e s
B s = [B s1
B s1 L B s1 ]
dN i B si = [ ,− N i ] dx
精确积分：
−1 l/2 l/2 1 l / 2 l 2 / 3 − l / 2 l 2 / 6 GA Ke s = 1 − l / 2 kl − 1 − l / 2 2 2 l / 2 l / 6 − l / 2 l / 3
§2.2 Timoshenko 梁单元
算例分析
悬臂梁自由端受集中力偶和集中力作用情况
P
M
§2.2 Timoshenko 梁单元
算例分析
结果分析
集中力偶M 集中力P
Pl 3 δ = 4 EI
4(1 + υ ) h 2 2 1 + 5 l
§2.2 Timoshenko 梁单元
如果 K 和K 都按照精确积分计算， 最后 得到的K s 和K b + K s都是非奇异矩阵。所以 我们尝试对K 进行精确积分，而对 K 进 行减缩积分。
e b e s
e b
e s
§2.2 Timoshenko 梁单元
解决剪切自锁问题的三种方法
（2）减缩积分
lGA 1 T K = B s B s dξ ∫ − 1 2k
Timoshenko梁单元
0 0 0 1 EI e = Kb l 0 0 0 − 1 0 0 0 − 1 0 0 0 1
−1 l/2 l/2 1 l / 2 l 2 / 3 − l / 2 l 2 / 6 GA Ke s = − l / 2 1 kl − 1 − l / 2 2 2 l / 2 l / 6 − l / 2 l / 3
2( x − xc ) ξ= l
−1 ≤ ξ ≤ 1
( x2 − x1 ) 其中： xc = 2
结点变量： wi , θ i
i = 1,2
§2.2 Timoshenko 梁单元
Timoshenko梁单元
w = ∑ N i wi
i =1
2
θ = ∑ N iθ i
i =1
2
(Lagrange插值)
2 ) Θ(K e h b = 2 e Θ(K s ) l
Θ(K e h 2 b) 对于细长梁当 → 0, 0 → l Θ(K e s)
§2.2 Timoshenko 梁单元
剪切自锁现象
h 对于细长梁当 → 0 时： l
(K b + K s )a = f → K sa = f
又因为 Θ(K e 所以 a → 0 s ) = lbhE → ∞，
B B b dξ
T b
lGA 1 T K = B s B s dξ ∫ − 1 2k
e s
其中： B b = [B b1 B b 2 L B bn ]
B s = [B s1
B s 2 L B sn ]
dN i B bi = [0,− ] dx
dN i B si = [ ,− N i ] dx
§2.2 Timoshenko 梁单元
§2.2 Timoshenko 梁单元
解决剪切自锁问题的三种方法
（2）减缩积分 例如，对于二结点单元，取 2 个高斯点得到的高 斯积分是精确积分，减缩积分可以取1 个高斯点
1 l / 2 GA Ke s= kl −1 l / 2 l / 2 −1 l / 2 l2 / 3 −l / 2 l2 / 6 −l / 2 1 −l / 2 l2 / 6 −l / 2 l2 / 3
第二章
梁单元
2004年3月3日
第二章 梁单元 §2.1 一维经典梁单元 §2.2 Timoshenko 梁单元 §2.3 二维相对自由度梁单元
§2.2 Timoshenko 梁单元
考虑剪切变形的Timoshenko梁
经典梁:
dw − θ＝0 dx
考虑剪切变形的梁:
dw − θ＝γ dx
由于考虑剪切变形的影响， 横截面转角 θ 与梁 的挠度 w 独立变化……
§2.2 Timoshenko 梁单元
刚体平移 刚体转动
常剪切应变
常弯曲应变
§2.2 Timoshenko 梁单元
Timoshenko梁单元的收敛性
(2) 完备性 结论：二结点单元插值函数中不包含纯弯 曲变形，不能满足收敛性条件。三 结点单元可以满足收敛性条件。
作业 8.2 9.5
谢谢！
Timoshenko梁单元的收敛性
考查插值函数是否满足协调性和完备性要求 (1) 协调性 泛函中对未知场函数的最高阶导数等于1， 即属于C0型连续，显然满足。
§2.2 Timoshenko 梁单元
Timoshenko梁单元的收敛性
(2) 完备性 从力学含义讲，插值函数的完备性要 求其中至少包含下列四种形式的变形
l
l
l
1 d 2w 2 1 GA 2 Π p ( w，γ ) = ∫ EI ( 2 ) dx + ∫ γ dx − ∫ q( x)wdx 2 dx 2 k 0 0 0
dw −Qw + M 0 dx 0
l
l
§2.2 Timoshenko 梁单元
解决剪切自锁问题的三种方法
插值方案：对于n个结点的单元，将w按n-1次多项 式插值，将 γ 按照n-2次多项式插值
显然，秩 ( K e s) = 3
ˆ e) =1 秩 (K s
1 l / 2 ˆ e = GA K s kl −1 l / 2
l / 2 −1 l2 / 4 −l / 2 −l / 2 1 l2 / 4 −l / 2
l /2 l 2 / 4 −l / 2 l 2 / 4
−1 ≤ ξ ≤ 1
1 N1 = (1 − ξ ) 2
1 N 2 = (1 + ξ ) 2
§2.2 Timoshenko 梁单元
Timoshenko梁单元
w = [N1 0 N 2 0] a e
θ = [0 N1 0 N 2 ] a e
a e = {w1 θ1 w2 θ 2 }
⊥
§2.2 Timoshenko 梁单元
l
l
注意：（1）横截面转角 θ 与梁的挠度 w 独立变化 （2） 在泛函中，θ 与 w只要求连续即可, 这样就将经典梁的 C1问题⇒C0问题
1 GA ＝α ，上述过程 （3）在泛函中，若取 2 k
也可以按照罚函梁单元
Timoshenko梁单元
Timoshenko梁单元的主要 特点是挠度 w和截面的转 角θ各自独立插值 无量纲坐标变换：
Timoshenko梁单元
将插值函数代入修正的变分原理得到：
Ka = f
K = ∑Ke
e
f = ∑f e
e
e Ke = Ke + K b s
a = ∑ ae
e
弯曲应变能刚度矩阵
剪切应变能刚度矩阵
§2.2 Timoshenko 梁单元
Timoshenko梁单元
lEI K = 2
e b
∫
1
−1
(K b + K s )a = f → K sa = f
又因为 Θ(K e 所以 a → 0 s ) = lbhE → ∞，
为了得到问题的非零解， 我们希望K s 奇异， 而K b + K s 奇异非。 如何实现呢？
§2.2 Timoshenko 梁单元
解决剪切自锁问题的三种方法
（3）减缩积分
3 bh E e Θ(K b ) = Θ( EI / l ) = l
2 Θ(K e ) = Θ ( GAl / kl ) = lbhE s
§2.2 Timoshenko 梁单元
剪切自锁现象
K =K +K
e e b e s 3 bh E e Θ(K b ) = Θ( EI / l ) = l 2 Θ(K e ) = Θ ( GAl / kl ) = lbhE s
§2.2 Timoshenko 梁单元
剪切自锁现象……
e Ke = Ke + K b s
0 0 0 1 EI = l 0 0 0 − 1
−1 l/2 l/2 1 0 0 2 2 GA l / 2 l / 3 − l / 2 l / 6 0 − 1 ＋ − l / 2 1 kl − 1 − l / 2 0 0 2 2 0 1 l / 2 l / 6 − l / 2 l / 3
§2.2 Timoshenko 梁单元
考虑剪切变形的Timoshenko梁
1 dθ 1 GA dw Π p (θ , w) = ∫ EI ( ) 2 dx + ∫ − θ dx − ∫ q( x) wdx 2 dx 2 k dx 0 0 0
l l l 2
dw −Qw + M 0 dx 0
§2.2 Timoshenko 梁单元
解决剪切自锁问题的三种方法
（2）减缩积分 如果单元结点数为 n，插值函数就是n-1次多项 式，被积函数就是 2n-2次多项式，所以如果取 2n-2 个高斯点，相应的高斯积分就是精确积分。 为了使单元刚度矩阵的奇异性增加， 采用减缩 积分方案，即仅取 2n-3一个高斯点进行计算。
问题：单元刚度矩阵奇异的增加，能否使的整体 刚度矩阵出现奇异性呢？
§2.2 Timoshenko 梁单元
解决剪切自锁问题的三种方法
（2）减缩积分
结论： 如果 对K 进行精确积分，而对 K 进行减缩 ˆ 奇异，而K + K ˆ 非 积分，最终可以使得 K
s b s e b e s
奇异。 ……
三种方法都可以有效地避免剪切自锁问题，在 单元结点数相同的前提下，可以证明这三种方 案等效，比较普遍使用的方法为减缩积分。