平面向量经典例题:1.已知向量a＝(1,2),b＝(2,0),若向量λa＋b与向量c＝(1,－2)共线,则实数λ等于( )A.－2B.－1 3C.－1D.－2 3[答案] C[解析] λa＋b＝(λ,2λ)＋(2,0)＝(2＋λ,2λ),∵λa＋b与c共线,∴－2(2＋λ)－2λ＝0,∴λ＝－1、2.(文)已知向量a＝(3,1),b＝(0,1),c＝(k,3),若a＋2b与c垂直,则k＝( )A.－1B.－ 3C.－3D.1[答案] C[解析] a＋2b＝(3,1)＋(0,2)＝(3,3),∵a＋2b与c垂直,∴(a＋2b)·c＝3k＋33＝0,∴k＝－3、(理)已知a＝(1,2),b＝(3,－1),且a＋b与a－λb互相垂直,则实数λ的值为( )A.－611B.－116C、611D、116[答案] C[解析] a＋b＝(4,1),a－λb＝(1－3λ,2＋λ), ∵a＋b与a－λb垂直,∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0,∴λ＝6 11、3.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|,a＋b＝c,则向量a、b间的夹角为( )A.150°B.120°C.60°D.30°[答案] B[解析] 如图,在▱ABCD中,∵|a|＝|b|＝|c|,c＝a＋b,∴△ABD为正三角形,∴∠BAD＝60°,∴〈a ,b 〉＝120°,故选B 、(理)向量a ,b 满足|a |＝1,|a －b |＝32,a 与b 的夹角为60°,则|b |＝( )A 、12B 、13C 、14D 、15[答案] A [解析] ∵|a －b |＝32,∴|a |2＋|b |2－2a ·b ＝34,∵|a |＝1,〈a ,b 〉＝60°,设|b |＝x ,则1＋x 2－x ＝34,∵x >0,∴x ＝12、4.若AB →·BC →＋AB →2＝0,则△ABC 必定就是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形[答案] B[解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0,∴AB →⊥AC →, ∴AB ⊥AC ,∴△ABC 为直角三角形. 5.若向量a ＝(1,1),b ＝(1,－1),c ＝(－2,4),则用a ,b 表示c 为( ) A.－a ＋3b B.a －3b C.3a －b D.－3a ＋b [答案] B[解析] 设c ＝λa ＋μb ,则(－2,4)＝(λ＋μ,λ－μ),∴⎩⎨⎧λ＋μ＝－2λ－μ＝4,∴⎩⎨⎧λ＝1μ＝－3,∴c ＝a －3b ,故选B 、在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于O ,E 就是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F ,若AC →＝a ,BD →＝b ,则AF →等于( )A 、14a ＋12bB 、23a ＋13bC 、12a ＋14bD 、13a ＋23b[答案] B[解析] ∵E 为OD 的中点,∴BE →＝3ED →, ∵DF ∥AB ,∴|AB ||DF |＝|EB ||DE |,∴|DF |＝13|AB |,∴|CF |＝23|AB |＝23|CD |,∴AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋23CD →＝a ＋23(OD →－OC →)＝a ＋23(12b －12a )＝23a ＋13b 、6.若△ABC 的三边长分别为AB ＝7,BC ＝5,CA ＝6,则AB →·BC →的值为( ) A.19 B.14 C.－18 D.－19[答案] D[解析] 据已知得cos B ＝72＋52－622×7×5＝1935,故AB →·BC →＝|AB →|×|BC →|×(－cos B )＝7×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1935＝－19、7.若向量a ＝(x －1,2),b ＝(4,y )相互垂直,则9x ＋3y 的最小值为( ) A.12 B.2 3 C.32D.6[答案] D[解析] a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0,∴2x ＋y ＝2,∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝6,等号在x ＝12,y ＝1时成立.8.若A ,B ,C 就是直线l 上不同的三个点,若O 不在l 上,存在实数x 使得x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0,实数x 为( ) A.－1 B.0 C 、－1＋52D 、1＋52[答案] A[解析] x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0,∴x 2OA →＋(x －1)OB →＋OC →＝0,由向量共线的充要条件及A 、B 、C 共线知,1－x －x 2＝1,∴x ＝0或－1,当x ＝0时,BC →＝0,与条件矛盾,∴x ＝－1、 9.(文)已知P 就是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点,则AP →·(AB →＋AC →)( ) A.最大值为8B.最小值为2C.就是定值6D.与P的位置有关[答案] C[解析] 以BC的中点O为原点,直线BC为x轴建立如图坐标系,则B(－1,0),C(1,0),A(0,3),AB→＋AC→＝(－1,－3)＋(1,－3)＝(0,－23),设P(x,0),－1≤x≤1,则AP→＝(x,－3),∴AP→·(AB→＋AC→)＝(x,－3)·(0,－23)＝6,故选C、(理)在△ABC中,D为BC边中点,若∠A＝120°,AB→·AC→＝－1,则|AD→|的最小值就是( )A、12B、32C、 2D、2 2[答案] D[解析] ∵∠A＝120°,AB→·AC→＝－1,∴|AB→|·|AC→|·cos120°＝－1,∴|AB→|·|AC→|＝2,∴|AB→|2＋|AC→|2≥2|AB→|·|AC→|＝4,∵D为BC边的中点,∴AD→＝12(AB→＋AC→),∴|AD→|2＝14(|AB→|2＋|AC→|2＋2AB→·AC→)＝14(|AB→|2＋|AC→|2－2)≥14(4－2)＝12,∴|AD→|≥2 2、10.如图,一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB,AD分别交于E、F两点,且交其对角线于K,其中AE→＝13AB→,AF→＝12AD→,AK→＝λAC→,则λ的值为( )A、15B、14C、13D、12[答案] A[解析] 如图,取CD的三等分点M、N,BC的中点Q,则EF∥DG∥BM ∥NQ ,易知AK →＝15AC →,∴λ＝15、11. 已知向量a ＝(2,3),b ＝(－1,2),若m a ＋4b 与a －2b 共线,则m 的值为( )A 、12B.2C.－2D.－12[答案] C[解析] m a ＋4b ＝(2m －4,3m ＋8),a －2b ＝(4,－1), 由条件知(2m －4)·(－1)－(3m ＋8)×4＝0,∴m ＝－2,故选C 、12. 在△ABC 中,C ＝90°,且CA ＝CB ＝3,点M 满足BM →＝2MA →,则CM →·CB →等于( )A.2B.3C.4D.6[答案] B[解析] CM →·CB →＝(CA →＋AM →)·CB →＝(CA →＋13AB →)·CB →＝CA →·CB →＋13AB →·CB →＝13|AB →|·|CB →|·cos45°＝13×32×3×22＝3、13. 在正三角形ABC 中,D 就是BC 上的点,AB ＝3,BD ＝1,则AB →·AD →＝________、 [答案]152[解析] 由条件知,|AB →|＝|AC →|＝|BC →|＝3,〈AB →,AC →〉＝60°, 〈AB →,CB →〉＝60°,CD →＝23CB →,∴AB →·AD →＝AB →·(AC →＋CD →)＝AB →·AC →＋AB →·23CB →＝3×3×cos60°＋23×3×3×cos60°＝152、14. 已知向量a ＝(3,4),b ＝(－2,1),则a 在b 方向上的投影等于________.[答案] －255。

[解析] a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－25＝－255、15. 已知向量a 与b 的夹角为2π3,且|a |＝1,|b |＝4,若(2a ＋λb )⊥a ,则实数λ＝________、[答案] 1[解析] ∵〈a ,b 〉＝2π3,|a |＝1,|b |＝4,∴a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ,b 〉＝1×4×cos2π3＝－2,∵(2a ＋λb )⊥a ,∴a ·(2a ＋λb )＝2|a |2＋λa ·b ＝2－2λ＝0,∴λ＝1、 16. 已知:|OA →|＝1,|OB →|＝3,OA →·OB →＝0,点C 在∠AOB 内,且∠AOC ＝30°,设OC →＝mOA →＋nOB →(m ,n ∈R ＋),则m n＝________、[答案] 3[解析] 设mOA →＝OF →,nOB →＝OE →,则OC →＝OF →＋OE →, ∵∠AOC ＝30°,∴|OC →|·cos30°＝|OF →|＝m |OA →|＝m , |OC →|·sin30°＝|OE →|＝n |OB →|＝3n ,两式相除得:m3n ＝|OC →|cos30°|OC →|sin30°＝1tan30°＝3,∴m n＝3、17. (文)设i 、j 就是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量,且OA→＝－2i ＋j ,OB →＝4i ＋3j ,则△OAB 的面积等于________. [答案] 5[解析] 由条件知,i 2＝1,j 2＝1,i ·j ＝0,∴OA →·OB →＝(－2i ＋j )·(4i ＋3j )＝－8＋3＝－5,又OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos 〈OA →,OB →〉＝55cos 〈OA →,OB →〉, ∴cos 〈OA →,OB →〉＝－55,∴sin 〈OA →,OB →〉＝255, ∴S △OAB ＝12|OA →|·|OB →|·sin 〈OA →,OB →〉＝12×5×5×255＝5、(理)三角形ABC 中,a ,b ,c 分别就是角A ,B ,C 所对的边,能得出三角形ABC 一定就是锐角三角形的条件就是________(只写序号)①sin A ＋cos A ＝15 ②AB →·BC →<0 ③b ＝3,c ＝33,B ＝30° ④tan A ＋tan B ＋tan C >0、[答案] ④[解析] 若A 为锐角,则sin A ＋cos A >1,∵sin A ＋cos A ＝15,∴A 为钝角,∵AB →·BC →<0,∴BA →·BC →>0,∴∠B 为锐角,由∠B 为锐角得不出△ABC 为锐角三角形;由正弦定理b sin B ＝c sin C 得,3sin30°＝33sin C ,∴sin C ＝32,∴C ＝60°或120°,∵c ·sin B ＝332,3<332<33,∴△ABC 有两解,故①②③都不能得出△ABC 为锐角三角形.④由tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan C ＝－tan C (1－tan A tan B )＋tan C ＝tan A tan B tan C >0,及A 、B 、C ∈(0,π),A ＋B ＋C ＝π知A 、B 、C 均为锐角,∴△ABC 为锐角三角形.18. 已知平面向量a ＝(1,x ),b ＝(2x ＋3,－x ).(1)若a ⊥b ,求x 的值. (2)若a ∥b ,求|a －b |、 [解析] (1)若a ⊥b ,则a ·b ＝(1,x )·(2x ＋3,－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0, 整理得x 2－2x －3＝0,解得x ＝－1或x ＝3、(2)若a ∥b ,则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0,则x (2x ＋4)＝0,解得x ＝0或x ＝－2, 当x ＝0时,a ＝(1,0),b ＝(3,0), ∴|a －b |＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝(－2)2＋02＝2,当x ＝－2时,a ＝(1,－2),b ＝(－1,2), ∴|a －b |＝|(1,－2)－(－1,2)|＝|(2,－4)|＝22＋(－4)2＝25、19. 已知向量a ＝(sin x ,－1),b ＝(3cos x ,－12),函数f (x )＝(a ＋b )·a －2、(1)求函数f (x )的最小正周期T ;(2)将函数f (x )的图象向左平移π6上个单位后,再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍,得到函数g (x )的图象,求函数g (x )的解析式及其对称中心坐标.[解析](1)f (x )＝(a ＋b )·a －2＝a 2＋a ·b －2＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12－2＝1－cos2x 2＋32sin2x －12＝32sin2x －12cos2x ＝sin(2x －π6), ∴周期T ＝2π2＝π、(2)向左平移π6个单位得,y ＝sin[2(x ＋π6)－π6]＝sin(2x ＋π6),横坐标伸长为原来的3倍得,g (x )＝sin(23x ＋π6),令23x ＋π6＝k π得对称中心为(3k π2－π4,0),k ∈Z 、 20. (文)三角形的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ,设向量m ＝(c －a ,b －a ),n ＝(a ＋b ,c ),若m ∥n 、(1)求角B 的大小;(2)若sin A ＋sin C 的取值范围. [解析] (1)由m ∥n 知c －aa ＋b＝b －a c,即得b 2＝a 2＋c 2－ac ,据余弦定理知cos B ＝12,得B ＝π3、(2)sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋sin(A ＋π3)＝sin A ＋12sin A ＋32cos A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin(A ＋π6),∵B ＝π3,∴A ＋C ＝2π3,∴A ∈(0,2π3),∴A ＋π6∈(π6,5π6),∴sin(A ＋π6)∈(12,1],∴sin A ＋sin C 的取值范围为(32,3].(理)在钝角三角形ABC 中,a 、b 、c 分别就是角A 、B 、C 的对边,m ＝(2b －c ,cos C ),n ＝(a ,cos A ),且m∥n 、(1)求角A 的大小;(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos(π3－2B )的值域.[解析] (1)由m ∥n 得(2b －c )cos A －a cos C ＝0, 由正弦定理得2sin B cos A －sin C cos A －sin A cos C ＝0, ∵sin(A ＋C )＝sin B ,∴2sin B cos A －sin B ＝0, ∵B 、A ∈(0,π),∴sin B ≠0,∴A ＝π3、(2)y ＝1－cos2B ＋12cos2B ＋32sin2B ＝1－12cos2B ＋32sin2B ＝sin(2B －π6)＋1,当角B 为钝角时,角C 为锐角,则⎩⎪⎨⎪⎧π2<B <π0<2π3－B <π2⇒π2<B <2π3, ∴5π6<2B －π6<7π6,∴sin(2B －π6)∈(－12,12),∴y ∈(12,32). 当角B 为锐角时,角C 为钝角,则⎩⎪⎨⎪⎧0<B <π2π2<2π3－B <π⇒0<B <π6,∴－π6<2B －π6<π6,∴sin(2B －π6)∈(－12,12),∴y ∈(12,32),综上,所求函数的值域为(12,32).21. 设函数f (x )＝a ·b ,其中向量a ＝(2cos x,1),b ＝(cos x ,3sin2x ),x ∈R 、(1)若f (x )＝1－3且x ∈[－π3,π3],求x ;(2)若函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m ,n )(|m |<π2)平移后得到函数y ＝f (x )的图象,求实数m 、n 的值.[解析] (1)依题设,f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x＝1＋2sin(2x ＋π6).由1＋2sin(2x ＋π6)＝1－3,得sin(2x ＋π6)＝－32,∵－π3≤x ≤π3,∴－π2≤2x ＋π6≤5π6,∴2x ＋π6＝－π3,即x ＝－π4、(2)函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m ,n )平移后得到函数y ＝2sin2(x －m )＋n 的图象,即函数y ＝f (x )的图象.由(1)得f (x )＝2sin2(x ＋π12)＋1、∵|m |<π2,∴m ＝－π12,n ＝1、 22. 已知向量OP →＝(2cos x ＋1,cos2x －sin x ＋1),OQ →＝(cos x ,－1),f (x )＝OP →·OQ →、(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)当x∈[0,π2]时,求函数f(x)的最大值及取得最大值时的x值. [解析] (1)∵OP→＝(2cos x＋1,cos2x－sin x＋1),OQ→＝(cos x,－1), ∴f(x)＝OP→·OQ→＝(2cos x＋1)cos x－(cos2x－sin x＋1)＝2cos2x＋cos x－cos2x＋sin x－1＝cos x＋sin x＝2sin(x＋π4), ∴函数f(x)最小正周期T＝2π、(2)∵x∈[0,π2],∴x＋π4∈[π4,3π4],∴当x＋π4＝π2,即x＝π4时,f(x)＝2sin(x＋π4)取到最大值2、23.△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,向量m＝(－1,1),n＝(cos B cos C,sin B sin C－3 2 ),且m⊥n、(1)求A的大小;(2)现在给出下列三个条件:①a＝1;②2c－(3＋1)b＝0;③B＝45°,试从中选择两个条件以确定△ABC,求出所确定的△ABC的面积.(注:只需要选择一种方案答题,如果用多种方案答题,则按第一方案给分).[解析] (1)因为m⊥n,所以－cos B cos C＋sin B sin C－32＝0,即cos B cos C－sin B sin C＝－32,所以cos(B＋C)＝－32,因为A＋B＋C＝π,所以cos(B＋C)＝－cos A,所以cos A＝32,A＝30°、(2)方案一:选择①②,可确定△ABC,因为A＝30°,a＝1,2c－(3＋1)b＝0,由余弦定理得,12＝b2＋(3＋12b)2－2b·3＋12b·32解得b＝2,所以c＝6＋22,所以S△ABC＝12bc sin A＝12·2·6＋22·12＝3＋14,方案二:选择①③,可确定△ABC,因为A ＝30°,a ＝1,B ＝45°,C ＝105°,又sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝6＋24,由正弦定理c ＝a sin C sin A＝1·sin105°sin30°＝6＋22, 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12·1·6＋22·22＝3＋14、(注意:选择②③不能确定三角形)(理)如图,⊙O 方程为x 2＋y 2＝4,点P 在圆上,点D 在x 轴上,点M 在DP 延长线上,⊙O 交y 轴于点N ,DP→∥ON →,且DM →＝32DP →、(1)求点M 的轨迹C 的方程; (2)设F 1(0,5)、F 2(0,－5),若过F 1的直线交(1)中曲线C 于A 、B 两点,求F 2A →·F 2B →的取值范围.[解析] (1)设P (x 0,y 0),M (x ,y ),∵DM →＝32DP →,∴⎩⎨⎧ y ＝32y 0x ＝x,∴⎩⎨⎧y 0＝23yx 0＝x,代入x 20＋y 20＝4得,x 24＋y 29＝1、(2)①当直线AB 的斜率不存在时,显然F 2A →·F 2B →＝－4, ②当直线AB 的斜率存在时,不妨设AB 的方程为:y ＝kx ＋5,由⎩⎨⎧y ＝kx ＋5x 24＋y 29＝1得,(9＋4k 2)x 2＋85kx －16＝0,不妨设A 1(x 1,y 1),B (x 2,y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－85k9＋4k 2x 1x 2＝－169＋4k2,F 2A →·F 2B →＝(x 1,y 1＋5)·(x 2,y 2＋5)＝(x 1,kx 1＋25)·(x 2,kx 2＋25)＝(1＋k 2)x 1x 2＋25k (x 1＋x 2)＋20＝－16(1＋k 2)9＋4k 2＋－80k 29＋4k 2＋20＝－96k 2－169＋4k 2＋20 ＝－4＋2009＋4k 2,∵k 2≥0,∴9＋4k 2≥9,∴0<2009＋4k 2≤2009,∴－4<F 2A →·F 2B →≤1649,综上所述,F 2A →·F 2B →的取值范围就是(－4,1649].24. 在平面直角坐标系内,已知两点A (－1,0)、B (1,0),若将动点P (x ,y )的横坐标保持不变,纵坐标扩大到原来的2倍后得到点Q (x ,2y ),且满足AQ →·BQ →＝1、(1)求动点P 所在曲线C 的方程; (2)过点B 作斜率为－22的直线l 交曲线C 于M 、N 两点,且OM →＋ON →＋OH →＝0,又点H 关于原点O的对称点为点G ,试问M 、G 、N 、H 四点就是否共圆？若共圆,求出圆心坐标与半径;若不共圆,请说明理由.[解析] (1)设点P 的坐标为(x ,y ),则点Q 的坐标为(x ,2y ),依据题意得,AQ →＝(x ＋1,2y ),BQ →＝(x －1,2y ).∵AQ →·BQ →＝1,∴x 2－1＋2y 2＝1、∴动点P 所在曲线C 的方程就是x 22＋y 2＝1、(2)因直线l 过点B ,且斜率为k ＝－22,∴l :y ＝－22(x －1),联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1y ＝－22(x －1),消去y 得,2x 2－2x －1＝0、设M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2),∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝1x 1x 2＝－12∴y 1＋y 2＝－22(x 1－1)－22(x 2－1)＝－22(x 1＋x 2)＋2＝22、由OM →＋ON →＋OH →＝0得,OH →＝(－x 1－x 2,－y 1－y 2),即H (－1,－22),而点G 与点H 关于原点对称,∴G (1,22),设线段MN 、GH 的中垂线分别为l 1与l 2,k GH ＝22,则有l 1:y －24＝2(x －12),l 2:y ＝－2x 、联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －24＝2(x －12)y ＝－2x解得l 1与l 2的交点为O 1(18,－28).因此,可算得|O 1H |＝(98)2＋(328)2＝3118, |O 1M |＝(x 1－18)2＋(y 1＋28)2＝3118、所以M 、G 、N 、H 四点共圆,且圆心坐标为O 1(18,－28),半径为3118、。