6．2.4 向量的数量积 导学案及课时讲义第1课时 向量数量积的定义及性质知识点一 向量夹角的概念1.已知|a |＝|b |＝3，且a 与b 的夹角为80°，则a ＋b 与a －b 的夹角是________．2．在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，|AB →|＝3，|CB →|＝1，则AC →与CB →的夹角θ＝________.知识点二 平面向量数量积的定义3.若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，则a ·b 等于( ) A.12 B.32 C ．1＋32D ．2 4．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上两点，且AB ＝5，则AC →·CB →等于( )A ．－52 B.52 C ．2 D.532知识点三 投影向量5.已知等边三角形ABC 的边长为2，则向量AB →在向量CA →方向上的投影向量为( )A ．－12CA →B.12CA → C ．2AC →D ．2CA →6．若|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，记向量a 在向量b 方向上的投影向量为γ，则|γ|＝( )A ．4B ．3C ．2D ．17．已知|a |＝4，e 为单位向量，a 与e 的夹角为2π3，则e 在a 方向上的投影向量的模为________．知识点四 平面向量数量积的性质 8.给出以下结论：①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④(a ·b )c ＝a (b ·c )；⑤|a ·b |≤a ·b .其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．若|a |＝1，|b |＝2，则|a ·b |的值不可能是( ) A ．0 B.12C ．2D ．310．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，点P 在AM 上，且满足AP →＝2PM →，求PA →·(PB →＋PC →)的值．知识点五 平面向量数量积的应用11.已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 与b 的夹角为135°，则|b |＝( ) A ．12 B ．3 C ．6 D ．3 312．已知|a |＝2，|b |＝3，且a·b ＝－3，则〈a ，b 〉＝( ) A.π6 B.2π3 C.3π4 D.5π613．已知a ，b 是两个非零向量，若|a |＝3，|b |＝4，|a ·b |＝6，求a 与b 的夹角．14．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量b 与c 的夹角为________．易错分析 本题出错的原因是确定向量夹角时未考察向量的方向，简单认为角B 即为向量b 与c 的夹角．一、选择题1．已知|a |＝4，|b |＝2，当a ，b 的夹角为π3时，a ·b ＝( )A ．4 3B ．4C ．8 3D ．82．向量a 的模为10，它与向量b 的夹角为150°，则它在b 方向上的投影向量的模为( )A ．－5 3B ．5C ．－5D ．5 33．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形D ．等腰梯形4．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π 5．(多选)已知等腰直角三角形ABC 中，C ＝90°，且S △ABC ＝1，则下列结论正确的是( )A.AC →·BC →＝0B.AB →·AC →＝2 C.AB →·BC →＝2 D ．|AB →|cos B ＝|BC →| 二、填空题6．若|a |＝2，b ＝－2a ，则a ·b ＝________.7．已知e 为一单位向量，a 与e 之间的夹角是120°，而a 在e 方向上的投影向量的模长为2，则|a |＝________.8. 如图所示，已知圆O 为△ABC 的外接圆，AB ＝6，BC ＝7，CA ＝8，则OA →·AB →＋OB →·BC →＋OC →·CA →＝________.三、解答题9．(1)已知|a |＝3，|b |＝6，当①a ∥b ，②a ⊥b ，③a 与b 的夹角是60°时，分别求a ·b ；(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，求AB →·BC →. 10. 如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上一点，则OP →＝xOA →＋yOB →.(1)若AP →＝PB →，求x ，y 的值；(2)若AP →＝3PB →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°，求OP →·AB →的值．6．2.4 向量的数量积第1课时 向量数量积的定义及性质 解析版知识点一 向量夹角的概念1.已知|a |＝|b |＝3，且a 与b 的夹角为80°，则a ＋b 与a －b 的夹角是________．答案 90°解析 如图，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形，则四边形OACB 为菱形．∵OC →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ，OC →⊥BA →，∴a ＋b 与a －b 的夹角为90°.2．在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，|AB →|＝3，|CB →|＝1，则AC →与CB →的夹角θ＝________.答案 120°解析 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，CB ＝1，所以tan ∠ACB ＝ABCB ＝3，所以∠ACB ＝60°，即CB →与CA →的夹角为60°，所以AC →与CB →的夹角为120°.知识点二 平面向量数量积的定义3.若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，则a ·b 等于( ) A.12 B.32 C ．1＋32 D ．2 答案 A解析 a ·b ＝|a ||b |cos60°＝1×1×12＝12.4．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上两点，且AB ＝5，则AC →·CB →等于( )A ．－52 B.52 C ．2 D.532答案 A解析 因为AB ＝5，所以三角形ABC 为等边三角形，所以AC →·CB →＝|AC →||CB →|cos120°＝5×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－52.知识点三 投影向量5.已知等边三角形ABC 的边长为2，则向量AB →在向量CA →方向上的投影向量为( )A ．－12CA →B.12CA →C ．2AC →D ．2CA →答案 A解析 在等边三角形ABC 中，∵∠A ＝60°，∴向量AB →在向量AC →方向上的投影向量为12AC →，∴向量AB →在向量CA →方向上的投影向量为－12CA →.故选A.6．若|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，记向量a 在向量b 方向上的投影向量为γ，则|γ|＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 D解析 设向量a 与向量b 的夹角为θ，与b 方向相同的单位向量为e ，则a 在b 方向上的投影向量γ＝|a |cos θ·e ，则|γ|＝||a |cos θ|＝|2×cos120°|＝1，故选D.7．已知|a |＝4，e 为单位向量，a 与e 的夹角为2π3，则e 在a 方向上的投影向量的模为________．答案12解析 ∵a 与e 的夹角θ＝2π3，∴e 在a 方向上的投影向量的模为||e |cos θ|＝12. 知识点四 平面向量数量积的性质 8.给出以下结论：①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④(a ·b )c ＝a (b ·c )；⑤|a ·b |≤a ·b .其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 ①②③显然正确；(a ·b )c 与c 共线，而a (b ·c )与a 共线，故④错误；|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|，a·b ＝|a ||b |cos θ，有|a ·b |≥a ·b ，故⑤错误．9．若|a |＝1，|b |＝2，则|a ·b |的值不可能是( ) A ．0 B.12 C ．2 D ．3答案 D解析 由向量内积性质知|a ·b |≤|a ||b |＝2.故选D.10．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，点P 在AM 上，且满足AP →＝2PM →，求PA →·(PB →＋PC →)的值．解 如图，由AM ＝3，且AP →＝2PM →，可知|AP →|＝2. ∵M 为BC 的中点， ∴PB →＋PC →＝2PM →＝AP →， ∴PA →·(PB →＋PC →)＝PA →·AP → ＝－PA →2＝－|PA →|2＝－4.知识点五 平面向量数量积的应用11.已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 与b 的夹角为135°，则|b |＝( ) A ．12 B ．3 C ．6 D ．3 3 答案 C解析 a ·b ＝|a ||b |cos135°＝－122，又|a |＝4，解得|b |＝6. 12．已知|a |＝2，|b |＝3，且a·b ＝－3，则〈a ，b 〉＝( ) A.π6 B.2π3 C.3π4 D.5π6 答案 D解析 因为|a |＝2，|b |＝3，且a·b ＝－3，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b|a ||b |＝－32.又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝5π6. 13．已知a ，b 是两个非零向量，若|a |＝3，|b |＝4，|a ·b |＝6，求a 与b 的夹角．解 ∵a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，∴|a ·b |＝||a ||b |cos 〈a ，b 〉|＝|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|＝6. 又|a |＝3，|b |＝4，∴|cos 〈a ，b 〉|＝6|a ||b |＝63×4＝12，∴cos 〈a ，b 〉＝±12.∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π3或2π3.课时易错点易错点 求夹角时忽略向量的方向致误14．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量b 与c 的夹角为________．易错分析 本题出错的原因是确定向量夹角时未考察向量的方向，简单认为角B 即为向量b 与c 的夹角．答案 150°正解 由题意画出图形，如图，因为a ，b 的夹角为120°， 所以∠CAB ＝60°，又|b |＝2|a |，所以∠ACB ＝90°，所以∠ABC ＝30°，则b 与c 的夹角为150°.一、选择题1．已知|a |＝4，|b |＝2，当a ，b 的夹角为π3时，a ·b ＝( )A ．4 3B ．4C ．8 3D ．8 答案 B解析 根据向量数量积的定义得a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝4×2×cos π3＝4.2．向量a 的模为10，它与向量b 的夹角为150°，则它在b 方向上的投影向量的模为( )A ．－5 3B ．5C ．－5D ．5 3 答案 D解析 a 在b 方向上的投影向量的模为||a |cos150°|＝5 3.3．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形答案 B解析 由AB →＝DC →得四边形ABCD 中一组对边平行且相等，由AC →·BD →＝0得两条对角线互相垂直，所以四边形ABCD 为菱形．4．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π 答案 B解析 设a 与b 的夹角为θ，由题意可得，Δ＝|a |2－4a ·b ≥0，∵|a |＝2|b |，∴cos θ≤12，又θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.故选B.5．(多选)已知等腰直角三角形ABC 中，C ＝90°，且S △ABC ＝1，则下列结论正确的是( )A.AC →·BC →＝0 B.AB →·AC →＝2 C.AB →·BC →＝2 D ．|AB →|cos B ＝|BC →| 答案 ABD解析 在等腰直角三角形ABC 中，C ＝90°，面积为1，则12AC 2＝1，得AC ＝2，得AB ＝2，所以AC →·BC →＝0，A 正确；AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos45°＝2，B 正确；AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos135°＝－2，C 不正确；向量BA →在BC →上投影的数量为|BC →|，即|AB →|·cos B ＝|BC →|，D 正确．故选ABD.二、填空题6．若|a |＝2，b ＝－2a ，则a ·b ＝________. 答案 －8解析 |b |＝2|a |＝4，且b 与a 反向，∴〈a ，b 〉＝180°. ∴a ·b ＝|a |·|b |cos180°＝2×4×(－1)＝－8.7．已知e 为一单位向量，a 与e 之间的夹角是120°，而a 在e 方向上的投影向量的模长为2，则|a |＝________.答案 4解析 因为||a |cos 120°|＝2，所以12|a |＝2，所以|a |＝4.8. 如图所示，已知圆O 为△ABC 的外接圆，AB ＝6，BC ＝7，CA ＝8，则OA →·AB →＋OB →·BC →＋OC →·CA →＝________.答案 －1492解析 OA →·AB →＝|OA →||AB →|cos(180°－∠BAO )，∵|OA →|cos(180°－∠BAO )＝－|OA →|cos ∠BAO ＝－12|AB →|，∴OA →·AB →＝－12·|AB →|2，同理，OB →·BC →＝－12|BC →|2，OC →·CA →＝－12|CA →|2，∴OA →·AB →＋OB →·BC →＋OC →·CA →＝－12×(62＋72＋82)＝－1492. 三、解答题9．(1)已知|a |＝3，|b |＝6，当①a ∥b ，②a ⊥b ，③a 与b 的夹角是60°时，分别求a ·b ；(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，求AB →·BC →.解 (1)①当a ∥b 时，若a 与b 同向，则它们的夹角θ＝0°，∴a ·b ＝|a ||b |cos0°＝3×6×1＝18.若a 与b 反向，则它们的夹角θ＝180°，∴a ·b ＝|a ||b |cos180°＝3×6×(－1)＝－18.②当a ⊥b 时，它们的夹角θ＝90°，∴a ·b ＝0.③当a 与b 的夹角是60°时，有a ·b ＝|a ||b |cos60°＝3×6×12＝9. (2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，故BC ＝3，且cos ∠ABC ＝35， AB →与BC →的夹角θ＝180°－∠ABC ，∴AB →·BC →＝－|AB →||BC →|cos ∠ABC ＝－5×3×35＝－9. 10. 如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上一点，则OP →＝xOA →＋yOB →.(1)若AP →＝PB →，求x ，y 的值；(2)若AP →＝3PB →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°，求OP →·AB →的值．解 (1)若AP →＝PB →，则OP →＝12OA →＋12OB →， 故x ＝y ＝12. (2)因为|OA →|＝4，|OB →|＝2，∠BOA ＝60°，所以∠OBA ＝90°，所以|AB →|＝2 3.又因为AP →＝3PB →，所以|PB →|＝32. 所以|OP →|＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝192，cos ∠OPB ＝5719， 所以OP →与AB →的夹角θ的余弦值为－5719. 所以OP →·AB →＝|OP →||AB →|cos θ＝－3.。