平面向量的数量积导学案河北孟村回民中学高一数学导学纲编号班级姓名年级高一作者温静时间课题 2.4平面向量的数量积课型新授【课程标准】1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.了解并掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；【重点】重点是数量积的定义、几何意义及运算律，. 【难点】难点是夹角公式和求模公式的应用.【导学流程】一、了解感知：（一）知识链接：1、向量加法和减法运算的法则_________________________________.2、向量数乘运算的定义是 .3、两个非零向量夹角的概念：_________________________________.思考：通过前面的学习我们知道向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘”呢？（二）自主探究：（预习教材P103-P106）探究1：如下图，如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W= ，其中θ是 .请完成下列填空：F（力）是量；S（位移）是量；θ是；W（功）是量；结论：功是一个标量，功是力与位移两个向量的大小及其夹角余弦的乘积启示：能否把“功”看成是力与位移这两个向量的一种运算的结果呢？新知1向量的数量积（或内积）的定义已知两个非零向量a和b，我们把数量cosa bθ叫做a和b的数量积（或内积），记作a b⋅，即注：①记法“a·b”中间的“·”不可以省略，也不可以用“⨯”代替。

②“规定”：零向量与任何向量的数量积为零，即a⋅=。

00探究2：向量的数量积运算与向量数乘运算的结果有什么不同？影响数量积大小因素有哪些？小组讨论，完成下表：θ的范围0°≤θ<90°θ=90°0°<θ≤180°a·b的符号新知2：向量的数量积（或内积）几何意义（1）向量投影的概念：如图，我们把cosaθ叫做向量a在b方向上的投影；cosbθ叫做向量b在a方向上的投影.说明：如图，1cosOB bθ=. 向量投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为_______值；当θ为钝角时投影为_______值；当当θ = 0︒时投影为 ________；当θ＝９０︒时投影为__________；当θ = 180︒时投影为__________.（2）向量的数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度︱a︱与b在a的方向上的投影的乘积。

新知3：由定义得到的数量积的结论设a 和b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则(1)当a 与b 垂直时，90θ=，即a b a b ⊥⇔⋅= ；（向量垂直的条件）(2)当a 与b 同向时，0θ=，a b ⋅= ；当a 与b 反向时，180θ=，a b ⋅= ；特别的当a b =，即a a ⋅= ，则a = ；（向量的求模公式） (3)cos ||||a ba b θ⋅=（向量的夹角公式）(4）因为cos 1θ≤，所以a b ⋅ a b.二、深入学习1.已知5a =，4b =，a 和b 的夹角为120，则a b ⋅=__________2.（2010江西） 已知向量a ，b 满足||2b =，a 与b 的夹角为60︒，则b 在a 上的投影是 ；3.设12a =，9b =，542a b ⋅=-，则a 与b 的夹角θ为（ ）A.45B.135C.60D.120三、迁移运用1.已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则.____________.AE BD =变式练习（1）、在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为P ，3AP =，则.AP AC = .（2）、已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅的值为_______.四、达标检测1.在平行四边形ABCD 中，4AB =，2BC =，120BAD ∠=，则AB AD ⋅为（ ）A.4B.-4C.8D.-82. 已知ABC ∆，AB a =，AC b =，当0a b ⋅=时，ABC ∆为（ ） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形3.若四边形ABCD 满足0AB CD +=，且0AB BC ⋅=，则四边形ABCD 是（ ）.A.平行四边形B. 矩形C.菱形D.正方形4. 已知3a =，5b =，且12a b ⋅=，则向量a 在向量b 的方向上的投影为 .★5判断下列命题的真假，并说明理由. （1）、ABC ∆为直角三角形，则0AB BC ⋅=.（2）、ABC ∆中，若0<•→→AC AB ，则ABC ∆是钝角三角形；若0<•→→BC AB ，结论还成立吗？ （3）、ABC∆中，若0>•→→AC AB ，则ABC ∆是锐角三角形；★7.已知4,3,(23).(2)61,|2|.a b a b a b a b a b θ==-+=-求与的夹角并求★★8．（2013全国新课标）已知两个单位向量,a b 的夹角为060，(1)..0,______.c ta t b b c t =+-==若则河北孟村回民中学高一数学导学纲编号班级姓名年级高一作者温静时间课题 2.4平面向量的数量积课型新授【课程标准】1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.了解并掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；【重点】重点是数量积的定义、几何意义及运算律，. 【难点】难点是夹角公式和求模公式的应用.【导学流程】一、了解感知：（一）知识链接：1向量的数量积（或内积）的定义2.向量a在b方向上的投影；3：向量的数量积（或内积）几何意义（二）自主探究：新知4：数量积的运算律 (1)a b ⋅=________;(2)a b λ⋅=（）___________=____________;(3) +a b c =（）._______________. 二、深入学习变式练习：1、2222222222)).()(2(;.2)1,,))((,2)(,1ba b a b a b b a a b a b a b a b a b a b ab a b a R b a -=-+++=+-=-+++=+∈）（（？是否有下面相似的结论对任意向量，恒有：我们知道，对任意的例).b 3(b 260b ,4,6→→→→→→→→-•+==a a a b a ），求（的夹角为与若已知下题用上面得到的结论求解.|||,|60b ,4,62b a b a a b a -+==→→→→，求的夹角为与若、已知例 .|||,|,3b .,5,2b a b a a b a -+-===→→→→求若已知2、变式练习：（2011新课标）已知,a b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a b +与向量ka b -垂直，则k =___________.三、迁移运用1、在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为P ，3AP =，则.AP AC = .2、已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB⋅的值为_______.四、达标检测1.在平行四边形ABCD 中，4AB =，2BC =，120BAD ∠=，则AB AD ⋅为（ ）A.4B.-4C.8D.-82. 已知ABC ∆，AB a =，AC b =，当0a b ⋅=时，ABC ∆为（ ） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形.,13||,3,4θ的夹角与求若已知b a b a b a =+==→→?b -b k b 3互相垂直与为何值时，向量不共线，与、若例→→→→→→+k a a k a3.若四边形ABCD 满足0AB CD +=，且0AB BC ⋅=，则四边形ABCD 是（ ）.A.平行四边形B. 矩形C.菱形D.正方形4. 已知3a =，5b =，且12a b ⋅=，则向量a 在向量b 的方向上的投影为 .★5判断下列命题的真假，并说明理由. （1）、ABC ∆为直角三角形，则0AB BC ⋅=.（2）、ABC ∆中，若0<•→→AC AB ，则ABC ∆是钝角三角形；若0<•→→BC AB ，结论还成立吗？ （3）、ABC∆中，若0>•→→AC AB ，则ABC ∆是锐角三角形；★7.已知4,3,(23).(2)61,|2|.a b a b a b a b a b θ==-+=-求与的夹角并求★★8．（2013全国新课标）已知两个单位向量,a b 的夹角为060，(1)..0,______.c ta t b b c t =+-==若则河北孟村回民中学高一数学导学纲 编号班级 姓名年级 高一作者温静时间 课题2.4平面向量的数量积课型新授【课程标准】1. 熟练掌握向量垂直的两种形式的等价条件； 2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性.【重点】1. 掌握平面向量数量积的坐标表示方法及其变式（夹角公式）；2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性.【难点】1. 掌握平面向量数量积的坐标表示方法及其变式（夹角公式）；2、熟练掌握向量垂直的两种形式的等价条件；【导学流程】一、了解感知：（一）知识链接：1、向量数量积的运算律：⑴向量数量积的交换律：.⑵()a bλ⋅＝＝.⑶向量的数量积的分配律：()+⋅=.a b c⑷()2+＝.a b()()+⋅-=.a b a b（二）自主探究：探究1：平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量()()1122,,,a x y b x y ==，怎样用a 与b 的坐标表示a b⋅呢？思考1：设i 、j 是分别与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若两个非零向量a ＝(11,y x ),b ＝(22,y x )，则向量a 与b 用i 、j 分别如何表示？思考2：对于上述向量i 、j ，则i 2 = ，j 2= ，i ·j = 根据数量积的运算性质，a b ⋅ =新知1：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即1212a b x xy y ⋅=+.探究1：由平面向量数量积的坐标表示可以得到哪些结论呢？思考1：设向量a ＝(y x ,)，利用数量积的坐标表示，︱a︱=思考2：如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(11,y x ), (22,y x )，那么向量a 的坐标如何表示？︱a ︱=思考3：设向量a＝(11,y x ), b＝(22,y x )，若a⊥b，则11,y x ，22,yx 之间的关系如何？ 反之成立吗？思考4：设a、b是两个非零向量，其夹角为θ，若a＝(11,y x ),b＝(22,y x )，那么cos θ如何用坐标表示？新知2： ⑴若(),a x y =，则222ax y =+，或22a x y =+⑵若()11,A x y ，()22,B x y ，则2121(,)AB xx y y =--，则()()222121AB x x y y =-+-⑶若()()1122,,,a x y b x y ==，则12120a b x xy y ⊥⇔+=.⑷两个非零向量()()1122,,,a x y b x y ==θ是a 与b 的夹角， 则121222221122cos x a b a bx y x yθ⋅==+⋅+二、深入学习 例1、（1）已知()()3,4,5,2a b =-=，求,a b ，a b ⋅及,a b 之间夹角θ余弦值.（2）已知()()()2,3,2,4,1,2a b c ==-=--，求a b ⋅，()()a b a b +⋅-，()a b c ⋅+，2()a b + 变式：在△ABC 中，AB =(1, 1)，AC =(2, k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值。