２．9 指数 指数函数——指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一一、明确复习目标１.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算; 2.掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。
二．建构知识网络１.幂的有关概念（1)正整数指数幂)(*∈⋅⋅⋅⋅=N n a a a a a n n个零指数幂)0(10≠=a a ； 负整数指数幂()10,nn aa n N a-*=≠∈ （2)正分数指数幂()0,,,1m nm na a a m n N n *=>∈>；（3)负分数指数幂()10,,,1m nm nmnaa m n N n a a-*==>∈>（4)0的正分数指数幂等于0，０的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质：()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈()()()20,,sr rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,rr r ab a b a b r Q =>>∈３．根式（1)根式的定义:如果a x n=()1,n n N >∈,那么x 叫做a 的n 次方根,用na 表示,na 叫做根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。
（2)根式的性质: ①当n 是奇数，a a n n =；当n 是偶数，⎩⎨⎧<-≥==00a aa aa a nn②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零 4．指数函数：（1)定义：y=a x (a >0且a ≠１),叫指数函数,ｘ是自变量，ｙ 是x 的函数。
（2）图象:(3）性质:定义域(－∞,+ ∞);值域 (０，+ ∞)；过定点（0，１）;单调性 a > 1时为增函数 ０<ａ<１时为减函数值分布:x 取何值时,y>1，０<y<１？ （分a >１和0<a ＜1两种情况说明)三、双基题目练练手1.3a ·6a -等于 ( )Ａ.-a - B ．-a C ．a - D.a2.当10<<a 时,aa aaa a ,,的大小关系是 （ ) ﻩＡ．a a aaa a >>ﻩB.a a a aa a>>ﻩＣ.aa a a aa>>ﻩD.aa aaa a >>3．下图是指数函数（1）y =ａx ,(２)ｙ＝b x ，(3）y =c x ，（４)y ＝d x 的图象,则ａ、b 、c 、d 与１的大小关系是Oxy1(1) (2) (3) (4)A.a ＜b <1＜c ＜d ﻩﻩﻩﻩﻩB.b <a ＜1<d ＜cC.1＜a ＜b ＜ｃ<d ﻩ ﻩD.a <b <１<d <c4.如果函数f （x)=a ｘ(a ｘ-３a 2－1)(a ＞０且a ≠1),在区间[０,+∞)上是增函数,那么实数a 的取值范围是 ( )A ．2(0,]3 B.3[,1) Ｃ.(1,3] D.3[,)2+∞5.计算:()0.7522310.25816--⎛⎫+- ⎪⎝⎭=___＿＿________6.若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===,则ａ、b 、c 的大小顺序是 简答.精讲： １-４. A ＢB Ｂ; １.3a ·6a-=a 31·(-a ）61=－（-a )6131+=-（-a ）21；3． 令x ＝１,由图知ｃ１＞d 1>ａ1>b １；４．记ｕ=a x ,则 f （x)=u[u-(3ａ2+1）]＝ｇ(ｕ）对称轴为ｕ=（3a ２+1)/2,要使ｆ(x)在x ∈[0,+∞）时递增,当0<a<１时ｕ=ａx ∈(0，１]且递减,只须1≤（3a 2+1)/２,1a ≤<;当a>１时无解.故选B ；5．12；6.只须看1113522,3,5的大小,把11322,36次乘方, 把11522,510次乘方可知ｃ＜a<b四、经典例题做一做【例1】已知9x －１０·３x ＋9≤０,求函数ｙ＝(41)x -1－4（21)x +2的最大值和最小值.解:由９ｘ-10·3ｘ+9≤0得(3ｘ－１）（３x －9)≤0,解得1≤３x ≤9.∴0≤x ≤2.令（21)x=t ，则41≤t ≤1,y =4t 2－４t +2=4（t -21)2+1.当ｔ=21即x ＝1时,y ｍｉn =1;当ｔ＝1即x =０时，ｙm ａx =2．方法提炼 1．由不等式求x 的范围；2.换元法转化为地次函数的闭区间上的最值问题..【例2】已知44221)31)(21(,31aa aa aa a a aa +++++=+求的值.解:719)1(312=+⇒=+⇒=+aa aa aa ， 47149)1(222=+⇒=+∴aa a a ，])())[((1221212122121212323a aa a a a aa aa a a +⋅-+=+=+∴---1863)11)(1(=⨯=+-+=a a aa ，而512)1(124444=++=+=+aa aa aa ,5200550205)347()218(=⨯=+⨯+=∴原式方法归纳 1.用好2211a a a a++与的关系.2.根式化分数指数幂再计算. 【例3】(2004全国Ⅲ）解方程4x +|１－2x |=11.解：当x ≤0时,1－2x ≥０. 原方程⇔4x -2x －10=0⇔2x ＝21±241⇔2x =21－241<0(无解）或2x =21+241>1知x >０（无解).当ｘ>0时，1－2ｘ＜0.原方程⇔4x ＋2ｘ－12=0⇔2ｘ=－21±27⇔2x =－4（无解)或2ｘ＝３⇔x ＝log 23(为原方程的解）.思想方法 1．分类讨论——分段去绝对值;2。
换元法。
【例４】设函数()221xxf x a -=+⋅-(a 为实数)．⑴若a <0，用函数单调性定义证明:()y f x =在(,)-∞+∞上是增函数；⑵若a =0，()y g x =的图象与()y f x =的图象关于直线y ＝ｘ对称，求函数()y g x = 的解析式.解: (1)设任意实数ｘ1＜x 2,则ｆ(x 1)－ f （x 2)=1122(221)(221)x x x x a a --+⋅--+⋅-＝1212(22)(22)x x x x a ---+-=1212122(22)2x x x x x x a++--⋅121212,22,220;x x x x x x <∴<∴-<120,20x x a a +<∴->．又1220x x +>,∴f(x 1)- ｆ（x 2)<0,所以f （x)是增函数.(2）当a=0时,y=ｆ(ｘ)＝２x －1,∴2x =y ＋1， ∴x ＝l ｏg 2(y+１), y ＝ｇ（x)= lo ｇ２(x+1）．【研究.欣赏】(２002上海）已知函数2()(1)1xx f x a a x -=+>+ (1）证明f (ｘ)在(-1,+∞）上为增函数;(2)用反证法证明方程ｆ（x ）=０没有负数根。
证明(１）设-1<ｘ1＜x ２21211212121212121212122()()1122113()(1)(1)(1)x x x x x x x x x f x f x a a x x x x a a x x x x a a x x ----=+--++--=-+-++-=-+++∵ｘ２-ｘ1>０,又a >1, ∴211x x a ->,而-1<x １<x ２，∴ｘ1+1>0， ｘ2+1>０, ∴f (x 2)-ｆ(x 1)>０,f (x )在(－１,+∞)上为增函数。
(2)设x 0为方程ｆ(x ）=０的负根,则有000201xx a x -+=+即00000023(1)31111x x x a x x x --+===-++++ 显然，01x ≠-,若00003301,110,3,1211x x x x >>->+>>-+>++则 与011x a a<<矛盾; 若x 0<-１则,ｘ0+1<0,00130,1111x x <-+<-++,而00x a >矛盾，即不存在x 0<-1的解，综上知,不存在负根。
提炼方法： 1．方法:单调性定义，反证法，分类讨论；2.反证法推矛盾时,体现了明确的目的性和数式变换的技巧和能力.五．提炼总结以为师１.根式的运算——根据分数指数幂的意义,转化为分数指数幂的运算；2.指数函数的定义重在“形式”,像y =2·３x ,12,xy y ==,y ＝3x ＋1等都不是指数函数,是复合函数.３.指数函数ｙ＝ａｘ（ａ＞0,a ≠1）的图象和性质，要分a >１与0<ａ＜1来研究. 4．对于含有字母参数的指数式,必须对字母参数或自变量取值进行分类讨论,用好用活指数函数单调性，还要注意换元的灵活运用。
同步练习 2.9 指数 指数函数【选择题】 1.若∈n N ＊,则=+-+++----12412411n n n n ( )ﻩA ．2 B ．n-2Ｃ.n-12Ｄ.n22-2. ( 2005全国卷II Ｉ）设173x =,则 ( )（A)-2＜x <-１ (B)-3<x <-2 （Ｃ)-1＜ｘ<0 (D)0<ｘ<１３.若函数y =ａx +b －１（ａ>0且a ≠１）的图象经过二、三、四象限，则一定有 ( )A ．0＜ａ<1且ｂ＞0ﻩﻩ ﻩﻩＢ.a >１且b >0 C.0<a <1且ｂ＜０ﻩﻩ Ｄ.a >1且b ＜04. 已知13x x-+=,A =1122x x -+，B =3322x x -+，则,A B 的值分别为( ）A.± ﻩＢ.±C ． ﻩ【填空题】 ５.函数y =（21)222+-x x 的递增区间是___＿___＿_＿_.6.求值：bc a c a b c b c a b a x x 11x x 11x x 11------++++++++＝＿__＿_＿_＿简答提示： 1－4.ＡACD; 5. (－∞,1］;6. 1;【解答题】7． (1）求值(２)若42121=+-a a ,求21212323----aa a a 的值解(1)213134245555÷-÷21315534241245555--=-=-=(2）原式=1111331222211112222()()()(1)a a a a a a a aa a-------++=--1115a a -=++=8．函数y=ａ２x +2a x -1(a>０，a ≠1)在区间［-１,1]上的最大值为１4,求ａ的值。