2.9 指数 指数函数——指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一一、明确复习目标1.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算；2.掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。

二．建构知识网络1.幂的有关概念(1)正整数指数幂)(*∈⋅⋅⋅⋅=N n a a a a a n n48476Λ个零指数幂)0(10≠=a a ； 负整数指数幂()10,nn aa n N a-*=≠∈ (2)正分数指数幂()0,,,1m nm na a a m n N n *=>∈>；(3)负分数指数幂()10,,,1mnm nmnaa m n N n a a-*==>∈>(4)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质：()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈()()()20,,sr rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,rr r ab a b a b r Q =>>∈3.根式（1）根式的定义:如果a x n=()1,n n N >∈，那么x 叫做a 的n 次方根，用na 表示,na 叫做根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。

(2)根式的性质: ①当n 是奇数，a a n n =；当n 是偶数，⎩⎨⎧<-≥==00a aa aa a nn②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零 4.指数函数：（1）定义：y=a x (a >0且a ≠1)，叫指数函数，x 是自变量，y 是x 的函数。

（2）图象：（3）性质：定义域(-∞,+ ∞)；值域 (0,+ ∞)；过定点（０，1）；单调性 a > 1时为增函数 ０＜a <1时为减函数值分布：x 取何值时，y>1,0<y<1? (分a >1和0<a <1两种情况说明)三、双基题目练练手1.3a ·6a -等于 （ ）A.－a -B.－aC.a -D.a2.当10<<a 时，aa aaa a ,,的大小关系是 （ ） A ．a a aaa a >> B ．a aa aa a >>C ．aa a a aa>>D ．aa aaa a>>3.下图是指数函数（1）y =a x ，（2）y =b x ，（3）y =c x ，（4）y =d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是O xy1(1) (2) (3) (4)A.a ＜b ＜1＜c ＜dB.b ＜a ＜1＜d ＜cC.1＜a ＜b ＜c ＜dD.a ＜b ＜1＜d ＜c4.如果函数f(x)=a x (a x -3a 2-1)(a>0且a ≠1),在区间[0,+∞)上是增函数,那么实数a 的取值范围是 ( )A.2(0,]3B.3[,1) C.(1,3] D.3[,)2+∞5.计算：()0.7522310.25816--⎛⎫+- ⎪⎝⎭=_____________6.若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===,则a 、b 、c 的大小顺序是 简答.精讲: 1-4. ABBB; 1. 3a ·6a-=a 31·（－a ）61=－（－a ）6131+=－（－a ）21;3. 令x =1，由图知c 1＞d 1＞a 1＞b 1;4.记u=a x ,则 f(x)=u[u-(3a 2+1)]=g(u)对称轴为u=(3a 2+1)/2,要使f(x)在x ∈[0,+∞)时递增,当0<a<1时u=a x ∈(0,1]且递减,只须1≤(3a 2+1)/2,1a ≤<;当a>1时无解.故选B; 5.12;6.只须看1113522,3,5的大小,把11322,36次乘方, 把11522,510次乘方可知c<a<b四、经典例题做一做【例1】已知9x －10·3x +9≤0，求函数y =（41）x －1－4（21）x +2的最大值和最小值. 解：由9x －10·3x +9≤0得（3x －1）（3x －9）≤0，解得1≤3x ≤9.∴0≤x ≤2.令（21）x=t ，则41≤t ≤1，y =4t 2－4t +2=4（t －21）2+1.当t =21即x =1时，y min =1；当t =1即x =0时，y max =2.方法提炼 1.由不等式求x 的范围;2.换元法转化为地次函数的闭区间上的最值问题..【例2】已知44221)31)(21(,31aa a a aa a a aa +++++=+求的值.解：719)1(312=+⇒=+⇒=+aa aa aa Θ， 47149)1(222=+⇒=+∴aa a a ，])())[((1221212122121212323a aa a a a aa aa a a +⋅-+=+=+∴---1863)11)(1(=⨯=+-+=a a aa ，而512)1(124444=++=+=+aa aa aa ，5200550205)347()218(=⨯=+⨯+=∴原式方法归纳 1.用好2211a a a a++与的关系.2.根式化分数指数幂再计算. 【例3】（2004全国Ⅲ）解方程4x +|1－2x |=11.解：当x ≤0时，1－2x ≥0. 原方程⇔4x －2x －10=0⇔2x =21±241⇔2x =21－241＜0（无解）或2x =21+241＞1知x ＞0（无解）.当x ＞0时，1－2x ＜0.原方程⇔4x +2x －12=0⇔2x =－21±27⇔2x =－4（无解）或2x =3⇔x =log 23（为原方程的解）.思想方法 1.分类讨论——分段去绝对值；2。

换元法。

【例4】设函数()221xxf x a -=+⋅-(a 为实数)．⑴若a <0，用函数单调性定义证明：()y f x =在(,)-∞+∞上是增函数;⑵若a ＝0，()y g x =的图象与()y f x =的图象关于直线y ＝x 对称，求函数()y g x = 的解析式．解： (1)设任意实数x 1<x 2，则f(x 1)－ f(x 2)＝1122(221)(221)x x x x a a --+⋅--+⋅-＝1212(22)(22)x x x x a ---+-＝1212122(22)2x x x x x x a++--⋅121212,22,220;xxxx x x <∴<∴-<Q 120,20x x a a +<∴->Q ．又1220x x +>，∴f(x 1)－ f(x 2)<0，所以f(x)是增函数．(2)当a ＝0时，y ＝f(x)＝2x －1，∴2x ＝y ＋1， ∴x ＝log 2(y ＋1)， y ＝g(x)＝ log 2(x ＋1)．【研究.欣赏】（2002上海）已知函数2()(1)1xx f x a a x -=+>+ （1）证明f (x)在（-1，+∞）上为增函数； （2）用反证法证明方程f (x )=0没有负数根。

证明（1）设－1<x 1<x 221211212121212121212122()()1122113()(1)(1)(1)x x x x x x x x x f x f x a a x x x x a a x x x x a a x x ----=+--++--=-+-++-=-+++∵x 2-x 1>0,又a >1, ∴211x x a ->,而－1<x 1<x 2，∴x 1+1>0, x 2+1>0, ∴f (x 2)－f (x 1)>0,f (x )在(－1,+∞)上为增函数。

（2）设x 0为方程f (x )=0的负根，则有000201xx a x -+=+即00000023(1)31111x x x a x x x --+===-++++ 显然，01x ≠-，若00003301,110,3,1211x x x x >>->+>>-+>++则 与011x a a<<矛盾； 若x 0<-1则，x 0+1<0,00130,1111x x <-+<-++,而00x a >矛盾，即不存在x 0<－1的解，综上知，不存在负根。

提炼方法： 1.方法：单调性定义，反证法，分类讨论；2.反证法推矛盾时,体现了明确的目的性和数式变换的技巧和能力.五．提炼总结以为师1.根式的运算——根据分数指数幂的意义，转化为分数指数幂的运算；2.指数函数的定义重在“形式”，像y =2·3x ，12,xy y ==，y =3x +1等都不是指数函数，是复合函数.3.指数函数y =a x （a ＞0，a ≠1）的图象和性质，要分a ＞1与0＜a ＜1来研究.4.对于含有字母参数的指数式，必须对字母参数或自变量取值进行分类讨论，用好用活指数函数单调性，还要注意换元的灵活运用。

同步练习 2.9 指数 指数函数【选择题】 1.若∈n N *，则=+-+++----12412411n n n n ( ）A ．2B ．n-2C ．n-12D ．n22-2. ( 2005全国卷III )设173x =，则 ( )（A ）-2<x <-1 （B ）-3<x <-2 （C ）-1<x <0 （D ）0<x <13.若函数y =a x +b －1（a ＞0且a ≠1）的图象经过二、三、四象限，则一定有 ( )A.0＜a ＜1且b ＞0B.a ＞1且b ＞0C.0＜a ＜1且b ＜0D.a ＞1且b ＜04. 已知13x x-+=，A =1122x x -+，B =3322x x -+，则,A B 的值分别为（ ）A ．±B ．±C ．D ，【填空题】5.函数y =（21）222+-x x 的递增区间是___________. 6.求值：bc a c a b c b c a b a xx 11x x 11x x 11------++++++++=________ 简答提示: 1-4.AACD; 5. （－∞，1］;6. 1;【解答题】7. (1)求值÷（2）若42121=+-a a ，求21212323----aa a a 的值解(1)213134245555÷-÷21315534241245555--=-=-=（2）原式=1111331222211112222()()()(1)a a a a a a a aa a-------++=--1115a a -=++=8．函数y=a 2x +2a x -1(a>0,a ≠1)在区间[-1,1]上的最大值为14，求a 的值。