由函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，
则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，
即－＋2x＋≤0在[1,2]上恒成立，
即aห้องสมุดไป่ตู้－x2在[1,2]上恒成立．
令h(x)＝－x2，
在[1,2]上h′(x)＝－－2x＝－＜0，
所以h(x)在[1,2]上为减函数，h(x)min＝h(2)＝－.
所以a≤－.
10．(2014·北京西城区一模)已知函数f(x)＝lnx－，其中a∈R.
解析f′(x)＝x2－4x，由f′(x)>0，得x>4或x<0.
∴f(x)在(0,4)上递减，在(4，＋∞)上递增，∴当x∈[0，＋∞)时，f(x)min＝f(4)．∴要使f(x)＋5≥0恒成立，只需f(4)＋5≥0恒成立即可，代入解之得m≥.
答案A
4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x＋1有两个极值点，则实数a的取值范围是()．
A．(，＋∞)B．(－∞，－)
C．(－，)D．(－∞，－)∪(，＋∞)
解析f′(x)＝x2＋2ax＋3.
由题意知方程f′(x)＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4a2－12＞0，
解得：a＞或a＜－.
答案D
二、填空题
5．已知函数f(x)＝x2＋mx＋lnx是单调递增函数，则m的取值范围是________．
(2)由f(x)＞－x＋2，得lnx－＞－x＋2，
即a＜xlnx＋x2－2x.
设函数g(x)＝xlnx＋x2－2x，
则g′(x)＝lnx＋2x－1.
因为x∈(1，＋∞)，
所以lnx＞0,2x－1＞0，
所以当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝lnx＋2x－1＞0，
故函数g(x)在x∈(1，＋∞)上单调递增，
所以当x∈(1，＋∞)时，g(x)＞g(1)＝－1.
因为对于任意x∈(1，＋∞)，都有f(x)＞－x＋2成立，
即对于任意x∈(1，＋∞)，都有a＜g(x)成立，
所以a≤－1.
11．(2014·山西临汾四校联考)已知函数f(x)＝.
解析f′(x)＝3x2－6(m＋1)x＋12m＝3(x－2)(x－2m)．由于f(x)在[0,3]上无极值点，则2m＝2，所以m＝1.
答案1
8．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝x2－2ax＋4，若任意x1∈[0,1]，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是______．
第4讲 利用导数求参数的取值范围
一、选择题
1．已知函数f(x)＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是
()．
A．[－1,1]B．[－1，＋∞)
C．[1，＋∞)D．(－∞，1]
解析f′(x)＝mx＋－2≥0对一切x＞0恒成立，
∴m≥－2＋.
令g(x)＝－2＋，则当＝1，即x＝1时，函数g(x)取最大值1.故m≥1.
当x∈(－∞，－)和(，＋∞)时，f(x)单调递增；
当x∈(－，)时，f(x)单调递减．
所以当＜1，即0＜a＜1时，f(x)在(0,1)内有最小值．
答案D
3．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3m，x∈[0，＋∞)，若f(x)＋5≥0恒成立，则实数m的取值范围是()．
A.B．
C．(－∞，2]D．(－∞，2)
答案
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x2＋2alnx.
(1)若函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线斜率为1，为求实数a的值；
(2)若函数g(x)＝＋f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围．
解(1)f′(x)＝2x＋＝.
由已知f′(2)＝1，解得a＝－3.
(2)由g(x)＝＋x2＋2alnx，得g′(x)＝－＋2x＋.
解析依题意知，x＞0，f′(x)＝.
令g(x)＝2x2＋mx＋1，x∈(0，＋∞)，
当－≤0时，g(0)＝1＞0恒成立，∴m≥0成立；
当－＞0时，则Δ＝m2－8≤0，∴－2≤m＜0.
综上，m的取值范围是m≥－2.
答案[－2，＋∞)
6．若函数f(x)＝－x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是______．
答案C
2．(2014·广州调研)函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是
()．
A．[0,1)B．(－1,1)
C.D．(0,1)
解析f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．
当a≤0时，f′(x)＞0，
∴f(x)在(0,1)内单调递增，无最小值．
当a＞0时，f′(x)＝3(x－)(x＋)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)如果对于任意x∈(1，＋∞)，都有f(x)＞－x＋2，求a的取值范围．
解(1)由f(x)＝lnx－，得f′(x)＝＋，
所以f′(1)＝3.又因为f(1)＝－2，
所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－5＝0.
解析对f(x)求导，得f′(x)＝－x＋4－＝＝－.由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，所以t<1<t＋1或t<3<t＋1，解得0<t<1或2<t<3.
答案(0,1)∪(2,3)
7．(2014·浙江考试院抽测)已知m∈R，若函数f(x)＝x3－3(m＋1)x2＋12mx＋1在[0,3]上无极值点，则m的值为________．
解析由于f′(x)＝1＋>0，因此函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以x∈[0,1]时，f(x)min＝f(0)＝－1.根据题意可知存在x∈[1,2]，使得g(x)＝x2－2ax＋4≤－1，即x2－2ax＋5≤0，即a≥＋能成立，令h(x)＝＋，则要使a≥h(x)在x∈[1,2]能成立，只需使a≥h(x)min，又函数h(x)＝＋在x∈[1,2]上单调递减(可利用导数判断)，所以h(x)min＝h(2)＝，故只需a≥.