且在收敛时，有

(2). 瑕积分

f x dx
0
f x dx
0
f x dx ．
a 为瑕点
f x dx lim f x dx 发散
a t a

b
b
收敛
a
（极限存在） （极限不存在） （极限存在） （极限不存在）
dy A dx y ' dx
可导
可微
既左可导又右可导
求导数： （１） 复合函数链式法则
y f [u ] u g ( x)
dy dy du f '[u ] g '( x) dx du dx
y f [ g ( x)]
（２）
y ' f '[ g ( x)] g '( x)
基本积分公式 (1) (分项积分)
kdx kx C ;
(2)
x dx
1 1 x C ( 1) 1
2
(3)
1 dx ln | x | C
x
(4)
e dx e
x
x
C
(5)
a dx
x
ax C ln a
(6)
cosxdx sin x C
代换时要注意，只有乘积因子才可以代换。 （3）洛必达法则（
0 0 ，只有 , 可以直接用罗比达法则。 , , 0 , , 00 , 1 , 0 ） 0 0
v( x)
幂指函数求极限： lim u ( x ) 或 ， 令 y u ( x)
v( x)
elim v ( x )ln u ( x ) ；

5、
a a
0 f ( x)dx a 2 f ( x)dx 0
n
f x f x f x f x


2
0
sin xdx
n

2
0
( 2 k 1)!! ( 2 k )!! 2 cos xdx ( 2 k )!! ( 2 k 1)!!
反 对 幂 三 指 dx
3
第五章
一、概念 1. 定义
定积分

b
a
f ( x)dx lim f (i )xi , max{xi }
0
i 1 1 i n
n
2. 性质： (1). (2). (3). (4).
设 f x 、 g x 在 a, b 区间上可积，则定积分有以下的性质.
sec

2
(7) (9) (11)
sinxdx cos x C csc xdx cot x C
2
(8) (10)
xdx tan x C
secx tan xdx sec x C
dx 1 x2 arcsin x C
cscx cot xdx csc x C
（极限存在）
（极限不存在）
．
4


b

b 收敛 f x dx lim f x dx t t 发散
（极限存在） ． （极限不存在）
0
f x dx 收敛的充分必要条件是反常积分
0
f x dx 、
f x dx 同时收敛，并
f '[ g ( x)] ( f [ g ( x)]) '
隐函数求导法则
两边对 x 求导，注意 y 、 y 是 x 的函数。 （3）参数方程求导
x (t )
y (t )
dy dy dx '(t ) / dx dt dt '(t )
d '(t ) d dy ( ) ( ) d y dt dx dt '(t ) dx '(t ) dx 2 dt
第一章~~第三章
一、极限 数列极限 lim xn
n
函数极限 lim f ( x) ， lim f ( x) ， lim f ( x)
x x x
x x0
lim f ( x) ， lim f ( x) ， lim f ( x)
x x 0 x x 0
求极限（主要方法） ： （１） lim
f x dx f (t ) (t )dt
b a
3、分部积分法：

b a
b uvdx uv |b 或 udv uv |a vdu ． a u vdx ， a a a
b
b
b
4、偶倍奇零： 设函数 f x 在区间 a, a 上连续，则
二、计算 （一） 定积分的计算 1、微积分基本公式：设函数 f x 在区间 a, b 上连续，且 F x f x ，则

b a
f ( x)dx F b F a ，
牛顿-莱布尼兹（N-L）公式
2、换元法：设函数 f x 在区间 a, b 上连续，函数 x t 满足： ① 在区间 , 上可导，且 t 连续； ② a ， b ，当 t [ , ] 时， x a, b ，则
不定积分 或
f ( x)dx F ( x) C
d [ f ( x)dx] f ( x)dx
d [ f ( x)dx] f ( x) dx

F ( x)dx F ( x) c 或 dF ( x) F ( x) C. [ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx k f ( x)dx k f ( x)dx
2 2
ln | x x 2 a 2 | C.
求不定积分的方法 1． 直接积分法：恒等变形，利用不定积分的性质，直接使用基本积分公式。 2． 换元法：第一类换元法（凑微分法）
f ( ( x)) ( x)dx f (u)du F (u) C F ( ( x)) C.
2
2. 4. 6.
cotxdx ln | sin x | C;

dx a x
2 2
cscxdx ln | csc x cot x | C;
arcsin x C; a
7.
xa 1 1 C ; 8. dx ln 2 x a 2a x a
2

dx x a
sin x 1, x 0 x
1 lim(1 ) x e, x x
lim(1 x) x e
x 0
1
（２）等价无穷小替换。当 ( x) 0 时，
sin ( x) ~ ( x), tan ( x) ~ ( x), arcsin ( x) ~ ( x), arctan ( x) ~ ( x), 1 1 cos ( x) ~ 2 ( x), ln(1 ( x)) ~ ( x), e ( x ) 1 ~ ( x), 2 ( x) a 1 ~ ( x) ln a(a 0), (1 ( x)) ~ ( x)( 0)
， 两 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 取 对 数 ln y v( x) ln u ( x) ， 若 lim v( x) ln u ( x) a ， 则
lim u ( x)v ( x ) e a 。
结合变上限函数求极限。 二、连续
x x0
lim f ( x) f ( x0 )
x x 0
左、右连续

x a
f (t )dt ) f x ，或
d x f (t )dt f x ； dx a
( x)
0
(2)．如果 x

( x)
0
f (t )dt ，则 x ( f (t )dt ,
f (t )dt ) f x x .
2
四、导数的应用 （１）罗尔定理和拉格朗日定理（证明题） （２）单调性（导数符号） ，极值（第一充分条件和第二充分条件） ，最值。 （3）凹凸性（二阶导数符号） ，拐点（曲线上的点，二维坐标，曲线在该点两侧有不同 凹凸性） 。
第四章 不定积分
原函数 基本性质
( F ( x)) f ( x)
b 为瑕点 c 为瑕点
f x dx lim f x dx 发散
a t b

b
b
收敛
b
a
则

b a
f x dx 收敛
b a

c a
f x dx 与 f x dx 均收敛，并且在收敛时，有
c c b a c
f x dx f x dx f x dx

b a
f ( x)dx 0 ；
推论 1. 若在 a, b 上， f x g x ，则 推论 2. |

b a
f ( x)dx g ( x)dx
a
b

b a
f ( x)dx | | f ( x) | dx （ a b ）
a
b
(5). 若函数 f x 在区间 a, b 上可积，且 m f x M ，则

b a b
dx b a ；
b b
a mf x n g x dx ma f ( x)dx na g ( x)dx ；
b a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx ；
a c
c
b