高中数学-导数的计算练习
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列求导运算正确的是 A ．211()1x x x
'+=+
B ．21
(log )ln 2
x x '=
C ．3(3)3log x x
x '=
D ．2
(cos )2sin x x x x '=-
【答案】B
【解析】因为211()x x '=-
，所以A 项应为2
11x -；由1(log )ln a x x a
'=知B 项正确；由()ln x x
a a a '=可知C 项错误；D 项中，2
2
(cos )2cos sin x x x x x x '=-，所以D 项是错误的，综上所述，正确选项为B ． 2．已知函数3
()f x x =在点P 处的导数值为3，则P 点的坐标为 A ．(2,8)--
B ．(1,1)--
C ．(2,8)--或(2,8)
D ．(1,1)--或(1,1)
【答案】D
3．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln xf f x x ='+，则(1)f '等于 A ．e - B ． 1- C ．1
D ．e
【答案】B
【解析】∵函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln (0)f x x xf x ='+>， ∴1
()1()2f x f x
'='+
，把1x =代入()f x '可得(1)2(1)1f f '='+，解得(1)1f '=-．故选B ． 4．曲线e x
y =在点2
(2,e )处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为
A ．2e 2
B ．23e
C ．26e
D ．29e
【答案】A
【解析】因为e x y '=，所以切线的斜率为2
e k =，切线方程为22
e e (2)y x -=-，令0=x 得2
e y =-；
令0y =得1x =，故围成的三角形的面积为22
1e 1|e |22
S =⨯⨯-=，故选A ．
5．已知函数π
()()cos sin 4f x f x x '=+，则π()4
f = A ．2 B ．21- C ．1
D ．0
【答案】C
6．已知1()1x
f x x
=
+，则(1)f '等于 A ．2 B ．12- C ．14
-
D ．14
【答案】C
【解析】令1t x =，则1x t =，1
1()111t f t t t
=
=++，因此1()1x x f =+，
则根据求导公式有21()=(1)x x f '-
+，所以1
()14
f '=-．故选C ．
7．已知e 为自然对数的底数，曲线e x
y a x =+在点(1,e 1)a +处的切线与直线2e 10x y --=平行，则实数
a =
A ．e 1
e - B ．
2e 1
e - C ．e 12e
-
D ．2e 12e
-
【答案】B
8．若2
()24ln f x x x x =--，则不等式()0f x '>的解集为
A ．(0,)+∞
B ．(1,0)(2,)-+∞U
C ．(2,)+∞
D ．(1,0)-
【答案】C
【解析】要使函数有意义，则0>x ，∵2
()24ln f x x x x =--，∴24224
()22x x f x x x x
--'=--=，
若()0f x '>，则04
222
>--x
x x ，
即022>--x x ，解得2>x 或1-<x （舍去），故不等式()0f x '>的解集为(2,)+∞，故选C ．
二、填空题：请将答案填在题中横线上． 9．函数2
sin y x x =的导函数为______________． 【答案】22sin cos x x x x +
【解析】2sin y x x =，则222
()sin (sin )2sin cos y x x x x x x x x '''=+=+．
10．设函数()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =______________．
【答案】e
【解析】由题意得()ln 1f x x '=+，又00()ln 12f x x '=+=，解得0e x =．
11．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足1
3
1()()e 1(0)3
x f x f 'f x x -=-+
，则()x =______________． 【答案】31e 3
x
x x -+
【解析】∵1
31
()()e
1(0)3
x f x f 'f x x -=-+，∴12()(1)e (0)x f x f f x -''=-+，
令1x =，则(1)(1)(0)1f f f '='-+，∴(0)1f =；令0x =，则1
(0)(1)e f f -='，
∴(1)e f '=，∴3
1()e 3
x
f x x x =-+
． 12．设曲线1
()n y x
n +*=∈N 在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令lg n n a x =，则
1299a a a ++⋅⋅⋅+的值为______________．
【答案】2-
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13．求下列函数的导数：
（1）2
311
()y x x x x
=++； （2）cos x
y x
=
； （3）3e 2e x
x
x
y =-+；
（4）2
sin
cos 22
x x y x =-． 【答案】（1）2323y x x '=-；（2）2
sin cos x x x y'x
+=-；（3）ln 31(3e)2)ln 2(x x
y'=+⋅-；（4）y '= 1
2cos 2
x x -．
【解析】（1）因为2332111()1y x x x x x x =++=++，所以2
323y x x
'=-．
（2）222cos (cos )cos sin cos sin cos ()x x x x x x x x x x x
y x x x x
'''⋅-⋅-⋅-+'====-． （3）(3e )(2)e (3e 3e )((2))x x x x x x x x
y''''''=-+=+-'
3ln 3e 3e 2ln 2ln 31(3e)2ln 2()x x x x x x x =⋅+-=+⋅-．
（4）因为2
21sin cos sin 222x x y x x x =-=-，所以1
2cos 2
y x x '=-． 14．设函数()b
f x ax x
=-
，曲线()y f x =在点(2,)(2)f 处的切线方程为74120x y --=． （1）求()f x 的解析式；
（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
【答案】（1）3
()f x x x
=-
；（2）证明见解析，该定值为6．
（2）设00(),P x y 为曲线上任一点， 由2
31y x '=+
，知曲线在点00(),P x y 处的切线方程为00203(1)()y y x x x -=+-， 即00200
33
()(1)()y x x x x x --
=+-． 令0x =得06y x =-
，从而得切线与直线0x =的交点坐标为
6
(0)x -，； 令y x =得02y x x ==，从而得切线与直线y x =的交点坐标为00)2(2x x ，
， 所以点00(),P x y 处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形的面积为
00
16
|||2|62x x -⋅=． 故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值， 此定值为6．。