由PO 垂直于圆O 所在的平面，可证明C PO ⊥A ；又C OA =O ，D 为C A 的中点，可证明C D A ⊥O ，进而证明结论；（Ⅱ）三棱锥P ABC -中，高1PO =，要使得P ABC -体积最大，则底面ABC 面积最大，又2AB =是定值，故当AB 边上的高最大，此时高为半径，进而求三棱锥P ABC -体积；（Ⅲ）将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C 'B P ，使之与平面ABP 共面，此时线段'OC 的长度即为CE OE +的最小值．证明：（I ）在C ∆AO 中，因为C OA =O ，D 为C A 的中点，所以C D A ⊥O ．又PO 垂直于圆O 所在的平面，且ABC AC 面⊂，所以C PO ⊥A ．因为D O PO =O ，PDO DO ，O，面⊂所以C A ⊥平面D P O ．（II ）因为点C 在圆O 上，所以当C O ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1．又2AB =，所以C ∆AB 面积的最大值为12112⨯⨯=． 又因为三棱锥C P -AB 的高1PO =，故三棱锥C P -AB 体积的最大值为111133⨯⨯=．（III ）在∆POB 中，1PO =OB =，90∠POB =，所以PB ==同理C P =C C PB =P =B ．在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C 'B P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C '共线时，C E +OE 取得最小值．又因为OP =OB ，C C ''P =B ，所以C 'O 垂直平分PB ，即E 为PB 中点．从而C C 222''O =OE +E =+=亦即C E +OE 的最小值为2． 解法二：（I ）、（II ）同解法一．（III ）在∆POB 中，1PO =OB =，90∠POB =，所以45∠OPB =，PB =C P =所以C C PB =P =B ，所以C 60∠PB =．在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C 'B P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C '共线时，C E +OE 取得最小值．所以在C '∆O P 中，由余弦定理得： ()2C 1221cos 4560'O =+-⨯+1122=+-⎭2=从而C 2'O ==．所以C E +OE。